Sans titre
Démontrer par récurrence pour tout entier naturel n ? 1. 2. 2 1 n n. + ? . Exercice 5. On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par: u0 = 1
Antilles-Guyane-Septembre-2014.
Soit la suite (un) définie par u0 =1 et pour tout entier naturel n
S Antilles – Guyane septembre 2018
Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points. On considère la suite (un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n
Devoir surveillé n°4 : un corrigé
Devoir surveillé n°4 : un corrigé. EXERCICE 4.1 (8 points). On considère la suite (un) d'entiers naturels définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n
Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 9 juin 2021 Candidats
9 juin 2021 1. On considère la fonction définie sur R par f (x) = xe?2x. ... On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn ...
Exercice 4 : suites ( E 1
On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n
Métropole septembre 2019
On considère la suite (un) définie par : u0=3 et pour tout entier naturel n un+1=f (un) . On admet que cette suite est bien définie. 1. Calculer u1 .
LES SUITES
u0 = 1 u1 = 3
1 On considère la suite (un) définie par u0 = 1 2 et telle que pour
On considère la suite (un) définie par u0 = 1. 2 et telle que pour tout entier naturel n un + 1 = 3un. 1 + 2un . 1-a) Calculer u1 et u2 . u1 = 3u0. 1 +
Correction du devoir commun TS 15 décembre 2012
15 déc. 2012 On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n
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vn+1 +un+1 = vn +un La suite v+u est constante et donc pour tout entier naturel n on a vn +un = v0 +u0 En additionnant
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On considère la suite (un)n?1 définie par u1 = 1 et pour tout entier naturel non nul n par : un+1 = F(un) a Montrer que pour tout réel x : ex ? x + 1
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2) On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout n : un+1 = f (un) a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n 0 ? un ? un+1
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3/ On définit la suite (vn) par la relation vn = 4un – 8n + 24 pour tout n entier naturel a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1 2
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valeur de u0 Exercice (d'après EDHEC) On considère pour tout entier naturel n la fonction fn définie par fn(x) = x5 + nx ? 1 1
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On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n un+1 = f (un) Sur la figure de annexe 1 en utilisant la courbe c et la
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On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n un+1 = f (un) Sur la figure de annexe 1 en utilisant la courbe c et la droite
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5 mai 2022 · 1 On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +?[ par : par la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : { u0
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Montrer que pour tout entier naturel n on a un+1 ? 1 ? 2 3 un ? 1 5 La suite (un) converge-t-elle ? Solution : 1 f est continue et dérivable
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Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite Allez à : Correction exercice 23 : Exercice 24 : Pour tout entier > 0 on considère la fonction
Candidatslibres Sujet 1
ÉPREUVE D"ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
EXERCICE15 points
Communà tous les candidats
1.On considère la fonction définie surRparf(x)=xe-2x.
On notef??la dérivée seconde de la fonctionf. Quel que soit le réelx,f??(x) est égal à : f(x)=xe-2xdoncf?(x)=e-2x+x×(-2)e-2x=(1-2x)e-2xet donc fRéponse b.
2.Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées.
Le nombre de combinaisons possibles est :
a.1728b.1320c.220d.33 12 3? 12!3!(12-3)!=12×11×103×2×1=220
Réponse c.
3.On donne ci-dessous la représentation graphique def?fonction dérivée d"une
fonctionfdéfinie sur [0; 7].0 1 2 3 4 5 6 70
-1 -2 -3 -41 Le tableau de variation defsur l"intervalle [0; 7] est : Baccalauréat spécialité - CorrigéA.P. M. E.P. a.b. x0 3,25 7 f(x) x0 2 5 7 f(x) c.d. x0 2 5 7 f(x) x0 2 7 f(x) f?est négative ou nulle sur [0 , 2] donc la fonctionfest décroissante sur [0 , 2]. f ?est positive ou nulle sur [2 , 5] donc la fonctionfest croissante sur [2 , 5]. f ?est négative ou nulle sur [5 , 7] donc la fonctionfest décroissante sur [5 , 7].Réponse b.
4.Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peutprésenter deux dé-
fauts notés A et B. Une étude statistique montre que 2,8% des puces ont le défaut A, 2,2% des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4% des puces n"ont aucun des deux défauts. La probabilité qu"une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est : a.0,05b.0,004c.0,046d.On ne peut pas le savoir OnappelleAl"événement "la puce a le défautA» etBl"événement "la puce a le défaut B». D"après le texte, on a :P(A)=0,028 etP(B)=0,022. On cherche la probabilité qu"une puce ait les deux défauts, c"est-à-direP(A∩B).
On sait que 95,4% des puces n"ont aucun des deux défauts donc il y a 100-95,4=4,6% des puces qui ont au moins un des deux défauts, doncP(A?
B)=0,046.
OrP(A?B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) donc
Réponse b.
5.On se donne une fonctionf, supposée dérivable surR, et on notef?sa fonction
dérivée.On donne ci-dessous le tableau de variation def:
x-∞ -1+∞ 0 f(x)Centres étrangers candidats libres29 juin 2021
Baccalauréat spécialité - CorrigéA.P. M. E.P.D"après ce tableau de variation :
a.f?est positive surR.b.f?est positive sur ]-∞;-1]. c.f?est négative surR.d.f?est positive sur [-1 ;+∞[. Lafonctionfestcroissantesur]-∞;-1]doncf?estpositive sur]-∞;-1].Réponse b.
EXERCICE25 points
Communà tous les candidats
Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies,si nécessaire, à 10-3. D"après une étude, les utilisateurs réguliers de transportsen commun représentent 17% de la population française.Parmi ces utilisateurs réguliers, 32% sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans. (Source : TNS-
Sofres)
Partie A
On interroge une personne au hasard et on note :
Rl"évènement : " La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun». Jl"évènement : "La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans».1.On représente la situation à l"aide de cet arbre pondéré :
R 0,17 J0,32J1-0,32=0,68
R1-0,17=0,83J
J2.P(R∩J)=0,17×0,32=0,0544
3.D"après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 11% de la popu-
lation française, doncP(J)=0,11. La probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18à 24 ans n"utilisant pas régulièrement les transports en commun estP?R∩J?
D"après la formule des probabilités totales :P(J)=P(R∩J)+P?
R∩J?
doncP?R∩J? =P(J)-P(R∩J)=0,11-0,0544=0,0556 soit 0,056 à 10 -3près. 4.PR(J)=P?
R∩J?
P?R? =0,0560,83≈0,0675 La proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun est donc d"environ 6,75%.Centres étrangers candidats libres39 juin 2021
Baccalauréat spécialité - CorrigéA.P. M. E.P.Partie B
Lors d"un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard 50 personnes en une journée sur leur pratique des transports encommun. La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise. SoitXla variable aléatoire dénombrantles personnes utilisant régulièrement les transportsen commun parmi les 50 personnes interrogées.1.• Oninterroge unepersonneauhasardetiln"yaque deuxpossibilités :elle uti-
lise régulièrement les transports en commun, avec une probabilitép=0,17, ou pas, avec une probabilité de 1-p=0,83. • On réalisen=50 fois ce questionnement de façon identique. Donc la variable aléatoireXqui donne le nombre de personnes utilisant réguliè- rement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées suit la loi binomiale de paramètresn=50 etp=0,17.2.P(X=5)=?
505?
×0,175×(1-0,17)50-5≈0,069
Il y a donc une probabilité de 0,069 que, sur 50 personnes interrogées, exactement5 prennent régulièrement les transports en commun.
3.Le recenseur indique qu"il y a plus de 95% de chance pour que, parmi les 50 per-
sonnesinterrogées, moins de 13d"entre ellesutilisent régulièrementles transports en commun. Autrement dit, le recenseur affirme queP(X<13)?0,95. OrP(X<13)=P(X?12)≈0,929<0,95 donc cette affirmation est fausse.4.Lenombremoyen depersonnesutilisant régulièrementlestransportsencommun
parmi les 50 personnes interrogées estE(X)=np=50×0,17=8,5.EXERCICE35 points
Communà tous les candidats
En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s"inscrire dans une démarche écoresponsable. Elle propose alors à ses 5000 collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l"entreprise. En mai 2020, seuls 200 d"entre eux ont choisi le télétravail. Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l"entreprise de continuer, et que, chaque mois, 450 collaborateurs supplémentaires choisissent le té- létravail. On modélise le nombre de collaborateurs de cette entrepriseen télétravail par la suite an). Le termeandésigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs entélétravail le n-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsia0=200.Partie A
1.a1=a0×85
100+450=200×85100+450=620
3.On considère la suite(vn)définie pour tout entier naturel n par :vn=an-3000;
on en déduit quean=vn+3000.Centres étrangers candidats libres49 juin 2021
Baccalauréat spécialité - CorrigéA.P. M. E.P. =0,85vn+2550-2550=0,85vn •v0=u0-3000=200-3000=-2800 Donc la suite (vn) est géométrique de raisonq=0,85 et de premier terme v0=-2800.
b.On en déduit que, pour toutn, on avn=v0×qn=-2800×0,85n.4.Le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement
supérieur à 2500, après la mise en place de cette mesure dans l"entreprise est le nombre entierntel quean>2500; on résout cette inéquation : a n>2500?? -2800×0,85n+3000>2500??500>2800×0,85n??500 2800>0,85 n ??ln?500 2800?
>ln(0;85n)??ln?528? >n×ln(0;85)??ln?5 28?
ln(0,85)< n
Orln?5
28?ln(0,85)≈10,6, donc le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétra- vailleurs sera strictement supérieur à 2500 est 11.
Partie B
Afin d"évaluer l"impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l"entreprise sont parvenusà modéliser le nombre de collaborateurssatisfaits parce dispositif à l"aide de la suite (un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln, u n+1=5un+4 un+2 oùundésigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaitspar cette nouvelle me- sure au bout denmois après le mois de mai 2020.1.Soitfla fonction définie pour toutx?[0 ;+∞[ parf(x)=5x+4
x+2. f ?(x)=5×(x+2)-(5x+4)×1 (x+2)2=5x+10-5x-4)×1(x+2)2=6(x+2)2 f ?(x)>0 sur [0 ,+∞[, donc la fonctionfest strictement croissante sur [0 ;+∞[.2. a.SoitPla propriété 0?un?un+1?4.
•Initialisationu0=1 etu1=5×u0+4 u0+1=5×1+41+2=93=30?1?3?4, soit 0?u0?u1?4, donc la propriété est vraie pourn=0.
4. Lafonctionfeststrictementcroissantesur[0;+∞[doncsur[0; 4[,donc de la relation 0?un?un+1?4, on déduitf(0)?f(un)?f(un+1)? f(4). f(0)=4 Onadonc: 0?un+1?un+2?4,doncla propriétéest vraieaurangn+1.Centres étrangers candidats libres59 juin 2021
Baccalauréat spécialité - CorrigéA.P. M. E.P. •ConclusionLa propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire pourtoutn?0, donc, d"après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n?0. On a donc démontré que pour toutn, on a : 0?un?un+1?4. b.• Pour toutn, on a;un?un+1donc la suite (un) est croissante. • Pour toutn, on a;un?4 donc la suite (un) est majorée. gence monotone, la suite (un) est convergente.3.On admet que pour tout entier natureln, 0?4-un?3×?1
2? nLa suite
3×?1
2? n? est géométrique de raisonq=12; or-1<12<1 donc la suite3×?1
2? n? converge vers 0. D"aprèslethéorèmedesgendarmes,ondéduit lim n→+∞(4-un)=0etdonc limn→+∞(un)= 4. Cela signifie que le nombre de collaborateurs satisfaits va tendrevers4 milliers sur les 5000 que compte l"entreprise.EXERCICEAU CHOIX DU CANDIDAT5 points
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B Il indique sur sa copie l"exercice choisi : exercice A ou exercice B.EXERCICE A - Géométriedans l"espace
Dans un repère orthonormé de l"espace, on considère les points suivants : A(2 ;-1 ; 0), B(3 ;-1 ; 2), C(0 ; 4 ; 1) et S(0 ; 1 ; 4). 1. --→AB :((3-2 -1-(-1) 2-0)) =((102)) et--→AC :((0-24-(-1)
1-0)) =((-2 5 1))1×2=0 donc--→AB?--→AC. Le triangle ABC est donc rectangle en A.
2. a.Soit le vecteur-→n((21
-1))Les vecteurs
--→AB et--→AC ne sont pas colinéaires donc ce sont deux vecteurs directeurs du plan (ABC). -→n·--→AB=2×1+1×0+(-1)×2=0 donc-→n?--→AB -→n·--→AC=2×(-2)+1×5+(-1)×1=-4+5-1=0 donc-→n?--→ACLe vecteur
-→nest orthogonal aux deux vecteurs--→AB et--→AC, donc il est ortho- gonal au plan (ABC). b.Le vecteur-→nest un vecteur normal au plan (ABC) donc le plan (ABC) a une équationcartésiennedelaforme:2x+1y+(-1)z+d=0soit 2x+y-z=d=0 oùd?R. A?(ABC) donc 2xA+yA-zA+d=0, c"est-à-dire 4-1+0+d=0, doncd=-3.Le plan (ABC) a pour équation : 2x+y-z-3=0.
Centres étrangers candidats libres69 juin 2021
Baccalauréat spécialité - CorrigéA.P. M. E.P. c.2xS+yS-zS-3=0+1-4-3= -6?=0 donc S??(ABC) donc les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.3.Soit (d)la droite orthogonale auplan (ABC) passantparS. Elle coupe le plan (ABC)
en H. a.Ladroite(d)estorthogonaleauplan(ABC) doncelle apourvecteurdirecteur le vecteur-→n. De plus elle contient le point S(0 ; 1 ; 4). Donc elle a pour représentation paramétrique : ?x=0+2×t y=1+1×t t?R z=4+(-1)×tsoit???x=2t y=1+t t?R z=4-t b.Le point H est l"intersection de la droite (d) et du plan (ABC), donc ses coor- données vérifient le système : ?x=2t y=1+t z=4-t2x+y-z-3=0
Donc : 2
(2t)+(1+t)-(4-t)-3=0, c"est-à-dire 4t+1+t-4+t-3=0 soit t=1.Pourt=1, on aurax=2×1=2,y=1+1=2 etz=4-1=3.
Les coordonnées du point H sont donc (2 ; 2 ; 3).4.On rappelle que le volumeVd"un tétraèdre estV=aire de la base×hauteur
3. • La base est le triangle ABC rectangle en A dont l"aire vautA=AB×ACquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] on considere la fonction f definie sur
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