Séries
k?0 qk est la suite des sommes partielles : S0 = 1. S1 = 1 + q Le fait de calculer la somme d'une série à partir de k = 0 est purement conventionnel.
Calcul Algébrique
1 Cours. 1.1 Sommes et produits. Nous commençons par les sommes. L'écriture. 5. ? k=0. 2k se lit « somme pour k allant de zéro à cinq de deux puissance k »
Modifications of statistics under dimer diffusion Supplementary
(-2)i i! [ ln(A - x) ]i] - 2(3?2). A - x. = K3 + [K3?1. (-2)1. 1! print("Sum of probabilities : "somme) ... k=k+1; jp[s]=jp[s]*math.exp(-xa);.
Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27-Feb-2017 j k
Feuille dexercices n?8 : corrigé
13-Dec-2011 1. 3n . La série est donc convergente de somme ... k=1 ln. ( (n + 1)2 n(n + 2). ) = ln 2. Exercice 2 (**).
Sur certaines sommes dexponentielles sur les nombres premiers
Mots-clés : Sommes d'exponentielles nombres premiers form f(X) = Xk + uX (k integer différent from 0 and 1). ... H^U 0 F
Exercices de mathématiques - Exo7
k=1 arctan 2 k2 . Correction ?. [005143]. Exercice 8 I. Calculer les sommes suivantes : 1
Sommes et séries
k?1. 1 k? converge si ? > 1 et diverge si ? ? 1. 2.3 Opérations. Méfiance Chercher l'erreur : ?+? k=0.
Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?
— (2k + 1)k?N est la suite des entiers naturels impairs. — (. ? x)x?R+ est une autre écriture pour désigner la fonction x ??. ?.
On the modular Jones polynomial
03-Aug-2020 some n then it is negative for nk with any k ? 1. ... tivement
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k=1 k2 et S3 = n ? k=1 k3 Exercice 4 : Soit n ? N? Factorisez la somme 1 n+2 (n?1)+···+(n?1) 2+n 1 Exercice 5 : Somme de termes en progression
[PDF] sommespdf - Pascal Ortiz
k=i xk — les indices de la somme parcourraient l'ensemble {k ; j ? k ? i} qui est l'ensemble vide et donc S = 0 Indice muet La somme S = 10 ? k=1
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Pour représenter de façon plus condensée la somme des premiers entiers on écrit : 1+2+ ··· + n = n ? k=1 k (prononcer « somme des k pour k allant de 1 à
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Produit en somme ? n k=0 (k + 1) (k + 2) Binôme O`u doit on retrouver l'indice de sommation ? O`u retrouve-t-on la puissance ? Calculer ? n k=0 (n?1
[PDF] Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?
La somme totale (ou le produit) ne doit JAMAIS dépendre de l'indice de sommation (ou de multiplication) Des monstruosités du genre ?10k k=1 ak ou ?100
Somme des 1/k - Les-Mathematiquesnet
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[PDF] Sommes et produits
Après un changement d'indice le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé ! Exemples : E 1 p X k=2
[PDF] SOMMES PRODUITS COEFFICIENTS BINOMIAUX
%2520produits
Quelle est la somme de K ?
k = 2 × n (n + 1) 2 = n (n + 1). La première propriété peut être vue comme un réarrangement des termes de la somme initiale.Comment calculer la somme de K ?
k = n(n + 1) 2 . k =1= 1(1 + 1) 2 . + (n + 1) . + (n + 1) = n(n + 1) 2 + (n + 1) .Comment faire un changement d'indice dans une somme ?
un changement par décalage d'indice : on pose l = k + j ?? k = l ? j où k est un entier fixé. un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose l = n ? k ?? k = n ? l. Après un changement d'indice, le nombre de termes dans la somme doit rester inchangéOn peut donc simplifier l'écriture d'une somme algébrique en l'écrivant sans parenthèses. peut aussi s'écrire A = –12 + 8 – 10 – 4 + 6. Complète par les nombres entre parenthèses, puis supprime les parenthèses avant de terminer le calcul.
1a – (–b) = a + b.2a + (–b) = a – b.3(–a) + b = –a + b.
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Feuille d"exercices n°8 : corrigé
ECE3 Lycée Carnot
13 décembre 2011
Exercice 1 (**)
Une petite transformation est nécessaire pour ramener cette série à un calcul connu, en l"oc-
curence celui de la somme d"une série géométrique dérivée seconde : N X n=0n2xn=NX
n=0n(n1)xn+NX n=0nx n=x2NX n=0n(n1)xn2+xNX n=0nx n1 La série est donc convergente si (et seulement si)jxj<1, et sa somme vaut en appliquant les formules du cours +1X n=0n2xn=x22(1x)3+x1(1x)2=2x2+x(1x)(1x)3=x2+x(1x)3=x(1 +x)(1x)3
NX n=0n13 n=NX n=0n3 nNX n=013 n=13 N X n=0n13 n1 NX n=013 n. La série est donc convergente, de somme +1X n=0n 213n=13 1(113 )21113 =13 94
32
=34 32
=34 NX n=2n(n1)xnn!=x2NX n=2x n2(n2)!=x2N2X n=0x nn!, qui converge versx2ex(note : on a commencé la somme de départ àn= 2car les termes obtenus pourn= 0etn= 1seraient de toute façon nuls). NX n=0n
28nn!=NX
n=0n(n1)8nn!+NX n=0n8nn!=NX n=28 n(n2)!+NX n=18 n(n1)!= 82NX n=28 n2(n2)!+ 8 NX n=18 n1(n1)!= 82N2X n=08 nn!+ 8N1X n=08 nn!, qui converge vers64e8+ 8e8= 72e8. NX n=04n2+ 5n5 n= 4NX n=0n 25n+NX n=0n5 n1qui converge vers415 (15 + 1)(115 )3+1(115 )2(en utilisant le résultat du premier calcul de l"exercice pour la première somme)=2425 534
3+524
2=3016
+25165516
En constatant que8n>2,2n2n
31>2n2n
3=2n , on voit que notre série est une série à termespositifs dont le terme général est minoré par celui d"une série divergente, donc elle diverge.
1 On utilise encore une fois le résultat du premier calcul de l"exercice : +1X n=0(1)nn23 n=13 (13 + 1)(1 + 13 )3=29 3343=664 =332 Ici, on a une série exponentielle, c"est du cours!+1X n=04(1)nn!= 4e1=4e NX n=0n3
2n+1=13
3N X n=0n32n2=127
N X n=0n9 n1On reconnait une série géométrique dérivée, qui converge vers 1271(119 )2=127 8164
=364 NX n=0n+ 72 nn!=NX n=1n2 nn!+NX n=072 nn!=12 N1X n=012 nn!+NX n=072 nn!, qui converge vers12 e12 +7e12
=152 e12 On reconnait une somme télescopique dans la somme partielle :nX k=1lnk+ 1k =nX k=1ln(k+
1)lnk= ln(n+ 1)ln1. Comme cette expression ne converge pas quandntend vers+1,
la série est divergente. Même principe avec un télescopage plus complexe :nX k=1ln(k+ 1)2k(k+ 2) =nX k=12ln(k+1)lnk ln(k+2) = 2n+1X k=2lnknX k=1lnkn+2X k=3lnk= 2ln2+2ln(n+1)ln1ln2ln(n+1)ln(n+2) = ln2+ln(n+1)ln(n+2) = ln2+lnn+ 1n+ 2. Cette expression converge quandntend vers+1, donc la série est convergente, et +1X k=1ln(n+ 1)2n(n+ 2) = ln2.Exercice 2 (**)
Le plus simple pour déterminer la nature de la série est de chercher à calculer sa somme. Suivant
les conseils de l"énoncé, on calcule an +bn+ 1+cn+ 1=a(n+ 1)(n+ 2) +bn(n+ 2) +cn(n+ 1)n(n+ 1)(n+ 2)=a(n2+ 3n+ 2) +b(n2+ 2n) +c(n2+n)n(n+ 1)(n+ 2)=(a+b+c)n2+ (3a+ 2b+c)n+ 2an(n+ 1)(n+ 2). par identification
des coefficients, on doit avoira+b+c= 0,3a+ 2b+c= 0et2a= 1, soita=12 . Les deux autreséquations donnentb+c=12
, soitc=b12 , puis2b+c=32 , soitb12 =32 , dont on déduit b=1, puisc=12 . On a donc finalement1n(n+ 1)(n+ 2)=12n1n+ 1+12(n+ 2). On peut faire un joli télescopage à partir de ceci : nX k=112n1n+ 112(n+ 2)=12 n X k=11n n+1X k=21n 12 n+2X k=31n =12 +14 121n+ 1+12(n+ 1)+12(n+ 2)=14
12(n+ 1)+12(n+ 2). La somme partielle
ayant une limite, la série converge, et on a +1X n=11n(n+ 1)(n+ 2)=14 2Exercice 3 (**)
Le principe est le même que dans l"exercice précédent :14n21=1(2n1)(2n+ 1)=a2n1+
b2n+ 1, avecaetbvérifianta(2n+ 1) +b(2n1) = 1, soitn(2a+ 2b) +ab= 1. On obtient facilementa=b, puisa=12 etb=12 , d"où14n21=12(2n1)12(2n+ 1). On a donc n X k=114k21=12 n X k=112k112 k=nX k=112k+ 1=1212(2n+ 1)(c"est une somme télescopique simple).
La somme partielle converge, donc la série est convergente, et +1X n=114n21=12Exercice 4 (**)
1. On montre par une récurrence facile que8n2N,un>0. En effet, c"est vrai pouru0, et si on
le suppose vrai pourun, commeeun>0, on aura bienun+1=eunun>0. De plus, comme u n>0, on aeun<1, et donceunun< un. Autrement dit, la suite(un)est décroissante. Comme elle est minorée par0, elle converge vers une certaine limitel. On en déduit queeunun tend verslel, mais aussi verslpuisque cette expression est égale àun+1. On en déduit que l=lel, ce qui se produit sil= 0ou siel= 1, ce qui ne laisse que la possibilitél= 0. La suite(un)converge donc vers0.2. On remarque quevn+1= ln(un+1) = ln(eunun) =un+lnun=vnun, ce qu"on peut aussi
écrireun=vnvn+1. On en déduit queSn=nX
k=0u k=nX k=0(vkvk+1) =v0vn+1(il y a télescopage).3. Commeuntend vers0, la suitevndiverge vers1quandntend vers+1, et la série(Sn)
diverge donc vers+1.Exercice 5 (**)
On aS2nSn=k=2nX
k=11k k=nX k=11k =k=2nX k=n+11k . Chacun desntermes de cette dernière somme étant plus grand que12n, la somme est plus grande quen12n=12
. Or, si la série harmonique convergait vers une certaine sommeS, on devrait avoirlimn!+1S2n= limn!+1Sn=S, donclimn!+1S2nSn= 0.Ce n"est manifestement pas le cas, donc la série harmonique ne converge pas (un petit raisonnement
par l"absurde).Exercice 6 (***)
1. On peut commencer par constater assez aisément que la suite(un)est décroissante puisque
u n+1un=u2n60. Cela donne bien envie de tenter de la minorer, par exemple par0.Prouvons via une petite récurrence que tous les termes de la suite appartiennent à l"intervalle
[0;1]. C"est vrai pouru0par hypothèse. Supposons donc06un61, on a alors également061un61, donc06un(1un)61. Or,un(1un) =unu2n=un+1. Cette constatation
achève la récurrence. La suite(un)étant décroissante minorée, elle converge. Commeun+1=unu2n, on en déduit en prenant la limite de chaque côté quel=ll2, soitl2= 0, ce qui n"est possible que si 3 l= 0. On peut en déduire que la suite(un)converge vers0.2. En revenant à la relation de récurrence, on constate queu2n=unun+1, d"oùk=nX
k=0u2k=k=nX
k=0u k u k+1=u0un+1(par télescopage). D"après la question précédente,limn!+1u0un+1=u0, donc la série de terme généralu2nconverge versu0.3. La somme partielle va également être télescopique :
k=nX k=0lnuk+1u k =k=nX k=0ln(uk+1)ln(uk) = ln(un+1)ln(u0). Or, toujours en utilisant notre connaissance de la limite de(un), on a limn!+1ln(un+1) =1, ce qui signifie que la série considérére diverge.4. En reprenant la relation de récurrence définissant la suite, on constate quelnun+1u
n ln unu2nu n = ln(1un) unpuisqueunest une suite qui converge vers0. Deux sériesde terme général équivalent ayant même nature (oui, je sais, dans le cours on a mis des séries
à termes positifs, et celles-là sont à terme négatif, mais il suffit d"appliquer le théorème à leurs
opposés pour que ça marche; ce qui est important c"est que les séries soient de signe constant),Xu
ndiverge.Exercice 7 (*)
1k 2k1k2, terme général d"une série convergente, doncX1k
2kconverge.
1e k+ek61e k, terme général d"une série géométrique convergente, donc la série à termes positifs X1e k+ekconverge. 1k3+ 2k1k
3, terme général d"une série de Riemann convergente, donc la série à termes positifs
X1k3+ 2kconverge.
lnn2+n42n4tend versln12 quandntend vers+1, donc la série diverge. rn+ 2n35n+ 1r1
n 21n, terme général d"une série divergente, donc la série diverge. lnn3 n=23 n lnn2 n. La deuxième fraction tendant rapidement vers0(par croissance com- parée), on aura certainement (à partir d"un certain rang) lnn3 n623 n , terme général d"une série géométrique convergeante, donc la série converge.
Exercice 8 (**)
La série de terme général
1(2k+ 1)2converge car son terme général est équivalent à14k2. De
même pour la série de terme général1(2k+ 2)2. On peut donc écrire que la série de terme général
1(2k+ 2)2+1(2k+ 1)2converge, et que+1X
k=01(2k+ 1)2+1(2k+ 2)2=+1X k=01(2k+ 1)2++1X k=01(2k+ 2)2. Or, la somme de gauche n"est autre que la somme des inverses des carrés de tous les entiers (on a 4 juste séparé entiers pairs et impairs) qui vautquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] exercice nombre d'or 1ere s
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