[PDF] Fascicule dexercices Suites récurrentes : – linéaires à

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L2 ÉCONOMIEAnnée 2018-2019MODULE2 - OUTILSQUANTITATIFS

MATHÉMATIQUES POUR L"ÉCONOMISTE4

Fascicule d"exercicesJulie Scholler

Sten MadecTABLE DES MATIÈRES

THÈME0 - SUITES3

THÈME1 - SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES5

THÈME2 - SUITES DE LA FORMEun+1=f(un)7

THÈME3 - SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D"ORDRE29 THÈME4 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES D"ORDRE111 THÈME5 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES NON LINÉAIRES D"ORDRE113 THÈME6 - ÉQUA.DIFF.LINÉAIRES D"ORDRE2À COEFFICIENTS CONSTANTS15

THÈME7 - EXTRAITS D"ANNALES17

Sten Madec :•E-mail : sten.madec@univ-tours.fr •Bureau B246 (bâtiment B) Julie Scholler :•E-mail : julie.scholler@univ-tours.fr •Bureau B246 (bâtiment B) •Suites : rappels; •Suites récurrentes :-linéaires à coefficients constants d"ordre 1, -d"ordre 1 quelconques, -linéaires à coefficients constants d"ordre 2; •Équations différentielles :-linéaires à coefficients constants d"ordre 1, -d"ordre 1 quelconques, -linéaires à coefficients constants d"ordre 2. séances de travaux dirigés de 2h.

Un polycopié de cours, un fascicule d"exercices et des annales sont présents sur Celene. Le contenu projeté en

cours magistral sera mis en ligne au fur et à mesure.

Cet enseignement est en contrôle continu. L"évaluation se basera principalement sur deux contrôles écrits en

amphi. Sauf changement à venir, ils auront lieu les lundis 25 février 2019 et 8 avril 2019. Pour compléter

cela, vous aurez des exercices à rendre régulièrement et quelques QCM en ligne sur Celene. SemaineCM - ThèmeTD - ThèmeExercices à rendre

14/01CM1 - C0-Suites

21/01CM2 - C1-SRLO1QCM en ligne sur C0 - Exos 1, 2 et 3 en CM

28/01CM3 - C1-SRO1 non LTD1 - C0 et C1-1Exos 4, 7 et 8 en CM - Exos 9 et 11 en TD

04/02CM4 - C2-SRLO2TD2 - C1-2Exo 15 en TD

11/02TD3 - C2Exos 20 et 21 en TD

18/02PausePausePause

25/02CC1- C0, C1 et C204/03CM5 - C3-EDL O1QCM en ligne sur les primitives

11/03CM6 - C3-ED O1 non LTD4 - C3-1 et 2Exos 27 et 28 en CM - Exo 29 en TD

18/03CM7 - C4-EDL O2TD5 - C3-3QCM en ligne sur le cours du C3 section 2

25/03TD6 - C4Exos 39 et 40 en TD

01/0408/04CC2- C3 et C41

compromise par un éventuel zéro en contrôle continu ou une mention ABI (absence injustifiée) entraînant la

mention " défaillant ».

Dans tous les cas, vous devez présenter un justificatif ou une justification au chargé de TD dans les 8 jours.

Une absence non justifiée à un TD contenant une évaluation entraîne un zéro à cette évaluation.

Il s"agit de lectures complémentaires au cours et travaux dirigés. •Mathématiques des modèles économiques, Pascale Dameron, 510 DAM;

•Mathématiques pour économistes, Simon et Blume, 510 SIM, plus compliqué que les attentes du cours;

•Analyse pour économistes II, Alain Piller, 515 PIL, il s"agit d"exercices corrigés sans paramètres;

Mathématiques en économie-gestion, Stéphane Rossignol, (tout le contenu du cours n"y est pas présent,

on y trouve les bases des suites, les suites récurrentes linéaires d"ordre 1 dans le chapitre 3 et les systèmes

de suites récurrentes linéaires dans le chapitre 10);

Mathématiques pour l"économistes en 27 fichesetMathématiques pour l"économie Analyse-Algèbre, Haïyek

et Leca, (seulement la partie sur les suites). 2

Étudier, dans chacun des cas suivants, le sens de variation de la suite(un)n?N?de terme général :

1.1 +an

en fonction dea;2.(n-b)2en fonction deb;3. (1-2c)nen fonction dec. Déterminer la limite (éventuelle) des suite de terme général :

1.n(-1)n;

2. (-1)nn ;3.3×(-2)n; 4. cos(n)n ;5.n1n Soit une suite(un)n?Ntelle queu0>0et, pour tout entiern, on a0< un+162-1u n. 1. Mon trerque (un)n?Nest minorée par un nombre strictement positif. 2.

Mon trerque, p ourtout réel x >0, on a2-1x

6x. 3. En déduire que la suite (un)n?Nest convergente. 4.

(*) On note ?sa limite. Déduire des deux premières questions des conséquences sur?et conclure.

On considère la suite(un)n?Ndéfinie par

u

0= 1et?n?N, un+1=un1 +un.

1. Mon trerque la suite (un)n?Nest bien définie et strictement positive. 2. Calculer les p remierstermes et déterminer si la suite est arithmétique. 3.

On considère alors la suite (vn)n?N:=?1u

n? n?N.

Montrer qu"il s"agit d"une suite arithmétique et déterminer son terme général en fonction den.

4. En déduire une expression d eunen fonction den.

On considère la suite(un)n?Ndéfinie paru0= 1et par la relation de récurrence?n?N, un+1=3un+ 12un+ 4

1. Mon trerque, p ourtout en tiernaturel n,unest défini et vérifieun>0. 2. Mon trerque la suite (vn)n?Ndéfinie par?n?N, vn=2un-1u n+ 1est bien définie et est géométrique. 3. En déduire, p ourtout en tiernaturel n, une expression deunen fonction den. 3

THÈME 0. SUITES

On considère la suite(un)n?Ndéfinie paru0= 0,u1= 1et pour tout entiern,un+2=32 un+1-12 un.

1.Montrer que la suite de terme généralvn=un+1-unest une suite géométrique. Exprimervnen fonction

den. 2. En déduire une expression de un+1en fonction deunetn. 3. Mon trerpar récurrence que, p ourtout en tiernstrictement positif, on aun=n-1? k=0? 12 k 4. En déduire une expression de unen fonction den. 5. La suite (un)n?Nest-elle bornée? monotone? convergente? 4 On considère une suite(un)n?Ndéfinie surNpar ?u 0= 6, u n+1=13 un+ 2.

On posevn=un-3.

1.Montrer que la suite(vn)n?Nest une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

2.

Exprimer vnpuisunen fonction den.

3. En déduire limn→+∞vnetlimn→+∞un. 4. P ourtout n?N,on poseSn=v0+v1+···+vn.Déterminerlimn→+∞Sn. On considère une suite(un)n?Ndéfinie surNpar ?u 0= 0, u n+1= 2un-5. 1. Calculer le p ointfixe, noté l, de la fonctionx?→2x-5. 2.

On posevn=un-l, pour tout entiern. Montrer que la suite(vn)n?Nest une suite géométrique dont on

déterminera la raison et le premier termev0. 3.

Exprimer vn, puisunen fonction den.

4. En déduire limn→+∞vnetlimn→+∞un. 5. Si u0vaut 8, la limite de la suite(un)nest-elle différente?

En suivant le schéma de l"exercice précédent, étudier les deux suites suivantes pouraun nombre réel

quelconque :??? ?u 0=a, u n+1=-3un+ 1et? ?u 0=a, u n+1=-12 un+ 3.

Soitaun réel strictement positif.

Soient(un)n?N?et(vn)n?N?deux suites définies par la donnée deu1>0et par la donnée de ?n?N?, un+1=a(un)2etvn= ln(un). 1. Mon trerqu ela suite (vn)n?N?est arithmético-géométrique. 2. En déduire une expression d eunen fonction den. 3. Déterminer, selon les v aleursde u1eta, la limite éventuelle de la suite(un)n?N?. 5 THÈME 1. SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES

Dn= 220-0.4pn, alors que la quantité produite dépend du prix de l"année précédente selon la relation

Pn= 0.6pn-1-30. On suppose qu"en 2000 on a fixé le prix à 245 euros et que, chaque année, l"offre est égale

à la demande.

1.

Donner une relation en trepnetpn+1.

2. En déduire une expression de pnen fonction den. 3. Étudier le comp ortementà long te rmede la suite (pn).

Y a-t-il un prix d"équilibre possible?

Un mensuel de presse écrite souhaite étudier son public de lecture. Une enquête dans la population des

personnes intéressées par ce mensuel a permis d"établir que : •10%des personnes qui n"ont pas acheté un numéro de ce mensuel achètent le suivant; •20%des personnes qui ont acheté un numéro n"achètent pas le suivant.

On choisit une personne au hasard dans la population étudiée. On noteAnl"événement " la personne choisie

a acheté le numéro dunemois suivant janvier 2015 » etpnla probabilité deAn. 1.

Exprimer pn+1en fonction depn.

2.

Exprimer pnen fonction den.

3.

À long terme, sachant que la population de personnes intéressées est d"environ 200 000 personnes, quel

sera, environ, le nombre d"exemplaires vendus chaque mois?

Dans un modèle économique, pour l"annéen, on noteCnla consommation,Ynle revenu,Inl"investissement

etGles dépenses gouvernementales d"un pays (Gne dépend pas den). Ces quantités sont reliées par les

équations suivantes :??????

????C n-0.9Yn=b I n-0.09Yn= 0.002Yn-1+e -Cn-In+Yn=G 1.

Déterminer l"équation relian tYnàYn+1.

2. Étudier, en fonction de b,eetG, l"évolution de la suite(Yn).

On considère le marché d"un bien de prixptpour lequel l"offreStet la demandeDtvérifient les relations :

?S t=-30 +apt-1 D t= 70-2pt oùaest un nombre réel strictement positif ettun nombre entier positif ou nul quelconque. 1.

Dans l"hypothèse d"un ajustement de l"offre sur la demande, déterminer la relation qui lie le prixpt(à la

périodet) au prixpt-1(à la périodet-1). 2.

Déterminer le prix à l"équilibre pe.

3. On p osewt=pt-pe. Quelle relation de récurrence vérifie(wt)t?N? 4. Mon trerque (wt)t?Nest une suite géométrique et donner son expression en fonction detet dew0. 5.

Étudier le comportement de la suite(pt)tinN, en fonction de la valeur dea, lorsque le prix initial est

p0= 50. 6

On considère la suite(un)n?Ndéfinie par

?u 0= 0, u n+1=⎷2un+ 3 1.

Mon trerque p ourtout en tiern?N, on a06un63.

2. Mon trerque la suite (un)n?Nest strictement croissante. 3. Mon trerque la suite (un)n?Nest convergente et déterminer sa limite. 4.

Qu"en est-il si la v aleurde u0est différente?

On considère la suite(un)n?Ndéfinie par

?u 0= 3, u n+1=u2n2un-1

1.Montrer que l"intervalle[1;+∞[est stable parf:x?→x22x-1. En déduire que la suite est bien définie et

minorée par 1. 2.

Étudier la monotonie de la suite.

3. Mon trerque la suite (un)n?Nest convergente et déterminer sa limite. 4.

Qu"en est-il si la v aleurde u0est différente?

Soitaun réel fixé. On considère la suite définie par :u0=aet, pour tout entier natureln, u n+1=34 u2n-2un+ 3. 1.

Mon trerque la suite (un)n?Nest croissante.

2. On supp oseque la suite (un)n?Nest convergente. Montrer que sa limite est 2. 3. On supp oseque a >2. Montrer que la suite(un)n?Nest divergente. 4. Montrer qu"il existe deux nombres réelsb1etb2(b1< b2), tels que, sia=b1oua=b2, alors on au1= 2. 5. On supp oseque b16a6b2. Montrer que la suite(un)n?Nconverge. 6. On supp oseque a < b1. Montrer que la suite(un)n?Ndiverge. 7 fest la fonction définie surRparf(x) =x-x2. 1.

Mon trerque la suite (un)n?Nest décroissante.

2.

On supp osedans cette question que u0?[0;1].

(a)

Mon trerque, p ourtout en tiern, on a06un<1.

(b) En déduire que la s uite(un)n?Nest convergente. (c)

Déterminer la limite de la suite (un)n?N.

3. On supp osemain tenantqu eu0<0. Prouver par l"absurde que la suite(un)n?Nne converge pas. 4. On supp osefinalemen tque u0>1. Que dire de la suite(un)n?N? Étudier graphiquement les suites définies par les relations de récurrence suivantes :

1.un+1=u3n-un;

2.un+1=u2n+α, selon la valeur du réelα.

8 Déterminer l"ensemble des suites vérifiant les relations de récurrence suivantes :

1.un+2=un+1+ 2un;2. un+2+ 4un+1+ 4un= 0.

On cherche une suite qui vérifie la relation de récurrence suivante : (R) : 2un= 3un-1-un-2+ 2,pour tout entiern>2, et dont les premiers termes sontu0= 3etu1= 3. 1. Donner l"équation homogène asso ciéeà la relati onde récurrence (R). 2.

Quelle est l" équationcaractéristique asso ciéeà cette r elationde récurrence ?La résoudre.

3. En déduire les suites qui v érifientl"équation homogène.

4.Existe-il une suite constante qui vérifie la relation(R)? Si non, existe-il une suite de la forme(an+b)n

qui vérifie la relation(R)? Si non, existe-il une suite de la forme(an2+bn+c)nqui vérifie la relation

(R)? 5. En déduire l"ensem bledes suites qui v érifientla relation (R). 6. T rouverla su itequi v érifie(R)telle queu0= 3etu1= 3. Soientαetβdeux réels strictement positifs tels que(α,β)?= (1,1). On s"intéresse au problème simplifié de duopole ?x n+1= 1-βyn y n+1= 1-αxn oùxnetynreprésentent les quantités d"un même bien que produisent deux entreprises etn?N. 1.

Mon trerque si xetysont des suites solutions de ce système, alorsxvérifie la relation de récurrence

(E) :xn+2-αβxn= 1-β. 2. Déterminer l"ensem bledes solutions de l"équation homogène ( H)associée à(E). 3.

On supp oseici que αβ?= 1.

(a) Montrer que(E)admet une solution particulière constante :pn=kpour toutn?Noùkest une constante que l"on déterminera. (b)

Donner l"ensem bledes solutions de (E).

4.

On supp oseici que αβ= 1.

(a) Montrer que(E)admet une solution particulière linéaire :pn=knpour toutn?Noùkest une constante que l"on déterminera. (b)

Donner l"ensem bledes solutions de (E).

5. On suppose maintenant queα=β= 1/2et quex0= 0etx1= 1. Calculer explicitement le terme généralxnet donner le comportement asymptotique de la suite(xn)n. 9 THÈME 3. SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D"ORDRE 2

6.Discuter des comportements asymptotiques possibles de(xn)nen fonction de la valeur du produitαβet

commenter. Soit l"équation de récurrence dépendant d"un paramètre réeladéfinie par (R) 3ut+2-(3a+ 1)ut+1+aut= 5×2t. 1.

Rec herched"une solution particulière.

(a) Sous qu ellecondition, existe-il une solution particulière de la forme (k×2t)t?N? L"exprimer. (b)

Quand il n"existe pas de solution particulière de la forme(k×2t)t?N, chercher une solution particulière

de la forme(kt×2t)t?N. 2.

Déterminer l"expression générale des suites(ut)t?Nvérifiant l"équation homogène associée à(R)(différentes

situations peuvent se présenter). 3. Déterminer l"expression générale des suites (ut)t?Nvérifiant l"équation(R). 4.

Déterminer la nature des suites(ut)t?Nvérifiant l"équation(R)(convergence, divergence, éventuellement

valeur de la limite) et leur comportement (oscillation, monotonie, éventuellement sens de monotonie en

fonction des différents paramètres).

Dans un modèle économique, pour l"annéet(t?N), on noteCtla consommation,Ytle revenu,Itl"investis-

sement. Ces quantités sont reliées par les équations suivantes :?????? ????Y t=Ct+It+A C y= 0.5Yt I t=v(Yt-1-Yt-2) avecAun réel strictement positif etvun réel supérieur ou égal à 2. 1.

Déterminer la relation relian t,en treell es,uniquemen tles v aleursd urev enuà différen tesp ériodes.

2. Quelle v aleurfixe du rev enuv érifiecette relation ? 3.

Déterminer l"expression générale des suites(Yt)t?Nvérifiant cette relation (différentes situations peuvent

se présenter). 4.

Déterminer la nature des suites(Yt)t?Nvérifiant cette relation (convergence, divergence, éventuellement

valeur de la limite) et leur comportement (oscillation, monotonie, éventuellement sens de monotonie en

fonction des différents paramètres). Déterminer la loi de la variable aléatoire définie surNpar :

P(X=n+ 2) =54

P(X=n+ 1)-14

P(X=n).

Déterminer la solution réelle des équations de récurrence d"ordre 2 suivantes :

1.un-5un-1+ 6un-2= 2n+ 1avecu0= 1etu1= 4,

on cherchera une solution particulière de la formeupn=an+bavecaetbdes réels;

2.un+un-2= 2un-1+ 2avecu0= 1etu1= 3,

on cherchera une solution particulière de la formeupn=an2avecaun réel;

3.un+2= 3un+1-2unavecu0= 0etu1= 1;

4.4un=un-2+ 5avecu0= 1etu1= 0,

on cherchera une solution particulière de la formeun=aavecaun réel. 10 Résoudre surRles quatre équations différentielles suivantes.

1.y?(t) = 0;

2.y?(t) = 2tet2;3.y?(x) + 2x= 0ety(0) = 10;

4.y?(t) =2tt

2+eety(0) = 2.

Résoudre surRles équations différentielles suivantes.

1.y?+ 2y= 0;2. y?+ 2y= 3;3. y?+ 2y= 3ety(0) =-1.

R, ety?sa fonction dérivée.

1. Résoudre sur Rl"équation(E0)sans second membre associée. 2. Déterminer une s olutionparticulière ypde(E)sous la formeyp(t) =At+B. 3. En déduire les solutions gé néralesde (E). 4. En déduire une solution de (E)vérifiant la conditiony(0) = 3.

On considère l"équation différentielle(E) :y?+y=11 +exoùyest une fonction de la variablex, définie et

dérivable surR, ety?sa fonction dérivée. 1. Résoudre sur Rl"équation différentielley?+y= 0. 2.

Déterminer une fonctionk, définie et dérivable surR, telle que, pour toutxdeR, la fonctionhdéfinie

surRparh(x) =k(x)e-xsoit une solution de(E). 3. En déduire l"ensem bledes solutions de l"équation différen tielle(E). 4. Déterminer la solution fde l"équation(E)qui vérifie la condition initialef(0) = 1 + ln(2).

Soit l"équation différentielle

(E) : (1 +x)y?-y= ln?11 +x? oùyest une fonction de la variable réellex, définie et dérivable sur[0 ; +∞[. 1. Résoudre sur R+l"équation différentielle :(E?):(1 +x)y?-y= 0. 2. Déterminer la valeur de la constanteCpour que la fonctiony0(x) =ln(1 +x) +Csoit une solution particulière de l"équation(E), définie surR+. 3. En déduire la solution générale de l"équation (E). 4. Déterminer la fon ctionΦsolution de l"équation(E)vérifiant :Φ(0) = 0. 11 THÈME 4. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES D"ORDRE 1

1.my?(t)-y(t) =e2tety(0) = 0avecm >0.5;

2.y?(t)-2ty(t) =αt;

3.ty?(t)-my(t) =βtα.

On notey(t)le nombre de personnes dont les foyers sont équipés d"une liaison internet et on suppose que le

taux selon lequel de nouvelles personnes obtiennent l"accès est proportionnel au nombre de personnes qui

n"ont pas encore l"accès. Du coup, siPdésigne la taille de la population, l"équation différentielle vérifiée par

yest alors (E) :y?(t) =k(P-y(t)), oùkest une constante strictement positive. 1.

On fixe P= 10etk= 2.

(a) Déterminer l"ensem bledes solutions de (E)dans ce cadre. (b) Déterminer la solution de (E)compte tenu dey(0) = 0, toujours pourP= 10etk= 2. (c)

Résoudre l"équation y?+ 2y= 20 +e-2tt

2. 2.

On ne se fixe plus de v aleursp ourPetk.

(a) Déterminer la s olutionde (E)compte tenu dey(0) = 0en fonction dePetk. (b) Déterminer la li miteen +∞deyen fonction dePetk. Interpréter.

On considère le marché d"un bien sur lequel se confrontent, à chaque instantt, une offreSet une demande

D. On notePle prix constaté et?Ple prix espéré par les producteurs. Toutes les fonctionsP,?P,SetDsont

supposées continues et dérivables. On suppose également que le prix s"ajuste à un niveau assurant l"équilibre

entre l"offre et la demande et que les relations suivantes sont vérifiées : ??S(t) =a?P(t)-20

D(t) =-bP(t) + 200

?P(t) =P(t) +dP?(t) aveca,betdtrois réels tels quea >0,b >0etd?= 0. 1.

Déterminer une équation différentielle(E)vérifiée par la fonction de prix faisant intervenir uniquement

a,betd. 2. Résoudre l"équation homogène asso ciéeà (E). 3. T rouverune s olutionparticulière constan tede (E). 4. Donner la solution de (E)correspondant à un prix initialP0=P(0). 5.

Discuter du comp ortementasymptotique du prix.

6. Déterminer la solution corresp ondantau cas où a= 3,b= 2,d= 5/3,P0= 30. Résoudre surRles équations différentielles suivantes.

1.y?+y= 4;

2.y?-y=et,y(0) =-2;

3.y?-y= 1-t,y(0) = 1;

4.y?-4y=x2;5.2y?-y=-t2+ 5t,y(-1) = 5;

6.y?-4y=x2+ 2ex,y(0) = 0.

7.y?-2xy=-2x,y(0) =-2surR;

8.(1 +x2)y?+ 2xy= 0,y(1) = 2surR.

12 On s"intéresse au problème de Cauchy suivant (P) :?y?=f(y) y(0) =y0>0avecf(x) =x(x-1)(x-0.5). 1. Réaliser une re présentationgraphique de la fonction f. 2. Donner les p ointsd"équilibre de l"équation y?=f(y). 3. On supp oseque y0?]0;0.5[. On noteyla solution maximale de(P)etIson intervalle de définition. (a)

Justifier que p ourtout t?I, on ay(t)?]0;0.5[.

(b)

Que v autI?

(c)

Justifier que yest strictement croissante.

(d)quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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