[PDF] 1 Quantique ou classique ? 2 Longueur donde de De Broglie 3

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MP1 Janson de SaillyTD Mécanique quantiqueTD : Mécanique quantique

Valeur numérique de la constante de Planck :

h= 6,62×10-34J.s et~= 1,05×10-34J.s

1 Atome d"hydrogène

Dans son état fondamental d"énergieE0, l"électron (de massem) d"un atome d"hydrogène H dont le proton est supposé fixe enO(ori- gine des coordonnées) est décrit par une fonction d"onde à symétrie sphérique : stat(r,t) =Aexp? -ra exp? -iE0t~ oùrest la distance àO,Aune constante réelle positive eta=~24πε0me 2.

On donne pourα >0:

0xnexp(-αx)dx=n!α

n+1

Données numériques:

e= 1,6.10-19C;ε0= 8,85.10-12F.m-1;m= 9,1.10-31kg

1)Déterminer la valeur deA.

2)En utilisant le volume d"une coquille sphérique comprise entre

les sphères de rayonretr+ dr, déterminer la probabilité pour que l"électron soit situé dans cette coquille en la mettant sous la forme :dP=f(r)dret en donnant l"expression def(r).

3)Pour quelle valeurr0derla densité linéique de probabilitéf(r)

est-elle maximale? Quelle est la valeur moyenne?r?? A.N. : cal- culer?r?.4)Donner l"expression de l"énergie potentielleV(r)de l"électron. en déduire l"expression littérale de l"énergieE0de cet état fon- damental, en fonction dee,ε0etr0. A.N. CalculerE0en Joules puis en eV. Dans les deux exercices suivants, on utilisera les intégrales gaus- siennes suivantes, avecα?R?+etβ?C: -∞exp(-αu2+βu)du=?π exp?β24α? et -∞u2exp(-αu2)du=?π

4α3

2 Oscillateur harmonique quantique

On étudie un modèle unidimensionnel dans lequel un quanton de massemest soumis à une énergie potentielle de la forme

V(x) =12

mω20x2(oscillateur harmonique de pulsation propreω0). La théorie quantique prévoit que son énergie est quantifiée, les diffé- rentes valeurs possibles formant une suite : E n=~ω0? n+12 oùn?Nest un entier naturel appelé nombre quantique. L"état fon- damental correspond àn= 0et, pour cette énergie particulière, l"état stationnaire du quanton s"écrit : stat(x,t) =Cexp? -mω0x22~? exp? -iE0t~

1)DéterminerC. Quelle est sa dimension?

1 déterminer l"expression deE0et vérifier la cohérence avec l"ex- pression générale deEndonnée au début de l"exercice.

3)Représenter l"allure générale de la densité de probabilité de pré-

sence du quanton en fonction dex. En déduire sans calcul que, dans cet état quantique,?X?= 0.

4)Calculer l"indétermination quantiqueΔXsur la position.

5)Malheureusement,ΔXest difficile à mesurer car, à température

Tnon nulle, il existe aussi une incertitude sur la positionΔXT liée à l"agitation thermique et qui est donnée par :

ΔXT=?k

BTmω

20 oùkB= 1,38.10-23J.K-1est la constante de Boltzmann. a) Quelle est la temp ératureT0en dessous de laquelle l"indé- termination quantique devient plus importante que l"incer- titude sur la position liée à l"agitation thermique? b) A.N. : calculer T0pour une massem= 50 g accrochée à un ressort de raideurk= 300 N.m-1. c) Même question p ourun atome de masse m= 9.10-26kg qui oscille autour de sa position d"équilibre stable dans un cristal, avec la pulsation propreω0= 0,52.1013rad.s-1.

3 Paquet d"onde gaussien

On étudie un quanton libre (V= 0) dans un modèle unidimension- nel où sa fonction d"onde est de la formeΨ = Ψ(x,t). La position de ce quanton peut prendre toute valeur sur l"axe(Ox)entre-∞et +∞.1)On cherche un état stationnaireΨstat(x,t) =?(x)exp? -iEt~ associé à une énergieE >0donnée. En utilisant l"équation de nérale de?(x). On introduira :k=?2mE~

2et deux constantes

complexesAetB. Dans la suite, on ne s"intéressera qu"à l"état stationnaire qui se propage dans la direction+-→uxet on noteraAla constante associée.

2)Pourquoi un tel état ne peut décrire convenablement l"état quan-

tique de la particule? Pour remédier à ce problème on considère une superposition continue de ces états stationnaires que l"on

écrit sous la forme :

Ψ(x,t) =?

-∞A(k) exp(ikx)exp? -iEt~ dk où le coefficientA(k)dépend dekselon l"expression :

A(k) =A0exp(-a2k2)

oùA0etasont deux constantes réelles positives. On parle de paquet d"onde gaussien. Quelle est la dimension dea? Pour simplifier, on étudie ce paquet d"onde à l"instantt= 0.

3)Déterminer l"expression deΨ(x,0).

4)Représenter l"allure de la densité de probabilité de présence

X(x,t= 0)en fonction dex. Indiquer ses caractéristiques re- marquables : maximum, largeur à mi-hauteur.

5)Déterminer la constanteA0.

6)Montrer sans calcul que?X?(t= 0) = 0. Calculer l"indétermina-

tion quantiqueΔX(t= 0)sur la position du quanton à l"instant t= 0. 2 MP1 Janson de SaillyTD Mécanique quantique4 Niveaux d"énergie d"un neutron dans le champ de pesanteur On commence par se placer dans le cadre de la mécanique classique. Une particule de massemest lâchée depuis une hauteurHdans le champ de pesanteur terrestre, avec une vitesse initiale nulle. Elle est soumise à la seule force de pesanteur. Le sol enz= 0est impénétrable et correspond à une barrière de potentiel d"amplitude infinie. On sup- pose que le rebond sur le sol se fait sans perte d"énergie mécanique, la vitesse verticale voyant son sens changer mais pas sa norme. L"axe (Oz)est vertical ascendant. 1)

Donner l"expression de l"énergie po-

tentielle de pesanteurV(z)de la particule. On supposeV(0) = 0.

Que peut-on dire de l"énergie mé-

canique de la particule au cours de son mouvement? ReprésenterV(z) en fonction dezsur un graphe et y faire figurer l"énergie mécaniqueE. Quelles sont les altitudes accessibles à la particule?

2)Déterminer l"expression de l"énergie cinétique de la particule à

une altitudezquelconque comprise entre 0 etH. L"exprimer en fonction dem,g,Hetz.

3)La probabilité classiquedPclde présence de la particule entre les

altitudeszetz+ dzest proportionnelle au temps passé entre ces deux altitudes. MettredPclsous la formedPcl=f(z)dzet repré- senterf(z)en fonction dez. On veillera à normaliser correctement la probabilité.

4)On propose maintenant de déterminer les états stationnaires d"un

neutron d"énergieEet de massemdans le champ de pesanteur au-

Ψ(z,t) =?(z)exp?

-iEt~ Le neutron ne peut pas pénétrer dans le sol dont la surface consti- tue une barrière de potentiel infinie : on considère donc toujours que

V(z <0)→+∞.

a)

On définit l agrandeur suiv ante: ?g=?~22gm2?

1/3 . Quelle est sa dimension? b) sous forme adimensionnée en utilisant l"altitude adimension- néeξ=z/?get l"énergie adimensionnéeε=Emg? g. c) Quelles son tles conditions aux limites qui s"imp osentà pendante du temps adimensionnée s"écrit : ?(ξ) =C Ai(ξ-ε) oùCest un facteur de normalisation (qui n"est pas à cal- culer). Toutes les informations utiles sur la fonction d"Airy

Aisont données ci-dessous.

d) Donner les v aleursn umériquesdes niv eauxd"énergie εnpour les deux premiers niveaux d"énergien= 1etn= 2. e) Représen terl"allure de la dens itéde probabilité de présence d"un neutron en fonction dezpour ces deux premiers ni- veaux d"énergie. On explicitera la démarche suivie. 3

MP1 Janson de SaillyTD Mécanique quantique

5 Le retour du théorème d"équipartition - cas

du puits quantique infini Le but de cet exercice est de démontrer le théorème d"équipartition de l"énergie dans un cas particulier : celui du puits de potentiel infini de largeurLà "haute" température.

1)Montrer que les niveaux d"énergie accessibles pour une particule

quantique de massempiégée dans un puits de potentiel infini de largeurLpeuvent s"écrire : E n=n2Efavecn?N? oùEfest une constante à déterminer en fonction dem,~etL. Ce modèle représente une particule libre enfermée dans une boîte unidimensionnelle de longueurL. La valeur infinie du potentiel sur les parois de la boîte, c"est à dire enx= 0et enx=L empêche la particule de sortir de la boîte. On considère maintenant un ensemble deN?1particules

identiques enfermées dans la même boîte unidimensionnelle delongueurL, sans interaction les unes avec les autres et en équi-

libre thermique avec un thermostat à la températureT.

2)Quel est le seul niveau d"énergie occupé à "très basse" tempéra-

ture? On précisera ce que signifie le terme de "très basse" tem- pérature.

3)On considère maintenant que la températureTest quelconque.

Montrer que la valeur moyenne?E?de l"énergie d"une particule donnée peut s"écrire sous la forme : ?E?=Ef∞ n=1n2exp? -n2τ n=1exp? -n2τ oùτest une grandeur adimensionnée dont on précisera l"expres- sion.

4)Commenter les figures ci-dessous, qui représententε=?E?/Ef

en fonction deτà différentes échelles. Quelle conjecture peut-on raisonnablement faire à "haute" température?4

MP1 Janson de SaillyTD Mécanique quantique5)Justifier pourquoi à "haute" température on peut approximer les

sommes infinies intervenant dans l"expression?E?par des in- tégrales en utilisant les figures ci-dessous représentant respec- tivementn2exp? -n2τ etexp? -n2τ en fonction denpourτ= 1000. En déduire une nouvelle expression de?E?faisant

intervenir des intégrales.6)Calculer?E?à l"aide d"une intégration par partie et retrouver le

théorème d"équipartition de l"énergie dans ce cas particulier. 5quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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