[PDF] TP2 : Calcul du mème élément des m premiers éléments dune suite )

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ECE2-B2019-2020

TP2:Calcul dum

ème

(Révisionssurlastructureité rativefor)

Pré-requis:l 'objectifdespremièresséancesdeTP estdefa irelepointsurdesfonct ionnalitésim por-

tantesdeScilabquiontétév uesenpremière année.J evousinvi teà consulterleschapitres decours

Onpou rraenparticulierserepo rter au"CH7: Less tru cturesit ératives». !Dansledossier Info_2a(resp.Info_3a)créé auTPpr écédent,créer led ossierTP_2.

I.Calc uldu10

ème

élémentd'unesuite

Oncons idèrelasuite(u

n n!N !définiepar: !n"N ,u n+1 =2u n +n+1 u 1 =1 D'autepart,onconsi dèreleprogramme Scilabsuivant: 1u=1

2u=2!u+1+1

3u=2!u+2+1

4u=2!u+3+1

5u=2!u+4+1

6u=2!u+5+1

!Queréalis eceprogramme? •Àla findel 'exécutio ndelap remièreligne,lavariableucontientlavaleurdeu 1 •Lavaleu rdeu 2 estdon néeparlaformule:u 2 =2u 1 +1+1. Ladeux ièmeligneconsisteàmet treàjourlavaria bleuenlu iassignan tlavaleurcalculée par2!u+1+1.Or endébut del igne1,lavariableucontientu 1

Ainsi,enfindeligne,u nefo isl'a

ectationexécutée,lavaria bleucontientlavaleurdeu 2 •Ainsi,ucontientlesvaleurssucces sivesd elasuite(u n !Commentobtenirlava leurdeu 10 ?Deu 20 ?Deu 250
•Pourcalculeru 10 etu 20 ,o npeutenv isagerd'ajo uterdeslignesauprogramm eprécédent. •Cetteméthode neconvientévidemmentpa spourl ecalculdeu 250
.On faitalo rsappelà unestruct ureitérative.Plusprécisément ,étantdonnéquel'onconnaît lenombre d'itérations,onutiliseunebouclefor. 1u=1

2fori=1:249

3u=2!u+i+1

4end •Onremar queaupassagequepouro bteniru 250
oninitialise lavariableupourluidonn er laval euru 1 puisone ectue249(attentionànepasécrire250)mi sesàjour. 1

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II.Calculdu m

ème

élémentd'unesuite

!DansunongletSciNotes,écr ireunprogrammeq ui: !demandeinitialementàl 'utilisateurd'entrerauclavierlaval eur d'unentierm, !initialiseunevariable uàla valeur 1, !metàjour udansunestruct ureitérati vedesorteàcequeucontiennelavaleurdum

ème

élément

delasu iteenfin deboucle. !a"chelaval eurdeu.

Sauvegarderceprogrammesouslen omemeSuiteU.sce.

1m=input("Prièred''entrerunentier m:")

2u=1

3fori=1:m-1

4u=2!u+i+1

5end

6disp(u)

!Calculeru 12 etu 20

àl' aideduprogrammepr écédent.

Onobti entu

12 =8178etu 20 =2097130. !Dansunnouvel ongletSciNotes,cop ier-collerleprogrammeprécédent. Modifierceprogrammeafind 'ob tenirunefonctionemeSuiteUqui: !prendenparamètr eun evariablem, !calculeensortieun eva riableucontenantlem

ème

élémentdelasui te(u

n

1functionu=emeSuiteU(m)

2u=1

3fori=1:m-1

4u=2!u+i+1

5end

6endfunction

!Calculeru 7 etu 15

àl' aidedelafonctionprécéd ente.

Onobti entu

7 =247etu 15 =65519. !Selonvous,qu elssontlesavantag esdelareprésent ationsousform edepr ogrammeavecdialogue utilisateur?Sousformedefonction? •D'unpointdev ueutilisateur,l aversio navecdialo gueutilisateur,plusludique,peutêtre plusappréciée. •D'unpointdev uealgorithmiqu e,ilfaut privilégier laversionsousformedefonction. L'avantageestquelecalculréalisé paremeSuiteUpeutfacilement êtreutiliséailleurs (notammentdansuneautrefonctio n):ilsu tpo urcefaired'écri rel 'appel emeSuiteU(m)(avecmchoisicorrectement). 2

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III.Calculdes mpremiersélémentsd'unesuit e

!Dansunonglet SciNotes,écr ireunprogrammeq ui: !demandeinitialementàl 'utilisateurd'entrerauclavierlaval eur d'unentierm, !créeunvect eurUcomposéinitialementd emzéros, !metàjour lescoe "cientsdeUdansunestruct ureitérati vedesorteàcequeUcontienneles valeursdesmpremiersélémentsdelasu ite(u n )enfin deboucl e.

Sauvegarderceprogrammesouslen ompremSuiteU.sce.

1m=input("Prièred''entrerunentier m:")

2U=zeros(1,m)

3U(1)=1

4fori=1:m-1

5U(i+1)=2 !U(i)+i +1

6end !Calculerles5premiersélémentsdelasui teàl'aidedupro gramme précédent.

Onobti ent:[1,4,11,26,57].

!Dansunnouvel ongletSciNotes,cop ier-collerleprogrammeprécédent. Modifierceprogrammeafind 'ob tenirunefonctionpremSuiteUqui: !prendenparamètr eun evariablem, !calculeensortieun eva riableUcontenantlesmpremiersélémentsdelasu ite(u n

1functionU=premSuiteU(m)

2U=zeros(1,m)

3U(1)= 1

4fori=1:m-1

5U(i+1)= 2!U(i)+i +1

6end

7endfunction

!E!ectuerletracé des30premièresvaleursdelasu ite(u n Lespoin tscorrespondantdevron tapparaîtresouslaformed'uncerclero uge. Quelleconjecturepeut -onémettresurlalimi tedelasuite(u n

1N=1:30

2U=premSuiteU(30)

3plot(N,U, 'ro')

Auvudu graphi queobt enu,onpeutconjecturerquelasuite(u n )tendvers+#. (ilestp arexemple simplededém ontrerque,pourtoutn"N,u n "2 n#1 3

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IV.Suitesu

n+1 =f(u n )auxconco urs

IV.1.ECRICOME-2015

L'épreuveECRICOME-2015commençaitparl'étuded'un esuiterécur rentedetypeu n+1 =F(u n

Lafoncti onFestdéfini ecommesuit:

F(x)=

0six<0,

1$e #x six"0

Onconsi dèrelasuite(u

n n"1 définieparu 1 =1etpo urtoutn"N par:u n+1 =F(u n !Recopieretcompléterle programme Scilabsuivantquiperme tdereprésenter lescentpremiers termesdelasuite(u n n"1

1U=zeros(1,100)

2U(1)= 1

3forn=1:99

4U(n+1)= -------------

5end

6plot(U,"+")

(ondemanda itdedémontrer,dansunequest ionprécéd enteque:!n"1,u n >0)

U(n+1)=1 -ex p(U(n))

(lorsqu'iln'yaqu'unelig neàcompléter,i ln' yapaslieuderecopier toutleprogramm e) !Lepr ogrammeprécédentcomplétépe rmetd'obtenirlarepré sentationgraphiquesuiva nte. Quelleconjecturep ouvez-vousémettresurlamonotoni eetlalimitedelasuite(u n n"1 D'aprèslareprésentati ongrap hique,lasuite(u n )sembleêtreconvergen te,delimit enulle. 4

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IV.2.ESSECII-20 16

L'épreuveESSECII-20 16comportaituneuniquequestiond 'informat ique (1) quiconsist aitaucodage d'unesuiterécurre ntedéfiniecommesu it: u 0 =1 u n =u n#1 p 1 +...+u 0 pquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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