[PDF] Etude de suites récurrentes 5 mai 2016 Montrer que (

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés1Etude de suites récurrentes

Exercice 1[ 02304 ][Correction]

Étudier la suite(un)définie par

u

0=a?Ret?n?N,un+1=u2n

Exercice 2[ 02305 ][Correction]

Étudier la suite(un)définie par

u

0?Ret?n?N,un+1=u2n+ 1

Exercice 3[ 02303 ][Correction]

Étudier la suite(un)définie par

u

0= 1et?n?N,un+1=⎷1 +un

Exercice 4[ 02306 ][Correction]

Étudier la suite(un)définie par

u

0≥1et?n?N,un+1= 1 + ln(un)

Exercice 5[ 02307 ][Correction]

Étudier la suite(un)définie par

u

0?Ret?n?N,un+1= eun-1

Exercice 6[ 02308 ][Correction]

Étudier la suite(un)définie par

u

0>0et?n?N,un+1=12 +un

Exercice 7[ 02309 ][Correction]

Soit(un)la suite réelle définie par

u

0=a?[-2;2]et?n?N,un+1=⎷2-una) Justifier que la suite(un)est bien définie et

?n?N,un?[-2;2] b) Quelles sont les limites finies possibles pour(un)? c) Montrer que(|un-1|)converge puis quelim|un-1|= 0. En déduirelimun.

Exercice 8[ 02310 ][Correction]

Soita?Ctel que0<|a|<1et(un)la suite définie par u

0=aet?n?N,un+1=un2-un

Montrer que(un)est bien définie et|un|<1. Étudier la limite de(un).

Exercice 9[ 02312 ][Correction]

Soita >0et(un)la suite définie paru0>0et

?n?N,un+1=12 u n+au n? a)

Étudier la convergence de la suite(un).

b)

On pose pour toutn?N

v n=un-⎷a u n+⎷a Calculervn+1en fonction devn, puisvnen fonction dev0etn. c)

Montrer que, siu0>⎷a, on a

??un-⎷a 0 Ainsi,unréalise une approximation de⎷aà la précision2u0.v2n

0→n∞0.

On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de ⎷a.

Exercice 10[ 02313 ][Correction]

On considère l"équationlnx+x= 0d"inconnuex >0. a) Montrer que l"équation possède une unique solutionα. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés2b) Former, par l"algorithme de Newton, une suite récurrente réelle(un)

convergeant versα.

Exercice 11[ 02311 ][Correction]

Déterminer le terme général de la suite(un)définie par : u

0=a >0,u1=b >0et?n?N,un+2un=u2n+1

À quelle condition(un)converge?

Exercice 12[ 02301 ][Correction]

Soita?R?+. On définit une suite(un)par

u

0=aet?n?N,un+1=?

???n k=0u k a)

Déterminer la limite de(un).

b)

Déterminer la limite deun+1-un.

Exercice 13[ 00094 ][Correction]

Établir

?1 + ?1 + ⎷1 +···= 1 +11 + 11+

Exercice 14[ 03229 ][Correction]

Soit(un)une suite réelle vérifiant

?n?N,un?[1/2;1]

Soit(vn)la suite déterminée par

v

0=u0et?n?N,vn+1=vn+un+11 +un+1vn

Montrer que la suite(vn)converge et déterminer sa limite.Exercice 15[ 00328 ][Correction]

Étudier la suite définie par

u

0?R+et?n?N,un+1= 1 +14

u2n

Exercice 16[ 00330 ][Correction]

Soienta >0,

u

1=⎷a,u

2=?a+⎷a,u

3=?a+?a+⎷a,

Montrer que(un)est convergente.

Exercice 17[ 00331 ][Correction]

Soit f:x?→x3+ 13 et(un)la suite définie par u

0?Ret?n?N,un+1=f(un)

a) Justifier que l"équationf(x) =xpossède trois racines réelles (qu"on n"exprimera pas). b) Étudier le signe def(x)-xainsi que la monotonie def. c) Préciser le comportement de(un)en discutant selon la valeur deu0.

Exercice 18[ 00332 ][Correction]

Soient

f:x?→x3+ 3ax3x2+a (aveca >0) et(un)la suite définie par u

0>0et?n?N,un+1=f(un)

Étudier les variations def, le signe def(x)-xet en déduire le comportement de (un). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés3Exercice 19[ 00333 ][Correction]

Soientu0?]0;1[et pour toutn?N,

u n+1=un-u2n Montrer que(un)est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants n k=0u 2 ketn? k=0(1-uk)

Exercice 20[ 00334 ][Correction]

Soitf: [a;b]→[a;b]une fonction de classeC1telle que ?x?[a;b],|f?(x)|<1 a)

Montrer quefadmet un point fixe uniqueα.

b) Montrer, pour toutu?[a;b], la convergence versαde la suite(un)définie par u

0=uet?n?N,un+1=f(un)

Exercice 21[ 00335 ][Correction]

Soitf: [a;b]→[a;b]une fonction 1 lipschitzienne etα?[a;b].

On considère la suite définie par

u

0=αetun+1=un+f(un)2

Montrer que(un)converge vers un point fixe def.

Exercice 22[ 00329 ][Correction]

Soit(un)la suite définie par

u

0?]0;4[et?n?N,un+1= 4un-u2n

a) Montrer que(un)est bornée. Quelles sont les limites possibles de(un)? b) Montrer que si(un)converge alors(un)est soit stationnaire égale à 0, soit stationnaire égale à3. c) En posantu0= 4sin2α, déterminer les valeurs deu0pour lesquelles la suite (un)est stationnaire.Exercice 23[ 00336 ][Correction]

Soientρ?R+etθ?]-π;π].

On considère la suite complexe(zn)n?Ndéfinie par z

0=ρeiθet?n?N,zn+1=zn+|zn|2

a)

Exprimerznà l"aide d"un produit.

b)

Déterminer la limite de la suite(zn)n?N.

Exercice 24[ 00338 ][Correction]

Soit(un)une suite de réels positifs telle que

(un+un+1) Montrer que(un)converge. On pourra commencer par étudier la monotonie de v n= max(un+1,un).

Exercice 25[ 00337 ][Correction]

Soient(un)n?Net(vn)n?Nles suites récurrentes réelles définies par : u

0,v0?R+et?n?N,un+1=⎷u

nvn,vn+1=un+vn2 Montrer que les suites(un)n?Net(vn)n?Nconvergent vers une même limite.

Exercice 26[ 00326 ][Correction]

Pourα?]0;π/2], on étudie les suites(un)et(vn)définies par ?u0= cosα v

0= 1et?n?N,?un+1= (un+vn)/2

v n+1=⎷u n+1vn a)

Établir que pour toutn?N,

u n=vncosα2 netvn=n? k=1cosα2 k b)

Étudiersinα2

nvnet en déduire les limites de(un)et(vn). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés4Exercice 27[ 02783 ][Correction] Soit(xn)n?N?une suite de réels positifs. On pose, pour toutn >0, y n=?x 1+?x

2+···+⎷x

n a) Icixn=apour toutn, oùa >0. Étudier la convergence de(yn). b) Même question dans le cas oùxn=ab2npour toutn, avecb >0. c) Montrer que(yn)converge si, et seulement si, la suite(x2-n n)est bornée.

Exercice 28[ 03165 ][Correction]

Soient(an)une suite réelle positive, bornée et(un)la suite récurrente définie par u

0>0etun+1=1u

n+an+ 1pour toutn?N Montrer que la suite(un)converge si, et seulement si, la suite(an)converge.

Exercice 29[ 00844 ][Correction]

Montrer que la suite réelle(xn)définie parx0?[a;b]et ?n?N,xn+1=12 (f(xn) +xn) oùfest 1-lipschitzienne de[a;b]dans[a;b], converge vers un point fixe def. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Corrections5Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

On au0=a,u1=a2,u2=a4, par récurrenceun=a2n.

Pour|a|<1alorsun→0, pour|a|= 1,un→1et pour|a|>1,un→+∞.

Exercice 2 :[énoncé]

La suite(un)est bien définie et supérieure à 1 à partir du rang 1 car la fonction itératricef:x?→x2+ 1est définie surRet à valeurs dans[1;+∞[. uquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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