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Document créé par Dominique ROSIER Page 1 13/02/2007 FORCE ET QUANTITE DE MOUVEMENT

I THEOREME DU CENTRE D"INERTIE

1) le centre d"inertie d"un système de points A

i de masse m i est par définition G tq " le point O S m i iOA = S(m i)*OG® = MOG® => Sp i = Mv G

2) conséquence des lois de Newton: théorème du centre d"inertie

soit un ensemble de points A i de masse m i , sur A i s"appliquent les forces extérieures F iext® et les forces intérieures F ij® (exercées par le point A j du système sur le point A i) appliquons la deuxième loi de Newton à chacun des points et faisons la somme: S(m i 22
dtd iOA ) = S(F iext® +F ij® ) d"après la troisième loi de Newton les forces intérieures s"annulent 2 à 2, il ne reste que S(m i 22
dtd iOA ) = S(F iext® ) = S( 22
dtd m i iOA 22
dtd

MOG® = M

22
dtd

OG®

M 22
dtd

OG® = S(F

iext® ) = M a

G® =

dtd (Sp i)

3° conséquence pour un système isolé: S(F

iext® ) = 0 => (SSSSpppp i) = vecteur cst

II APPLICATION A LA PROPULSION PAR REACTION

1) Principe :

l"homme est sur un traîneau sur la glace horizontale et sans frottement il lance des balles à la vitesse u par rapport au traîneau, cela entraîne un déplacement du traîneau à la vitesse V

2) recul d"un canon

3) propulsion d"une fusée

Le système étudié est la fusée et le gaz qu"elle contient à t, ce système est considéré comme isolé, càd suffisamment loin de tout astre pour qu"on ne tienne pas compte des forces de gravitation et des forces de pression d"une atmosphère extérieure p(t+dt) = p(t) <=> (m-dm)(v+ dv) + dm u = mv en ne gardant que les infiniment petits d"ordre un mdv = -dmu ou encore m dtvd® = -Du D étant le débit massique de sortie des gaz On dit que les gaz exercent une force de poussée -Du On prendra garde que m n"est pas constant et que la relation précédente n"est pas le théorème du centre d"inertie, que l"expression " force de poussée » est compréhensible mais abusive

III APPLICATION AUX CHOCS

1) on dit qu"il y a choc entre des particules si durant le choc (et dans la zone de

choc) les forces autres que les forces d"interaction sont négligeables devant les forces d"interaction, et si les forces d"interaction sont négligeables devant les autres forces en dehors de la zone de choc

2) conséquence : dans la zone de choc et pendant la durée du choc le système

est considéré n"être soumis qu"aux forces d"interaction, forces intérieures, donc

d"après le théorème du centre d"inertie il y a conservation de la quantité de mouvement de M 1 + M

2 + .... dans tout

référentiel pendant le choc

®®®®p

1 + ®®®®p

2 + .....=

®®®®p"

1 + ®®®®p"

2 +.......(Eq)

Cette équation unique ne permet pas de trouver

®p "

1 et ®p "

2 (si il y a deux

particules il y a 6 inconnues = les composantes de ®p "

1 et ®p "

2 et seulement 3

équations : les composantes de (Eq) sur 3 axes, s"il y a plus de 2 particules il y a encore plus d"inconnues) Il est donc nécessaire d"avoir d"autres renseignements : le choc est dit élastique si il y a conservation de l"énergie cinétique, cela donne une équation de plus mais ne suffit pas, l"énoncé donne d"autres renseignements

Document créé par Dominique ROSIER Page 2 13/02/2007 le choc est parfaitement mou si aprés le choc v"

1 = v"

2 cela donne 3 équations

donc le probléme est soluble

3°) étude dans R

B d"un choc élastique ®p

1* + ®p

2* = 0 = ®p "

1* + ®p "

2* Ec* = *1cE *2cE = 1/2( 2*2 2 1*2 1m2p m2p+

Ec* " (choc élastique) =>

p*

1 = p*

2 = p"*

1 = p"*

2 , dans R

B le choc élastique se traduit simplement par

une rotation du support de

®®®®p

*1 + ®®®®p *2 Il reste deux inconnues : les angles q et f qui caractérisent cette rotation , cela correspond au fait qu"on dispose de 4 équations algébriques ®p

1 + ®p

2 = ®p "

1 + ®p

2" et Ec = Ec" pour 6 inconnues (les composantes de ®p "

1 et ®p 2") Dans RB toutes les directions de diffusion (q,j ) sont équiprobables EX1

3) choc non élastique : il y a perte de l"énergie cinétique au cours du choc

d"aprés le théorème de l"énergie cinétique il y a donc eu soit travail négatif des forces d"interaction (déformation permanente, balle de pâte à modeler par rapport à balle de caoutchouc) soit gain d"énergie potentielle Il y a une inconnue de plus , liée à la disparition de la 4

ème

équation

EX2

IV CHOC SUR UNE PAROI

1) une particule arrive sur la paroi avec la quantité de

mouvement p et repart avec la quantité de mouvement p' soit ®R la force exercée par la paroi sur la particule :

®p " - ®p =

®Rdt l"intégrale portant sur la durée du choc et la force exercée par la paroi sur la particule est R" = -R Rq choc sur une paroi fixe: il parait a priori contredire la conservation de la quantité de mouvement, en fait il y a modification de la quantité de mouvement des particules de la paroi (qui peut en particulier s"échauffer) mais pas de mouvement

d"ensemble de la paroi 2) calcul de la pression exercée sur une paroi par un faisceau homocinétique

on se place dans l"hypothèse d"un faisceau de particules identiques , ayant toutes la même vitesse v , ce faisceau étant d"autre part homogène , frappant une paroi sur une surface S . Les particules frappant S entre t et t + dt sont celles qui à t étaient dans le cylindre oblique de base S de longueur vdt , son volume est Sv zdt , v z étant la composante de v perpendiculairement à S

Leur nombre est donc

nSvzdt d"après l"hypothèse d"homogénéité , n étant la densité volumique de particules . Elles communiquent à S entre t et t + dt la quantité de mouvement nSvzdt.m v = ®p1 De la même manière si on suppose que les particules repartent toutes avec la même vitesse v " , elles emportent entre t et t + dt la quantité de mouvement nS(-v" z)dt.m v " = ®p2 ( - parce le volume dans lequel se trouvent les molécules qui ont rebondi entre t et t + dt est S(-v"z)dt elles ont donc communiqué à S la quantité de mouvement

®p1 - ®p2

= nSdt.m(v z® v + v" z® v F .dt F étant la force exercée par les molécules sur S La pression exercée par les molécules sur S est P = F k / S = n.m(v z2 + v" z2)

3) pression de radiation : pression exercée par les photons

le photon est une particule de masse nulle de vitesse c dans le vide dans tous les référentiels, son énergie est reliée à sa fréquence par la relation d"Einstein (h constante de Planck), sa quantité de mouvement est reliée à sa longueur d"onde par la relation de Louis de

Broglie

dans le vide p = llll====nnnnh ch EX3

E = hnnnn

p l=h

®pp

®pp

®R

Document créé par Dominique ROSIER Page 3 13/02/2007 EX1 Un neutron de masse m entre en collision elastique avec un noyau de

masse = Am au repos dans le référentiel R L

Soit q

B l"angle de déviation du neutron dans le référentiel barycentrique R B

1°) On désigne par K et Ko l"énergie cinétique du neutron après et avant le choc

dans R

L Calculer K

Ko en fonction de A et q B

2°) Dans R

B toutes les directions sont équiprobables en déduire l" énergie cinétique moyenne K dans R L

3°) étudier K

en fonction de A .

4°) dans un réacteur nucléaire la matière fissile produit des neutrons de fission

chacun d"énergie Eo = 2 MeV . Calculer le nombre de collisions nécessaires pour en faire des neutrons "thermiques" d"énergie 3/2kT = 0,025 MeV pour les modérateurs suivants:

¨ eau légère H

2 O

¨ eau lourde D2O

¨ graphite C

Pour l"eau et l"eau lourde on négligera les collisions sur l"oxygène

5°) question subsidiaire: pourquoi faut il ralentir les neutrons avant leur collision sur

les noyaux d"uranium? EX2 Choc inélastique, énergie de seuil. Une particule de masse m

1 (par

exemple un électron), animée d"une vitesse v

1® , entre en collision avec une

particule de masse m

2 (par exemple un atome) initialement au repos, ces vitesses

étant définies dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. Par le

fait du choc, la particule de masse m

2 est excitée et passe de l"état fondamental à

un niveau d"énergie E au dessus du fondamental.

1°) Exprimer la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de

l"énergie totale ; on désignera par v"

1® et v"

2® les vitesses des deux particules après

le choc.

2°) On pose q = (v

1® ,v"

1® ) . Montrer que ??p"

1 ?? est donnée par une équation second degré dans laquelle q intervient comme paramètre. En déduire que pour que le choc ait lieu suivant le processus indiqué, il faut que l"énergie cinétique de la particule incidente soit supérieure à un certain seuil dont on donnera l "expression

pour la valeur de q la plus favorable. EX3 A on considère un photon frappant un miroir sous incidence nulle,

1. quelle est la variation de quantité de mouvement du photon au cours du choc

2. déterminer en fonction de la densité volumique d"énergie U

de l"onde électromagnétique le nombre de photon par unité de volume

3. en déduire la force qui s"exerce sur la portion S de miroir, puis la pression,

appelée pression de radiation que la lumière exerce sur le miroir

B . Applications

4. Radiomètre : un radiomètre est un petit moulinet à quatre pales pouvant

tourner dans le vide autour de son axe, chaque pale présente une face réfléchissante et une face parfaitement absorbante (face noircie), il est éclairé par un faisceau lumineux sous incidence nulle, montrer qualitativement que le radiomètre se met à tourner autour de son axe et déterminer le sens de rotation

Rq radiomètre dans l"air

5. Comète : préciser sur un dessin les positions relatives du soleil, de la queue et

du noyau de la comète lorsque cette dernière passe prés du soleil, le schéma sera argumentéquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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