[PDF] C2. Suites récurrentes linéaires dordre 2





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C1. Suites récurrentes dordre 1 ou Équations aux différences finies

Suite récurrente linéaire à coefficients constants. On dit qu'une suite (un)n?N est une suite récurrente linéaire à coefficients constants d'ordre p ? N.



C2. Suites récurrentes linéaires dordre 2

Feb 9 2018 Terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2. • Si l'équation caractéristique associée possède deux solutions.



Polycopié de cours

On appelle suite récurrente linéaire du premier ordre à coefficients constants et second membre constant une suite vérifiant une relation de récurrence de 



SUITES RECURRENTES LINEAIRES DORDRE 2

Une suite u est récurrente linéaire d'ordre 2 si elle satisfait à la relation de Preuve : la suite nulle appartient à U qui n'est donc pas vide.



Compléments sur les matrices

3 Suites récurrentes linéaires d'ordre p. Une suite récurrente linéaire d'ordre p (à coefficients constants) est définie par. ?n ? N.



Suites récurrentes linéaires et séries formelles en plusieurs variables

termes d'une suite récurrente linéaire sur un corps sont des coefficients d'une série rationnelle. `a étudier les multi-suites formées des coefficients de 



Unicité dune suite récurrente linéaire dordre 2

Oct 17 2016 Unicité d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 ... réels avec a = 0 et soient (un)n?N et (vn)n?N deux suites qui vérifient la même.



C2. Suites récurrentes linéaires dordre 2

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants sans second membre. ?n ? N Terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2.



SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES

Suites récurrentes linéaires d'ordre 1. Soit ut = aut?1 +vt une suite récurrente linéaire d'ordre 1. Les solutions (ut) de cette équation sont du type.



Suites récurrentes linéaires : terme général et idempotents

On dit que u est une suite récurrente linéaire à coefficients constants dans K



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Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Chapitre 10 Soient (a b) ? C × C? et (un)n?N une suite définie par (u0u1) ? C2 et :



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Suites récurrentes linéaires `a connaˆ?tre I Suites récurrentes d'ordre 1 de la forme un+1 = aun + b Ces suites sont parfois qualifiées de suites 



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Terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 • Si l'équation caractéristique associée possède deux solutions réelles distinctes r1 et r2 



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Définition On appelle suite récurrente linéaire du premier ordre à coefficients constants et second membre constant une suite vérifiant une relation de 



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Une suite u est récurrente linéaire d'ordre 2 si elle satisfait à la relation de récurrence suivante : ?n ? N un+2 = aun+1 + bun



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Suites récurrentes linéaires Séminaire Delange-Pisot-Poitou Théorie des nombres tome 15 no 2 (1973-1974) exp no G14 p G1-G9



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Pour tout polynôme P ? k[X] on note P(?) le polynôme d'endomorphisme associé Une suite u = (un) ? S(E) est dite linéaire récurrente s'il existe un entier r 



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Il s'agit d'une suite linéaire récurrente d'ordre 2 Notre objectif est de déterminer une expression explicite de n u en fonction de n On va commencer par 



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Suites définies par une récurrence linéaire Récurrence d'ordre 1 `a n composantes Soit A ? Md(K) On s'intéresse `a des suites vectorielles (Un) 



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Notre principal intérêt ici est d'étudier quelques aspects de deux différentes généralisations de la notion de suite récurrente linéaire La premi`ere est celle

  • Comment résoudre une suite récurrente ?

    Récurrence linéaire à 1 terme, uo donné et : (1) un+1 = aun + b : Les suites récurrentes à 1 terme, ou d'ordre 1, de la forme un+1 = aun + b où a, b et uo sont des nombres réels donnés, s'étudient très simplement : Le cas a = 1 correspond à une suite arithmétique de raison b.

  • Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 1 ?

    Une suite (un)n?N est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 lorsqu'elle vérifie une relation de récurrence du type : ?n ? N,un+2 = aun+1 +bun où a et b sont deux constantes réelles, avec b ?= 0.

  • Comment montrer qu'une suite est récurrente linéaire d'ordre 2 ?

    Une suite (un) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres a et b tels que, pour tout entier n , on a un+2=aun+1+bun.
C2. Suites récurrentes linéaires dordre 2

C2. SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES

D"ORDRE2

Julie Scholler - Bureau B246

9 février 2018Suites récurrentes linéaires d"ordre 2 à coefficients constants

sans second membre ?n?N,un+2+aun+1+bun=0(H) aveca?Retb?R?Recherche de suites usuelles solutions de(H) constantes? arithmétiques? géométriques?Équation caractéristique

équation du second degré :x2+ax+b=0

?n?N,un+2+aun+1+bun=0(H)Terme général d"une suite récurrente linéaire d"ordre 2 Si l"équation caractéristique associée possède deux solutions distinctesr1etr2, alors il existe un unique couple de réels (α,β)tels que ?n?N,un=αrn1+βrn2 Si l"équation caractéristique associée possède une unique solutionr0, alors il existe un unique couple de réels(α,β)tels que ?n?N,un= (α+nβ)rn0Cas où le discriminant de l"équation caractéristique est négatif

Les racinesr1etr2sont complexes non réelles.

Le terme général des suites vérifiant(R)peut s"écrire n(αcos(nθ) +βsin(nθ)) avecαetβdeux paramètres réels etρetθsont entièrement déterminés par(R).

En particulier, on aρ=?b

2-Δ4a2.

Structure de l"ensemble des solutions de(H)

L"ensemble des solutions de(H)est un espace vectoriel. Plus précisément c"est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de

l"espace vectoriel des suites réellesRN.Suites récurrentes linéaires d"ordre 2 à coefficients constants

avec second membre ?n?N,un+2+aun+1+bun=cn(R) aveca?R,b?R?et(cn)n?Nsuite à coefficients réels.Équation homogène associée à(R) ?n?N,un+2+aun+1+bun=0(H) aveca?Retb?R?

Solutions de(R)

Soitupest une suite solution particulière de(R). Alors toute suite(un)n?Nvérifiant(R)peut s"écrire de la façon suivante : ?n?N,un=upn+uhn oùuhest une suite vérifiant(H).Cas d"un second membre constant ?n?N,un+2+aun+1+bun=c(R) aveca?R,b?R?etc?R?Recherche de solutions particulières poura+b?=-1 :upn=c1+a+b poura+b=1 eta?=-2 :upn=ca+2n poura=-2 etb=1 :upn=c2 n2

Cas d"un second membre constant

Comportement asymptotique quanda+b?=-1

pourΔ>0 :un=αrn1+βrn2+c1+a+bsiα?=0 etβ?=0 et simax(|r1|,|r2|)<1, la suite converge vers?=c1+a+b•simax(|r1|,|r2|)>1, la suite diverge. pourΔ =0 :un= (α+βn)rn0+c1+a+bsiα?=0 si|r0|<1, la suite converge vers?=c1+a+b•si|r0|>1, la suite diverge. pourΔ<0 : la suite oscille.Exemple ?n?N,un+2-2βun+1+βun=c(R)

Multiplieur-accélérateur de Samuelson

Avec retard

C t=cYt-10Sans retard C t=cYt0