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Miroirssph´eriques-Dioptres sph´eriques
Nousal lonsmaintenantaborderdessy st`emesoptiques unpeupluscomplexes,cou ramment utilis´espourproduiredesimages.Nousallonsc ommencerp ar´etudier unmiroirsph´eri quedefa¸conrigou reuse,sansfaire
d'approximation,maisassezrapidement nousseronsamen´es `ar estreindrelesr ayonsi ncidents`a ceuxposs´edant
certainescaract´ eristiques.Nousd´efinironsalorslesconditions deGauss etnousnousplaceronsdanslecadre
del'opt iqueparaxiale(nousd´efin ironscestermesplusl oin).1Mir oirssph´eriques
1.1Intr oduction:focaliserlalumi`e re
Nousav onsmentionn´eplushau tquedanslesdispositifsfocalisants,un ensembledemiroi rsplanspeu tˆe tre
remplac´eparunmiroir courb e.La formeoptimalepourfocaliserdes rayonsparall`elesenunpointes tlapar abole
(c'estlaformed esan tennes quipermettentd ecapterlessignauxTV ´emisparles satellites).Toutefois,ilestbeaucoupplussim plee npratique,etmoinson ´ereux,defabriquerdesmiroirssph´eriques,
quipermette ntfinalementd'arriveraumˆemer´esultat ,commenousallonslevoirdans cechapitre.Unmiroir sph´erique estunesurfacer´efl´echissantecon stitu´eed'u neportionde sph`ere.On enrencontredeux
types,lesmiroirsconcavespourlesquelslar ´efl exionalieus url'int´erieurdelasph`ere,etlesmiroirsconvexes
pourlesquel slar´eflexionalieusurl'ext ´erieur delasph`ere.Cesmiroirspr´esententunint´ erˆ etpartic ulier,carla
sph`ereestunesu rfacerelativement facile`a usineravecpr´ ecision.1.2Miroir concaves- faisceauparall`ele
Onconsid` ereunmiroirsph´eriqu edece ntreCetde rayonR,et onconsid`erepour commencer unensembledera yonsincidentsparall`e les.Lafiguresuivanteindiquelamar ched'undecesrayons.Parsym´et rie,tou sles
rayonsincidentscor respondant`alamˆemedistanc eh(ilssontr´ epartissur uncylindre)sontr´efl´e chisversle
mˆemepointAsurl'axe.Calcul onslap ositiondecep ointA.Lanor maleau miroirestconfondueave cler ayon 1 c'estunepropr i´et´e dessph`eres.D'apr`eslaloidelar´eflexion,lesangles CMAetACMsont´egaux, sibienque
1Onveut iciparlerdu rayon delasph`ere .Pour´eviterto uteconfusionentrela notiond eray onlumineuxetcellederayondela
sph`ere,nousutiliseronsplutˆ otleterm e"normale»danslesecondca s. 2324Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques
Fig.2.1:Un exemplede r´eflexionsurun miroirsph ´erique. C M N i i i A S Fig.2.2:Marche d'unrayoninci dent,avant etapr`esr´eflexion surunmiroirsph´erique convexe. letrian gleCAMestisoc`ele enA.Dansle triangleCAB,onv oitimm´ ediatement que CA= R 2cosiLap ositiondupoint Ad´ependdoncdesrayonsconsid´er´es,d el'angle i,oude fa¸c on´equi valentedelahauteur
h.Lesyst `e menefaitpasconverge rl'ensem blederay onsparall` elesversunpointbiend´efini.Iln'es tpas
stigmatique.Cependant, lorsquel'onconsid`eredesrayonslumineuxpro chesdel'axeoptique,l'angle iestfaible
etona cosi≈1soitCA≈
R 2Demani` erepluspr´ecise,onpeu tutiliserlesd ´eveloppementslimit´eset´ecrir e,lor squeiestpetit,
cosx≈1- x 2 2! x 4 4!Onobtien talors,`al'ordre2e ni,
CA≈
R 2(1-i 2 /2) R 2 1-i 2 /2 -1 R 2 Ri 2 4Lorsquel'onconsid`ere des rayonslumin euxprochesdel'axe optique,l'angleiestfaibleetl esrayon sparall `eles
convergenttousversununiquepointF ,qui constituepard ´efinitionlefoyerimage CF R 21.Miroirs sph´erique s25
C C SFFig.2.3:marc hedesrayonsr´efl ´ech isetleursprolongements(` adroite,zoomsurlesrayonsd'inclinaisonrelativement
faible).Mettreune photodec austiquevuedans unetassed ecaf´eouunealliancedor´ ee+mˆeme figurepourlemiroi rconvexe .Onpe utdoncutiliserunmiroirsph´ eriquepourconce ntrerlalumi`ere d'unfaisce auparall`elee nunpoint,pourvu
qu'onnel'utili sequ'auvois inagedel'axeoptique.On peutpourcel autiliserdesdiaphragmes,qui permetten t
debloquer lesrayonsind´ esirable s. Dela mˆemefa¸ con,enutilisantlaloidure tourinverse,ontrouvequelesra yons issusdupointF sontr´efl´echisenunfaisceauparall`elepar lemiroir. Cettepropri´ et´ed´efinitlefoyerobjet,qu'onn oteg´ en´erale ment
F.Dansle casdumir oirsp h´eriq ueconv exe,lefoye robjetetlefoyerimagesontconfond us,F=F1.3Miroir concave-fais ceauparall`eleinclin´e
Consid´eronsmaintenantunfaisceauconstitu´ ederayonsvenan td edeuxdir ectionsdiff´erentes(on´etendra
facilementlesr´ esultats`auncasencorep lusg´en´eral).Onrajout epourcelaau xray onspr ´ec´ edentsd'autres
rayons,inclin´esd'unangleα.En tra¸cantun nouvelaxe,inclin´ed'unangleαparrapp ortaupremieretpas sant
parC,ons eretrou veexacteme ntdanslasituationpr´ ec´edente,etl'onsaitquecesray onsinclin´ esvon tconverger
enunp ointF 2 situ´eaumilieudu ray oncorrespondant,p ourvuqu 'ilssoientassezpro chesdel'axe.CF'CF'
2Lesco ordonn´eesdecepointF
2 s'´ecrivent,dansunrep`ered'origineC, x= R 2×cosαety=
R 2×sinα
Lorsquelesra yonssont peuinclin´esparrapport`a l'axeoptique,l'angleαestpetitet onpeutremplace rles
fonctionstrigonom´etriquespar leurd´eveloppementlimit´eaupre mierordre enα,c' est-`a-dire
x≈ R 2 ety≈ R 226Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques
Lesray onsvontdoncconvergersur lepland'´e quationx=R/2.Ce plan,perp endiculaire`al' axeoptiqueetpassantparle foyerimage,es tappel´eplanfocal image.On d´efinit demˆemeleplanfocal objet.Cesdeux plans
sontconfondus danslecasdumiroirsph´erique. Latail lede l'imagedans lepl anfocalestdonn ´eepar: A B =f Rα 2 (2.1)Parexempl e,laplan`eteJupiter(α≈3×10
-4 rad)vue`a traversle miroirdut´ elescopeHubble(R≂60m) donnedanslep lanfoc alune imagede9mmd ehaut.1.4Miroir convexes
CAMihiHiS
Fig.2.4:Notati onsutilis´eesdansl ecasdumiroirconvexe. Onpe utreprendrel'ensem bledecequipr´ec`ede, danslecasd'unmiroirconvexe.Ensebasantsurlafigur e pr´ec´edente,ontrouvedenouveauque CA= R 2cosiLadis tanceCAestlamˆem e,maisle pointAsetrouv emaintenant`a gauchedeC,alors qu'il´etait `adroitede
Adanslecasd umiroirconca ve.
Grˆaceauxdistancesalg´ebriq ues,onpeu tdi ff´erencierentrelesdeuxtypesdemiroird'apr`esle signedeCS.
Unmiroir estconcave siCS>0et convexes iCS<0.
Onp eutsynth´ etiserlesdeuxr´esultatspr´ec´ edentssousuneformeuniqu e CA= CS 2cosi Onadon cdans lesdeux cas,pourla positiond ufoyerimage, CF CS 2Danslecasdumir oircon vexe, l'imageform ´eepardes rayonsincidentsparall`el eest virtuelle,etsitu´eederri`ere
lemiroir.1.5Les conditionsde Gaussetl'optiqueparaxiale
Lesdeux condi tionsquenousavonsinvo qu´ees,r ayonspro chesd'unmˆemeaxeetp euinclin´esparrapport`a
cetaxesont appel´ee sconditionsdeGauss,etce taxee stappel´e axeoptiq ue.Lesr ayons v´erifiantlesconditions
deGaussson tappe l´esrayonsparaxiaux.1.Miroirs sph´erique s27
Unegrande partie-sinonla totalit´e-de l'optique g´eom ´etr iquequevous´etudier ezc etteann ´eeseplace
danslecadrede cescondition s.O npe uttrouver aga¸cantdecommenceruncoursense faisantdessimpli fica-
tionsdrastiques, etdouterquel'onobtiendra ainsi quoiquecesoitd'utile.Sitel estle cas,c'estune grosseerreur!L'optiqueparaxiale estadapt´ ee`aungrand nombredesituations pratiques,etpermetde comprendre
lefonction nementetlespropri´et´es delaplupar tdesinstru mentsd'optique.Deplus ,nousconnaissonse xactementleste rmesquenousavonsn´eglig´ es,ilssontd'ordre2enieten α.Il
esttoujoursp ossibledelesprendr eencomptepourcalculerlesd´ eviationsqu 'ilsdonn entparrapportaucas
paraxial. Danslecadrede cetteap prox imation,onpe utaussi consid´ererquel'ensembledumiroirestcontenu dans unplan contenantle sommet.Onrepr´esentealorsle sm iroirscommedesplansaux bordsarrondis, indiquantsile miroire stconvexeou concave. Cen'estqu'unenotation,etil nefaut pasappliquerlesloisdelar´eflexion
surunm iroirpl an,maislesr`eglesdecon structiong´ eom´etriq ues´e nonc´eesplushaut. Danscequi suit,onvas' appuye rsuru nepropri ´et´etr `esimportantedessyst`emesoptiques:Danslesconditions deGauss,le ssyst`emesop tiquesposs ´edantlasym´e trieder´evolution sontapproximativement
stigmatiques. C'estlecasnotam mentdes miroirs sph´eriquesconsid ´er ´esdanscechapitre.1.6Objet` adis tancefinie-construct iong´eom´ etriquedesr ayon s
Enutilis antlapropri´et´edestigmatis meappr och´e,onpeutconstruirelesr ayonsde fa¸conpuremen tg´eom´etrique.
Onpeut seconten terpourcelad' utiliserdeuxdestroispropri ´et´es suivantes : -Lesray onspassantparlecen tredumiroirneson tpasd´evi ´es; -Lesray onsarrivantparall`eles` al'axeoptiqueconver gentverslefoyerimage ; -lesray onsissusdufoyerob jetrepartentparall`eles`a l'axeop tique. Pourtoutpointob jet,onconstr uitdeuxdecesrayons etonend´ eduit lapositiondel'image.Onend´eduitCF'ABB'A'
(1)(2)(3)CF'ABB'A'
Fig.2.5:Con structiong´eom´etriquedesrayonsdanslecas d'unmiroirconcaveetd'unmiroirconvexe.laplupar tdespropri´et´es quis uivent.Danslescasrepr´esent´esic i,l'imageestr ´eelleetinvers´eepourlemir oir
concave,maisvirtuelleet droitepourlemiroircon vexe. Cen'e stpastoujoursle cas. Pourlemiroirconcave ,onp eut distinguerdeuxcas.Quand l'ob jetestsitu´eavantlef oyer,sonimageestr´eelle,l'objetetl'image´etants itu´esdepartetd'autre ducen tre.Quand l'objetestsitu´eapr`es lefoyer,son
imageest virtuelleetsi tu´eederri` erelemiroir. Pourlemiroirconv exe,ondistin gueaussideuxcas. Quandl'objetestsitu´eav antle foyer,sonimage estr´eelle,l'objetetl'image´etant situ´esdepartetd'autre ducen tre.Quan dl'objetestsitu´eapr`es lefoyer,son
28Chapitre2.Miroi rssph´ eriques-Dioptressp h´eriques
CSF'CSF'
Fig.2.6:Sil' objet estavantlefoy er(figurede gauche),l'imageestr ´eelleetin vers´ee.Sil'objet esten trele foyeretle
sommet,l'imageest virtuelle,droite,etsitu´ eederri` erel'image. imageest virtuelleets itu´eederri `erelemir oir.CSF'AA'CSF'AA'
Fig.2.7:Sil' objetAestavant lesommet(figuredegauche),l'imag eA estvirtuelleet situ´eeentrel esommet etlefoyer.Sil'o bjetestvirtueletsitu´eent relesomm etetlefoy er,(toujours figuredegauche,o`ucettefoisc'est A
quijouel erˆoled'objet),l 'imageAestr´e elle,etsitu´eeavantlesomm et.Si l'objetestvirtueletderri`erelefo yer
(figurededroite) sommet,l' image estaussivirt uelle,invers´ee,etsitu ´eederri`ere lefoyer. Ace stade,ilest fortementrecommand´ ede semunird 'unecuill`ere.1.7Exp ´eriencesimple
Seregarderdan sune cuill`ere `asoupe,du cˆot´econcaveetducˆot´econvexe ,etcommenter. ?Rep.6
1.8Relation deconjugaisonaveco rigineau sommet
Consid´eronsunensemble deray onslumineuxissusd'unpointAsitu´esurl'axeoptique, `aun edistance finie.
Onse place directementdanslesc onditionsdeGauss.Onaalors h=SAtan(θ-i)=SA tan(θ+i)=SCtanθ(2.2) Danslescondit ionsd eGauss,onpeutassim ilerles tangentes`aleur sargum ents,et h=SA×(θ-i)=SA×(θ+i)=SC×θ(2.3)
1.Miroirs sph´erique s29
Fig.2.8:Agauc he,une cuill`erep ermetde formeruneimaged'unobjetlointain.A droite,unegrossecuill`ere,le miroir
dut´ elescopespatialHubble.ChA'S Ai
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