PCSI2 Formulaire de trigonométrie tan(x) = sin(x) cos(x) définie si x
Valeurs remarquables : 0 π. 6 π. 4 π. 3 π. 2. 2π. 3 π cos 1. A3. 2. A2. 2. 1. 2. 0. −1. 2. −1 sin 0. 1. 2. A2. 2. A3. 2. 1. A3. 2. 0 tan 0. A3. 3. 1. √3. −.
Fonctions : représentation graphique et tableau de valeurs
Les fractions s'obtiennent avec . Elles sont données sous forme simpli- fiée et sous forme décimale (exacte ou approchée). Trigonométrie.
La Trigonométrie – 1ère spé maths
se déduisent facilement ; pour les valeurs α∈{ π. 6. ; π. 4. ; π. 3. } on se place dans un triangle équilatéral de On déduit le tableau de variations ci- ...
Fonctions trigonométriques inverses
Les valeurs critiques sont donc 2 et −2. On peut faire un tableau de signe de la dérivée x. -2. 2 f (x).
Table de valeurs naturelles des rapports trigonométriques
Des tableaux de conversion permettent de passer aux grades et aux radians. On trouvera donc les valeurs naturelles des sinus tan- gentes
Trigonométrie
Voici un cercle trigonométrique relativement détaillé : Voici le tableau des valeurs remarquables `a connaıtre pour les fonctions cosinus et sinus : x. 0 π. 6.
TD : trigonométrie et travail autour des formules. Etablir le tableau
En utilisant le même cercle trigonométrique et le tableau des valeurs remarquables remplir le tableau suivant : Angle en rad. Angle en degré. 270°. 150°. Cos.
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
1ère partie : Le tableau rose doit présenter toutes les valeurs de cos x sin x et tan x pour différentes valeurs de x. 1
Tables des fonctions trigonométriques : valeurs naturelles à 6
OLIVER et BOYD Éditeurs à Edimbourg
Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
%20d%C3%A9riv%C3%A9es
Fonctions : représentation graphique et tableau de valeurs
Les fractions s'obtiennent avec . Elles sont données sous forme simpli- fiée et sous forme décimale (exacte ou approchée). Trigonométrie.
Trigonométrie
Voici un cercle trigonométrique relativement détaillé : Voici le tableau des valeurs remarquables `a conna?tre pour les fonctions cosinus et sinus :.
CALCULATRICES TI Fonctions : représentation graphique et
On peut afficher le tableau de valeurs de la fonction pour saisir les données (valeurs dans L1 ... Les fonctions trigonométriques s'obtiennent avec.
x sin(x) x cos(x) x tan(x)
l'aide de votre calculatrice le tableau suivant (2 chiffres après la virgule) : Tableau de valeurs pour les fonctions trigonométriques.
Trigonométrie circulaire
Puis sin(x) = tan(x) cos(x)=?. 1. ?10 et cotan(x) = 1 tan(x). = 3. 2.2 Valeurs usuelles angle en radian. 0 ?. 6 ?. 4.
Moyen mnémotechnique pour retenir le tableau des valeurs
pour retenir le tableau des valeurs remarquables x. 0. 6 ?. 4 ?. 3 ?. 2 ? cos x sin x x. 0. 6 ?. 4 ?. 3 ?. 2 ? cos x. 4. 3. 2. 1. 0 sin x. 0. 1. 2.
Trigonométrie
Trigonométrie. Propriétés des fonctions. Périodicité On a le tableau de valeurs suivant : ... Les symétrie sur le cercle trigonométrique donnent :.
TRIGONOMÉTRIE (I)
Chapitre 7: Trigonométrie (I). TRIGONOMÉTRIE (I) On choisit la bonne valeur du sinus ou du cosinus en fonction de ... Tableau de valeurs remarquables:.
TRIGONOMÉTRIE
orienté dans le sens direct le cercle trigonométrique est Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus à connaître :.
Fonctions trigonométriques inverses
aux valeurs obtenue en appliquant les fonctions trigonométriques Note : on choisit ici de faire un tableau de signe plutôt que d'utiliser le test de la ...
Tableau Trigonométrie PDF PDF Enseignement des mathématiques
1 Formules élémentaires – · 2 Tableau de valeurs Les valeurs particulières suivantes des fonctions sin cos et tan sont à connaitre · 3 Formules trigonométriques
[PDF] Tables des fonctions trigonométriques - Numilog
Les valeurs naturelles des 6 fondions trigonomé- triques sont données dans l'ordre habituel : sinus cosécante tangente cotangente sécante cosinus avec 6
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1 fév 2021 · On peut repérer chaque point M du cercle trigonométrique par un réel x égal à l'abscisse du point correspondant sur cet axe en l'enroulant sur
[PDF] TRIGONOMETRIE - Plus de bonnes notes
Lignes trigonométriques dans le cercle Voici un tableau qui donne la conversion de quelque angle remarquable : Remarque : le tableau précédent est un
[PDF] Trigonométrie
Voici un cercle trigonométrique relativement détaillé : Voici le tableau des valeurs remarquables `a conna?tre pour les fonctions cosinus et sinus :
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Formulaire de trigonométrie tan(x) = sin(x) cos(x) définie si x = ? 2 (?) cotan(x) = 1 tan(x) = cos(x) sin(x) Valeurs remarquables :
[PDF] Trigonométrie circulaire
rapidement l'outil fondamental de la trigonométrie On doit déjà en connaître des valeurs usuelles : e0 = 1 ei?/2 = i ei? = ?1 e?i?/2 = ?i
[PDF] TABLE TRIGONOMETRIQUE - Page daccueil
1- Complète les tableaux suivants ( précision à 1° près ) en utilisant la table trigonométrique : a) sin ? 0643 0966 cos ? 0961 0629 tg ? 0268 1111
[PDF] Tableaux (formulaires fonctions usuelles dérivées primitives - 2013
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Trigonométrie circulaire
On rappelle ici et on complète les résultats énoncés au lycée. L"objectif à viser est la technicité. Pour cela, il faut :
Àconnaître par coeur les différentes formules de trigonométrie,Ásavoir à quel moment s"en servir.
En ce qui concerne le premier point (À), au cours de l"année de mathématiques supérieures, on doitapprendre quatre
formulaires : 1. un formulaire de trigonométrie circulaire, 2. un formulaire de dérivées, 3. un formulaire de primitives, 4.
un formulaire de développements limités.Il est clair que l"on n"utilise pas en permanence une formulede trigonométrie ou une formule de dérivée. Cela se produit
dans certaines périodes uniquement. Dans ces moments-là, on doit alors être capable de mobiliser la formule exacte, et en
particulier on doit l"avoir mémorisée. On peut donner sur lesujet deux conseils. Premièrement, chaque fois au cours de
l"année, que vous vous retrouverez face à une formule de trigonométrie (ou de dérivée, ...) que vous ignorez (à la suite
d"une colle, d"un devoir, ...), profitez-en pour prendre immédiatement dix minutes de votre temps pourréapprendre la
totalité du formulaire. Deuxièmement,affichez vos formulairessur vos murs, et ceci en plusieurs exemplaires dans
des endroits stratégiques de votre habitation. Si vous suivez ces deux conseils, vous sortirez de mathématiques supérieures
en connaîssant vos formules, ce qui est un objectif essentiel à atteindre.En ce qui concerne le deuxième point (Á), vous trouverez dans un certain nombre d"exercices de ce chapitre des raisons
qui poussent à utiliser telle ou telle formule de trigonométrie plutôt que telle autre.Plan du chapitre
1Mesures en radians d"un angle orienté.................................................................page 2
2Les lignes trigonométriques...............................................................................page 3
2.1Définition des lignes trigonométriques ................................................................... page 4
2.2Valeurs usuelles .......................................................................................... page 5
2.3La notationeix.......................................................................................... page 63Formulaire de trigonométrie circulaire.................................................................page 7
3.1Comparaison de lignes trigonométriques ................................................................. page 7
3.2Formules d"addition et de duplication ....................................................................page 9
3.3Résolution d"équations trigonométriques ................................................................page 11
3.4Formules de linéarisation ...............................................................................page 13
3.5Formules de factorisation ...............................................................................page 14
3.6Expressions de cos(x), sin(x)et tan(x)en fonction det=tan?x
2? ......................................page 153.7Transformation deacos(x) +bsin(x)...................................................................page 16
3.8Le nombrej............................................................................................page 174Erreurs classiques à ne pas commettre................................................................page 17
c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr1 Mesures en radian d"un angle orienté
XY 12π2πx
M x?? Le plan est rapporté à un repère orthormé direct(O,-→I ,-→J)ou encore(OXY). Au lycée, vous avez appris à " enrouler » l"axe réel sur le cercle trigonométrique, c"est-à-dire le cercle de centreOet de rayon1, orienté dans le sens direct. A chaque réelxcorrespond un et un seul point du cercle trigonométrique. Sixest positif, le pointMassocié àxest le point du cercle obtenu en parcourant une longueurxsur ce cercle, dans le sens direct, à partir du point de coordonnées (1,0). Sixest négatif, on parcourt sur le cercle une longueur|x|= -xdans le sens indirect. Ainsi, tout réel est associé à un et un seul angle et siMest le point associé au réelxalorsxs"appelleUNE mesureen radian de l"angle orienté(-→I ,--→OM). Ici, l"unité de mesure est la longueur du rayon du cercle trigonométrique, à savoir1 et|x|est le nombre de rayons qui constituent l"arc de cercle qui vadeOàM, d"où le motradian. Inversement, puisque le tour complet a une longueur égale à2π, deux réels mesurent un même angle si et seulement si leur différence est un multiple entier (relatif) de2π. Tout angle admet donc une infinité de mesures et siαest une mesure de l"angle orienté(-→I ,--→OM), l"ensemble des mesures de l"angle(-→I ,--→OM) est l"ensemble des nombres de la formeα+2kπ,k?Z.Cet ensemble se noteα+2πZ.
α+2πZ={α+2kπ, k?Z}.
Ainsi, des réels différents peuvent mesurer un même angle. Par exemple, les réelsπ2et5π2sont des réels différents(π2=1,57...et5π2=7,85...) mais
ces deux réels sont deux mesures distintes d"un même angle. Dit autrement, le réelπ2n"est pas un angle mais le réelπ2est une mesure parmi tant d"autres d"un
certain angle orienté, le quart de tour direct. L"ensemble des mesures de cet angle estπ2+2πZ={π2+2kπ, k?Z}={...,-7π2,-3π2,π2,5π2,9π2,...}.
Théorème 1.Tout angle orienté admet une et une seule mesure dans l"intervalle[0,2π[, appeléemesure principalede
l"angle orienté.Parmi toutes les mesures d"un angle orienté, il en est une et une seule qui appartient à[0,2π[. Cette mesure est la
mesure principalede cet angle orienté. Quand on dispose d"une mesure d"un angle orienté, on peut trouver sa mesure
principale de manière systématique grâce à la fonction " partie entière » (voir le chapitre " fonctions de référence »). Pour
l"instant, contentons nous de " bricolages ». Exercice 1.Trouver la mesure principale d"un angle de mesure1)71π4,2)-17π3. Solution. 1)71π4-8×2π=71π4-8×8π4=71π4-64π4=7π4??0,8π4?
= [0,2π[. La mesure principale d"un angle de mesure71π
4est7π4.
2)-17π
3+3×2π= -17π3+3×6π3= -17π3+3×18π3=π3??
0,6π3?
= [0,2π[. La mesure principale d"un angle de mesure-17π3estπ3.
c?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.frþCommentaire.
?L"existence et l"unicité de la mesure pricipale d"un angle de mesurexpeut se comprendre sur le schéma suivant :
0 2πx
On part dexet on se dirige vers l"intervalle[0,2π[en faisant des pas de longueur2π. Quand on arrive juste en dessous de0(ou
juste au-dessus de2πsi on est parti d"unx≥2π), le pas suivant est suffisament long pour nous faire dépasser0, mais trop court
pour nous faire dépasser2πet on tombe donc dans l"intervalle[0,2π[. Puis, si on effectue encore un pas, on ressort forcément de
cet intervalle. ?Pour trouver la mesure principale d"un angle de mesure71π4, nous avons cherché un nombre de tours à retrancher à71π4pour
tomber dans l"intervalle]0,2π[(71π4n"étant clairement pas un nombre entier de tours). Puisqueπ4est un huitième de tours ou
encore, puisque2π=8×π4, nous avons cherché " le plus grand multiple de8qui rentrait dans71». En clair, nous avons effectué
la division euclidienne de71par8:71=64+7=8×8+7, et en retranchant8tours à71π4, la mesure obtenue est dans]0,2π[.
Pour trouver la mesure principale d"un angle de mesure-17π3, nous avons cherché un nombre de tours à rajouter à-17π3pour tomber
dans l"intervalle]0,2π[. Puisqueπ3est un sixième de tours, nous avons effectué la division euclidienne de17par6:17=2×6+5,
et donc, en rajoutant2tours à-17π3, la mesure obtenue est dans] -2π,0[. En rajoutant un troisième tour, on tombe dans]0,2π[.
?Les considérations précédentes montrent que le travail à effectuer nécessite des connaissances en arithmétique (ou desconnais-
sances sur la partie entière d"un réel) et nous attendrons donc de les avoir pour mettre ce travail définitivement au point.
?La notion de mesure principale est subjective. Il n"y a à priori aucune raison de distinguer telle mesure plutôt que telleautre.
Nous avons choisi de privilégier la mesure élément de[0,2π[, parce que cette mesure donne systématiquement la longueurde l"arc
de cercle correspondant. Nous aurions tout aussi bien pu choisir comme mesure principale, celle des mesures qui est dans] -π,π],
en ayant cette fois-ci en ligne de mire la parité des fonctions sinus et cosinus.2 Les lignes trigonométriques
Pour mesurer un angle, on a mesuré une longueur sur un cercle.Mesurer des " longueurs courbes » est difficile, et on
préfère de loin mesurer des lignes droites, les différenteslignes trigonométriques: lesinus, lecosinus, latangenteet la
cotangente.Le motsinuspeut prêter à confusion. Nous avons effectivement dans la partie supérieure de notre nez deux sinus.
Ce sinus là vient du latin et a la même étymologie que le motseinpar exemple. Il signifie " pli (d"un vêtement) » ou
" renflement » ou " courbure » ou " bosse »...Cesinusest apparu au moyen-âge peu de temps avant le mot sinus de la
trigonométrie.Le motsinusde la trigonométrie a une longue histoire. Il s"est appeléjivaen sanscrit (en 500 ap.JC environ), ce qui
signifiecorde d"arc. Il est passé à l"arabe sous la formejîba, mot qui n"a pas d"autre signification en arabe, et ceci grâceau
mathématicienAl-Fazzari(8ème siècle). Mais quandGérard de Crémone(1114-1187) traduitAl-Fazzarien latin,
celui-ci commet une erreur de transcription et donc de traduction en transformant le motjîbaenjaîb, mot qui cette
fois-ci veut dire " pli (d"un vêtement) » ou " renflement »...Il traduit donc ce mot parsinus. C"est enfinRegiomontanus
(1436-1476) qui systématise l"emploi du mot au sens où nous le connaissons aujourd"hui et entérine ainsi l"erreur de
traduction.d"Alembert(1717-1783) dans son encyclopédie donne la définition suivante du mot sinus : " ligne droite tirée
d"une extrémité d"un arc perpendiculairement au rayon qui passe par l"autre extrémité ». Le sinus de la trigonométrie n"a
donc aucun rapport avec les sinus qui se trouvent dans la partie supérieure de notre nez.Pour construire le motcosinus, on a apposé au mot sinus le préfixecoqui vient de la préposition latinecumsignifiant
avec. Le cosinus est donc une ligne trigonométrique qui va avec lesinus ou encore qui est associée au sinus.
Signalons enfin l"étymologie du mottrigonométrie: du grectria(trois)gonia(angles)metron(mesure) ou encore
mesure des trois angles(d"un triangle). c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.3 http ://www.maths-france.fr2.1 Définition des lignes trigonométriques
A1B xM HK cos(x)sin(x) tan(x)cotan(x) cos(x) =abscisse deM sin(x) =ordonnée deM tan(x) = AH cotan(x) = BK Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct?O,-→i ,-→j?
. On appellecercle trigonométriquele cercle de centreOet de rayon1orienté dans le sens direct.
On se donne un réelx. On noteMle point du cercle trigonométrique tel quexsoit une mesure en radians de l"angle
orienté?-→i ,--→OM? Lecosinusdu réelxest l"abscisse du pointMet lesinusdu réelxest l"ordonnée du pointM.Ensuite, on note(T)(resp.(T?)) la tangente au cercle de centreOet de rayon1au pointA(1,0)(resp.(0,1)). Six
n"est pas de la formeπ2+kπ,k?Z, (resp.kπ,k?Z), la droite(OM)n"est pas parallèle à(T)(resp.(T?)). Elle coupe
donc(T)(resp.(T?)) en un pointH(resp.K). Par définition, latangente(resp. lacotangente) du réelxest la mesure
algébriqueAH(resp.BK) c"est-à-dire la longueurAH(resp. la longueurBK) affectée d"un signe+ou-suivant queH
soit au-dessus ou au-dessous de l"axe des abscisses (resp.Ksoit à droite ou à gauche de l"axe des ordonnées).
Le théorème deThalesmontre immédiatement queThéorème 2.
?x /??π2+πZ? ,tan(x) =sin(x)cos(x) ?x /?πZ,cotan(x) =cos(x) sin(x) ?x /?π2Z,cotan(x) =1tan(x)
Ensuite, d"après le théorème dePythagore, Théorème 3.Pour tout réelx, cos2(x) +sin2(x) =1.þCommentaire. Ce théorème fondamental permet en particulier de calculerl"une des deux lignes trigonométriques quand on
connaît son signe et la valeur de l"autre ligne :cos(x) =±p1-sin2(x)ousin(x) =±p1-cos2(x).
Corollaire 2.Soientaetbdeux réels.(?θ?R/ a=cos(θ)etb=sin(θ))?a2+b2=1.Démonstration.Soientaetbdeux réels. S"il existeθtel que cos(θ) =aet sin(θ) =b, le théorème 3 montre quea2+b2=1.
Réciproquement, sia2+b2=1, le pointM(a,b)est un point du cercle trigonométrique. Soitθ="-→i ,-→M"
(le plan étant rapportéà un repère orthonormé direct"
O,-→i ,-→j"
). On sait que le pointMa pour coordonnées(cos(θ),sin(θ))et donc quea=cos(θ)et b=sin(θ).oCorollaire 3.
ÊPour tout réelxn"appartenant pas àπ
2+πZ,1cos2(x)=1+tan2(x).
ËPour tout réelxn"appartenant pas àπZ,1 sin2(x)=1+cotan2(x). Démonstration.1cos2(x)=cos2(x) +sin2(x)cos2(x)=cos2(x)cos2(x)+sin2(x)cos2(x)=1+tan2(x). c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.4 http ://www.maths-france.fr 1 sin2(x)=sin2(x) +cos2(x)sin2(x)=sin2(x)sin2(x)+cos2(x)sin2(x)=1+cotan2(x).oþCommentaire. Ces égalités jointes aux théorèmes 2 et 3 et permettent de calculer les quatre lignes trigonométriques d"un angle
quand on connaît leurs signes et l"une de ces quatre lignes. Par exemple, on sait maintenant exprimercos(x)en fonction desin(x)
(±p1-sin2(x)), ou en fonction detan(x)(±1⎷
1+tan2(x)), ou en fonction decotan(x)(±p1-sin2(x) =±q1-11+cotan2(x)=...).
Exercice 2.
1)On suppose quexest un réel élément de?π
2,π?
tel que cos(x) = -45. Calculer sin(x), tan(x)et cotan(x).2)On suppose quexest un réel élément de?
π,3π
2? tel que tan(x) =13. Calculer cos(x), sin(x)et cotan(x).Solution.
1)Puisquex??π
2,π?
, sin(x)?0, tan(x)?0et cotan(x)?0.Puisque sin(x)?0, sin(x) =?
1-cos2(x) =?1-1625=?
925=35.
Puis tan(x) =sin(x)
cos(x)= -34et cotan(x) =1tan(x)= -43.2)Puisquex??
π,3π
2? , cos(x)?0, sin(x)?0et cotan(x)?0.Puisque cos(x)?0, cos(x) = -1
?1+tan2(x)= -1?1+19= -
3 ⎷10.Puis sin(x) =tan(x)cos(x) = -1
⎷10et cotan(x) =1tan(x)=3.2.2 Valeurs usuelles
angle en radian0π 6 4 3 2 angle en degré030456090 sinus01 21⎷2=⎷
2 2 ⎷3 21cosinus1 ⎷3 2
1⎷2=⎷
2 2 1 20 tangente01⎷3=⎷ 331⎷3∞
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