[PDF] Trigonométrie Voici un cercle trigonométrique

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Ann´ee 2005-20062nde1

Chap 10 :Trigonom´etrie

I. Le cercle trigonom´etrique

1) D´efinition

On munit le plan d"un rep`ere orthonorm´e?

O;-→i ,-→j?

D´efinition 1 :On appellecercle trigonom´etriquele cercleCde centreOet de rayon 1, muni d"un sens de parcours (sens inverse des aiguilles d"une montre).

Le sens de parcours est appel´e

sens trigonom´etrique.

O-→i

-→j -AB C DC On peut associer `a tout r´eelxun point et un seuldeC: •Six?0 on imagine une corde de longueurx. On fixe une extr´emit´e enAet on enroule la

corde dans le sens trigonom´etrique. On appelleMl"autre extr´emit´e de la corde sur le cercle.

Exemple :Le cercle a pour p´erim`etre ..., donc six= 2π Mest en....

Six= 4π,Mest en ...;

Six=π,Mest en ...;

Six=π

2,Mest en....

•Six?0 on r´ealise la mˆeme chose mais en enroulant la corde dans lesens n´egatif.

Exemple :Six=-π

2,Mest en ...;

Six=-2π,Mest en ....

2) Cosinus et sinus d"un r´eelx

On se place dans le rep`ere orthonorm´e?

O;-→i ,-→j?

muni du cercle trigonom´etrique.

A tout r´eelxon associe le pointMdu cercle.

D´efinition 2 :Lecosinus dex, not´e cos(x), est l"abscisse deM. Le sinus dex, not´e sin(x), est l"ordonn´ee deM. O AB M cos(x) sin(x)

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Remarque :D"apr`es le graphique pr´ec´edent on a pour toutxr´eel : cos(x) = cos(x+ 2π) et sin(x) = sin(x+ 2π). De mˆeme on tire la propri´et´e suivante : Propri´et´e 1 :Pour tout r´eelxon a :?cos(x)?2+?sin(x)?2= 1.

II. Les radians

1) D´efinition

Les d´efinitions de cosinus et sinus que nous venons de voir sontcompatiblesavec les d´efinitions

de cosinus et sinus d"un angle vu au coll`ege.

Il suffit pour cela de prendre une autre unit´e que le degr´e pour mesurer les angles :le radian.

On note alors les mesures en rad.

D´efinition 3 :A tout r´eelxde [0;2π[ on associe le pointMdu cercle trigonom´etrique.

La mesure en radians de l"angle

?AOMestxrad.

Exemple :SiMest enBon a?AOM=... rad;

SiMest enAon a?AOM=... rad;

SiMest enDon a?AOM=... rad.

Propri´et´e 2 :Il y a un lien entre la mesureden degr´es d"un angle et la mesureαde ce mˆeme

angle en radians:

α=πd

180.
La correspondance entre certaines mesures en degr´e et en radians est `a connaˆıtre : mesure en degr´es30°120°135° mesure en radiansπ 6 4 3

2) Correspondance des d´efinitions

On consid`ere le pointMdu cercle trigonom´etrique associ´e au nombre r´eelxcomme dans le dessin

ci-dessous : O AB M

P•

Q•

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•Avec la d´efinition de seconde on a cos(x) =OP, •Avec la d´efinition du coll`ege on a, dans le triangleOPMrectangle enP, cos??AOM? =OP OM=

OPcarOM= 1 puisque le cercle est de rayon 1.

On a donc bien cos(x) = cos??AOM?

•Avec la d´efinition de seconde on a sin(x) =OQ, •Avec la d´efinition du coll`ege on a, dans le triangleOMQrectangle enQ, sin??AOM? =OQ OM= OP.

On a donc bien sin(x) = sin??AOM?

III. Les fonctions sinus et cosinus

1) La fonctionf:x?-→cos(x)

a) Ensemble de d´efinition La fonctionfest d´efinie pour toutxr´eel. Son ensemble de d´efinition est donc.... b) P´eriodicit´e Propri´et´e 3 :Pour tout r´eelx: cos(x) = cos(x+ 2π).

On dit que la fonctionfest

2π-p´eriodiquesurR.

2) Parit´e

Propri´et´e 4 :La fonction cosinus est paire c"est-`a-dire que pour tout r´eelxon a : cos(-x) =...... a) Tableau de variation

Puisque la fonctionfest 2π-p´eriodique, il suffit de d´eterminer ces variations sur [0;2π[.

x0π2π f(x) b) Courbe repr´esentative Grˆace aux renseignements pr´ec´edents on peut tracer la courbe repr´esentative def: Oπ 2π -11 Remarque :On voit bien sur la courbe la parit´e et la p´eriodicit´e de lafonction cosinus.

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3) La fonctionf:x?-→sin(x)

a) Ensemble de d´efinition La fonctionfest d´efinie pour toutxr´eel. Son ensemble de d´efinition est donc .... b) P´eriodicit´e Propri´et´e 5 :Pour tout r´eelx: sin(x) = sin(x+ 2π)

La fonctionfest

2π-p´eriodiquesurR.

4) Parit´e

Propri´et´e 6 :La fonction sinus est impaire c"est-`a-dire que pour tout r´eelxon a : sin(-x) =...... a) Tableau de variation

Puisque la fonctionfest 2π-p´eriodique, il suffit de d´eterminer ces variations sur [0;2π[.

x0π23π22π f(x) b) Courbe repr´esentative Grˆace aux renseignements pr´ec´edents on peut tracer la courbe repr´esentative def: Oπ 2π -11 Remarque :On voit bien sur la courbe la parit´e et la p´eriodicit´e de lafonction sinus.

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IV. Valeurs remarquables

Voici un cercle trigonom´etrique relativement d´etaill´e: Voici le tableau des valeurs remarquables `a connaˆıtre pour les fonctions cosinus et sinus : x0π 6 4 3 2 cos(x)1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 sin(x)01 2 ⎷2 2 ⎷3 21

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