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QUELQUES M´ETHODES DE FILTRAGE EN TRAITEMENT

D"IMAGE

par

Ma¨ıtine Bergounioux

R´esum´e. -Nous pr´esentons quelques m´ethodes?de base?en filtrage des images num´eriques. Un bref aper¸cu du filtrage unidimensionnel est donn´e puis les techniques lin´eaires et non lin´eaires sont abord´ees. Nous terminons par une ouverture sur les m´ethodes variationnelles tr`es utilis´ees actuellementpour la d´econvolution et la res- tauration des images. Abstract(Some filtering methods in image processing). -We present basic image processing denoising methods. We first recall breifly the main features of linear

1D filtering technqiues. Then we present linear and non linear standard methods. We

end with variational methods that are more and more used for deconvolution and image restoration.

Table des mati`eres

1. Introduction..................................................... 1

2. Filtrage unidimensionnel......................................... 3

3. D´ebruitage par filtrage lin´eaire.................................. 6

4. D´ebruitage par filtrage non lin´eaire.............................. 24

5. Filtrage variationnel............................................. 31

Appendice A. Quelques outils math´ematiques...................... 41 R´ef´erences.......................................................... 52

1. Introduction

L"´etude d"un signal n´ecessite de supprimer au maximum le bruit parasite dˆu aux conditions d"acquisition. L"un des buts du filtrage est de ?nettoyer?le signal en ´eliminant le plus de bruit possible tout en pr´eservant le maximum d"informations. En Classification math´ematique par sujets(2000). -68U10, 49J40. Mots clefs. -Traitement d"image, filtrage, d´ebruitage, segmentation.

2BERGOUNIOUX

outre, l"information contenue dans un signal n"est pas forc´ement enti`erement perti- nente : il faut ?s´electionner?l"information utile suivant l"usage que l"on veut en faire. Par exemple, `a l"´ecoute d"un morceau de musique, on peut vouloir unrenforcement des sons graves. Une autre finalit´e du filtrage est donc de s´electionner et renforcer certaines bandes de fr´equences porteuses de l"information int´eressante. Le filtrage des images a la mˆeme finalit´e que celui des signaux 1D. Il s"agit es- sentiellement d"enlever le bruit (parasite) ou de s´electionner certaines fr´equences. Si la notion de haute fr´equence ou basse fr´equence est naturelle en signal 1D (son aigu ou grave), lafr´equence spatialeest un concept plus d´elicat qui d´ecoule du fait que les images appartiennent au domaine spatial. La fr´equence est une grandeur qui caract´erise le nombre de ph´enom`enes qui se d´eroulent au cours d"un temps donn´e. Si en voiture, le long d"une route, on voit 2 bandes blanches PAR seconde : c"est une fr´equence temporelle. Il est ensuite facile de comprendre quece concept de fr´equence temporelle?peut aussi se traduire en disant qu"il y a 200 bandes blanches PAR kilom`etre : c"est une fr´equence spatiale. Dans une image, les d´etails se r´ep`etent fr´equemment sur un petit nombre de pixels,

on dit qu"ils ont une fr´equence ´elev´ee : c"est le cas pour les bords et les contours dans

une image. Au contraire, les fr´equences basses correspondent `a desvariations qui se r´ep`etent peu car, dilu´ees sur de grandes parties de l"image, par exemple des variations de fond de ciel. Nous verrons dans la suite que la plupart des filtres agissent s´electivement sur ces fr´equences pour les s´electionner, en vue de les amplifier ou de les r´eduire tout comme dans le cas 1D.

Les images peuvent ˆetre entˆach´ees de bruits de nature diff´erente. On s"int´eressera

ici aux bruits - additif, gaussien - de flou (convolution) - poivre et sel Les bruits multiplicatifs et/ou poissoniens sont difficiles `a appr´ehender : nous n"en parlerons pas ici. De la mˆeme fa¸con, nous n"aborderons pas le filtrage par ondelettes qui n´ecessite des pr´e-requis importants.

FILTRAGE3

(a) Image originale (b) Bruit gaussien, moyennenulle, ´ecart-typeσ?0.02 (c) Bruit gaussien, moyenne nulle, ´ecart-typeσ?0.1 (d) Flou (e) Bruit poivre et sel (f) Bruit multiplicatif Figure 1.Exemples de perturbations d"une image (bruits et flou)

2. Filtrage unidimensionnel

Avant de pr´esenter les principales techniques de base pour le filtrage des images, nous rappelons bri`evement le principe du filtrage unidimensionnel (pour plus de d´etails on peut se r´ef´erer `a [5]). Pour d´efinir unfiltrelin´eaire math´ematiquement, on se donne deux espaces vec- torielsX(entr´ee) etY(sortie) munis d"une topologie s´equentielle et un op´erateurA lin´eaire qui, `a un signale?Xdit signal d"entr´ee, associe un signals?Yappel´e signal de sortie :

A:e??s:?A?e?.

D´efinition 2.1(Filtre). - Unfiltrelin´eaire est un syst`eme lin´eaire continu qui v´erifie les deux propri´et´es suivantes :

1. Il est invariant dans le temps : siT

a:x??x?? ?a?est l"op´erateur de translation alors T aA?ATa.

2. Si lim

k???ek?t? ?e?t?alors on a limk???sk?t? ?s?t?. Cette propri´et´e est ´equivalente `a la causalit´e.

4BERGOUNIOUX

Les espaces peuvent ˆetre de dimension infinie (signaux analogiques) oufinie (si- gnaux discrets ou num´eriques). Examinons l"effet d"un filtre lin´eaireAsur un signal p´eriodique deX?L 2 p?0,T?(o`u T?0) de fr´equenceλ?1?T. On sait que ce signal peut s"´ecrire sous la forme (1)x?? n?Z cnenλ, o`u on a pos´e (2)e

λ:t??exp?2iπλt?,

de sorte quee nλ? ?eλ?n.On sait (grˆace aux s´eries de Fourier) que la famille?enλ?n?Z forme une base hilbertienne deX.

Formellement

?1?

Ax?A??

n?Z cnenλ n?Z cn?Aenλ?. On est donc ramen´e `a examiner l"effet deAsure nλ. Proposition 2.2. -Un filtre lin´eaire associe `a tout signal exponentiel d"entr´ee le

mˆeme signal multipli´e par un facteur ind´ependant du temps, g´en´eralement complexe,

appel´efonction de transfertougain complexedu filtre.

D´emonstration. - Cherchons l"imagef

λ?Aeλdeeλpar le filtre. On remarque que

pourtfix´e, on ae

λ?t?u? ?eλ?t?eλ?u?. Donc

?u?Rf

λ?t?u? ?A?eλ?t?eλ??u?,

c"est-`a-dire par lin´earit´e deA f

λ?t?u? ?eλ?t??Aeλ?u?? ?eλ?t?fλ?u?.

Pouru?0 , on obtientf

λ?t? ?eλ?t?fλ?0?; doncAeλ?fλ?0?eλ.Par cons´equent,eλ est une fonction propre deAassoci´ee `a la valeur proprefλ?0?qui ne d´epend que de

λ. La fonctionλ??H?λ?:?f

λ?0?est appel´eefonction de transfertdu filtre. Reprenons le signal p´eriodiquexd´efini par la relation (1); la sortie filtr´ee parA est donc y:?Ax?? n?Z cnH?nλ?enλ.

En r´esum´e, chaque coefficient de Fourierc

ndexest transform´e enγn:?H?nλ?cn. Compte tenu des propri´et´es de la transform´ee de FourierF, sixest un signal

num´erique ´echantillonn´e avec 2N´echantillons, on peut traduire la relation pr´ec´edente

par ?n? ?1,???,N?Y n?H?nλ?Xn,

1. On peut compl`etement justifier le calcul grˆace `a la lin´earit´e et la continuit´e de l"op´erateurA

deXdansX

FILTRAGE5

o`uY?F?y?etX?F?x?, c"est-`a-direF?y? ?H.?F?x?,o`u.?d´esigne le produit composante par composante. Si on poseh? 1

2NF?1?H?, cela donne :y?h?x(o`u *

d´esigne ici la convolution discr`ete.) Nous obtenons donc le r´esultat suivant (que nous admettrons pour les signaux analogiques) : Th´eor`eme 2.3. -Un syst`eme lin´eaire continu est un filtre lin´eaire si et seulement si la relation entre l"entr´eeeet la sortiesest uneconvolution: s?t? ? ?h?e??t? ?? h?θ?e?t?θ?dθ , o`uh?t?est lar´eponse impulsionnelledu filtre.

Pour les filtres `a temps discret on a

s n?? k?Z hken?k. En d"autres termes les filtres lin´eaires continus unidimensionnels sont et ne sont que des filtres de convolution (o`u la convolution est continue ou discr`ete). - Dans le cas des signaux analogiques (d"´energie finie, i.e. dansL

2?R?par

exemple), le signal de sortiesest donn´e par :s?h?e, o`ueest le signal d"entr´ee. Si on applique la transformation de Fourier, on obtient ˆs?ˆhˆe. La transform´ee de FourierH:?ˆhdehest lafonction de transfertdu filtre. Le noyau de convolutionhs"appelle lar´eponse impulsionnelledu filtre. En effet, si le signal d"entr´eeeest la mesure de Diracδon obtients?h?δ?h. C"est donc bien la sortie correspondant `a une ?impulsion?. - Dans le cas des signaux discrets, on peut faire la mˆeme analyse. La transfor- mation de Fourier est remplac´ee par la transformation de Fourier discr`ete et se calcule par FFT. G´en´eralement, on distingue les filtres suivant l"action qu"ils ont sur le spectre (c"est- `a-dire par la forme de leur fonction de transfert) : - un filtrepasse-basva ´eliminer ou att´enuer fortement l"´energie des hautes fr´equences d"un spectre en ne laissant ?passer?que les basses fr´equences; - un filtrepasse-hautva ´eliminer ou att´enuer fortement l"´energie des basses fr´equences d"un spectre; - un filtrepasse-bandene conservera que l"´energie concentr´ee dans une bande de fr´equences. - un filtrecoupe-bandeou filtre der´ejectionqui est le compl´ementaire du pr´ec´edent.

6BERGOUNIOUX

Figure 2.Diff´erents types de filtrage

3. D´ebruitage par filtrage lin´eaire

3.1. Filtrage spatial (bruit additif). -Nous avons vu que les filtres lin´eaires

d"un signal 1D sont et ne sont que des filtres de convolution. Le filtrage spatial est aussi essentiellement une op´eration de convolution (2D). Sifest l"image `a filtrer (ou `arehausser) etgle filtre spatial (ouPSF- Point

Spread Function oumasque) on a :

f?x,y? ?g?x,y? ?F ?1 Gest la fonction de transfert du filtre. Une image num´erique ´etant essentiellement discr`ete (pixels et niveaux de gris) nous allons pr´esenter les filtres dans le cas discret. Dans tout ce qui suitxetysont des entiers (coordonn´ees des pixels) etfest `a valeurs enti`eres (dans?0,???,255??. Comme dans le cas unidimensionnel, on peut distinguer trois types de filtrage : - Le filtrepasse-basdiminue le bruit mais att´enue les d´etails de l"image (flou plus prononc´e) - Le filtrepasse-hautaccentue les contours et les d´etails de l"mage mais am- plifie le bruit - Le filtrepasse-bande´elimine certaines fr´equences ind´esirables pr´esentes dans l"image On ne fait pas en g´en´eral une convolution globale mais une transformationlocale, bas´ee sur le voisinage d"un point?x,y?:

FILTRAGE7

Figure 3.Convolution locale

Lenoyaude convolution (masque, PSF ) du filtreκest `a support compact inclus dans?x

1,x2? ? ?y1,y2?:

g?x,y? ? ?f?κ??x,y? ? x2? i?x1 y2? j?y1f?x?i,y?j?κ?i,j?.

G´en´eralement le filtre est de dimensionsd

iimpaires et est sym´etrique. Dans ce cas ?x

1,x2? ? ??d1

2,d 1

2?et?y1,y2? ? ??d2

2,d 2 2?, (3)?f?κ??x,y? ? ?d1?1??2? i???d1?1??2?d

2?1??2?

j???d2?1??2 f?x?i,y?j?κ?i,j?. w1w2w3?y?1 w4w5w6?y w7w8w9?y?1 x?1xx?1

Table 1.Filtre(i,j) -d1?d2?3

Icid1?d2?d?3. On ne filtre pas les bords pour ´eviter des distorsions; donc

κ?0,0? ?w

5.

Sur cet exemple on a pr´ecis´ement

g?x,y? ?w

1f?x?1,y?1? ?w2f?x,y?1? ?w3f?x?1,y?1?

?w

4f?x?1,y? ?w5f?x,y? ?w6f?x?1,y?

?w

7f?x?1,y?1? ?w8f?x,y?1? ?w9f?x?1,y?1?.

8BERGOUNIOUX

Afin de conserver la moyenne de l"imagef, la somme des ´el´ements du filtre est nor- malis´ee `a 1 :? i wi?1. Un filtre 2D est dits´eparables"il est possible de d´ecomposer le noyau de convolu- tionh

2Den deux filtres 1D appliqu´es successivement en horizontal puis envertical

(ou inversement) : h

2D?hV1D?hH1D,

o`u le symbole?d´esigne le produit tensoriel. On peut alors traiter s´epar´ementles lignes et les colonnes de l"image. Pour qu"un filtre 2D soit s´eparableil faut et il suffit que les coefficients de ses lignes et de ses colonnes soient proportionnels. Exemple 3.1(Filtres s´eparables ). - Ils sont obtenus comme suit. En pratique cela revient `a faire un produit matriciel. abc? aαbαcα aβbβcβ aγbγcγ ?abc.

Exemple 3.2(Filtre de moyenne passe -bas ). -

1 9? 111
111
111
1 25?
11111
11111
11111
11111
11111
Table 2.Filtres de moyenne 3 x 3 et 5 x 5 respectivement

FILTRAGE9

(a) Image originale (b) Image bruit´ee (bruit gaussienσ?0.05) (c) Filtre de moyenne 3 x 3 (d) Filtre de moyenne 5 x 5

Figure 4.Effet de lissage

Ce sont des filtres s´eparables.

10BERGOUNIOUX

Exemple 3.3(Filtre gaussien). -

Si par exempleσ?0.8 on a le filtre 3?3 suivant

G??1,?1?G?0,?1?G?1,?1?

G??1,0?G?0,0?G?1,0?

G??1,1?G?0,1?G?1,1?

?116? 121
242
121
etσ?1 pour un filtre 5?5 donne environ 1 300?
14641

41830184

63048306

41830184

14641
Id´ealement, on devrait pr´evoir un filtre de taille?6σ?1???6σ?1?. En g´en´eral un filtre gaussien avecσ?1 est utilis´e pour r´eduire le bruit, et siσ?1 c"est dans le but de fabriquer une image qu"on va utiliser pour faire un ?masque flou?personnalis´e. Il faut noter que plusσest grand, plus le flou appliqu´e `a l"image sera marqu´e.

Exemple 3.4(Filtre binˆomial). -

Les coefficients de ce filtre sont obtenus par le binˆome de Newton. Un filtre 1D binˆomial d"ordre 4 est un filtre donn´e par le vecteurv?1

16?1 4 6 4 1?. Un filtre 2D

binˆomial d"ordre 4 est le filtre s´eparable donn´e parv?v: 1 256?
14641

41624164

62436246

41624164

14641

FILTRAGE11

Ces filtres sont des filtres passe-bas : ils att´enuent les d´etailsde l"image (et donc le bruit additif) mais en ´erodant les contours ajoutent du flou `a l"image. Nous verrons dans une section suivante comment att´enuer le flou.

3.2. Filtrage fr´equentiel (bruit additif). -

3.2.1. Filtre passe-bas. - Nous avons d´ej`a parl´e du filtre passe-bas id´eal dans le

cas de signaux unidimensionnels. De mani`ere analogue, on d´efinit unefr´equence de coupureδ cau dessus de laquelle les fr´equences sont annul´ees (filtre id´eal). La fonction de transfert est alors

H?λ,μ? ??1 si?

λ2?μ2?δc

0 sinon

Figure 5.Fonction de transfert?id´eale?

Le cr´eneau centr´eHadmet une transform´ee de Fourier inverse qui est le sinus cardnal qui pr´esente d"autant plus d"ondulations que la fr´equence de coupure est petite. Cela entraˆıne un flou qui sera d"autant plus r´eduit queδ cest grand. (a) Image originale (b) Image filtr´ee

Figure 6.Application d"un cr´eneau

?id´eal?(δc?15% de la taille de l"image) : on voit clairement les ondulations.

12BERGOUNIOUX

On a vu que le filtre passe-bas id´eal n"est pas r´ealisable et on fait donc une approxi- mation de la fonctionHpr´ec´edente qui aura pour effet, non pas de couper les hautes fr´equences mais de les att´enuer fortement. Le filtre suivant estlefiltre passe-bas de

ButterworthLa fonction de transfert est alors

H?λ,μ? ?1

1?? ?λ2?μ2

δc?

2n o`uδcest encore la fr´equence de coupure.

Figure 7.Fonction de transfert de Butterworth

En traitement d"image, un filtre passe-bas att´enue les hautes fr´equences : le r´esultat obtenu apr`es un tel filtrage est un adoucissement des d´etails et uner´eduction du bruit granuleux.

3.2.2. Filtres passe-haut. - Le filtre passe-haut id´eal est obtenu de mani`ere

sym´etrique au passe- bas par Le filtre passe-haut de Butterworth est donn´e par

H?λ,μ? ?1

1??δc?λ2?μ2?

2n

FILTRAGE13

Un filtre passe haut favorise les hautes fr´equences spatiales, commeles d´etails, et de ce fait, il am´eliore le contraste. Toutefois, il produit des effets secondaires : -augmentation du bruit :dans les images avec un rapport Signal/ Bruit faible, le filtre augmente le bruit granuleux dans l"image. -effet de bord :il est possible que sur les bords de l"image apparaisse un cadre. Mais cet effet est souvent n´egligeable et peut s"´eliminer en tronquant les bords de l"image o`u en faisant une r´eflexion de quelques pixels de l"image autour de son cadre. (a) Filtrage passe-bas (b) Filtrage passe-haut Figure 8.Filtrage passe-bas et passe-haut avec un filtre de Butterworth (n?4 etδ c?0.15?taille de l"image)

3.2.3. Filtres passe-bande. - Ils permettent de ne garder que les fr´equences com-

prises dans un certain intervalle :

H?λ,μ? ??

1 siδ

c?ε2??λ2?μ2?δc?ε20 sinon

εest la largeur de bande etδ

cla fr´equence de coupure. Figure 9.Fonction de transfert d"un filtre passe-bande?id´eal?

14BERGOUNIOUX

3.3. Application au filtrage diff´erentiel. -Dans les mod`eles diff´erentiels, on

consid`ere l"image comme une fonction continuef:I?I? ?0,255?dont on ´etudie le comportement local `a l"aide de ses d´eriv´ees. Une telle ´etude n"a de sens que si la fonctionfest assez r´eguli`ere. Ce n"est pas toujours le cas!! une image noir et blanc sera discontinue (en fait continue par morceaux) les zones de discontinuit´e ´etant par essence les contours. Au premier ordre on peut calculer en chaque pointM?x,y?, le gradient de l"image : ?f?x,y? ? ??f ?x,?f?y?. Grˆace au plongement dans l"espace continu, un grand nombre d"op´erationsd"ana- lyse peuvent s"exprimer en termes d"´equations aux d´eriv´eespartielles. Ceci permet de donner un fondement math´ematique satisfaisant aux traitements et aussi de fournir des m´ethodes pour les calculer, par des sch´emas num´eriques der´esolution. Les filtres diff´erentiels permettent de mettre en ´evidence certaines variations spa- tiales de l"image. Ils sont utilis´es comme traitements de base dans de nombreuses op´erations comme lerehaussement de contrasteou lad´etection de contours. En pratique, il faut approcher les gradients pour travailler avec desgradients discrets. Les approximations les plus simples des d´eriv´ees directionnelles se font par diff´erences finies. On peut les calculer par exemple `a l"aideconvolution avec des noyaux tr`es simples : par exemple, l"approximation de?f ?xse fait par convolution avec ?0?1 1?. En effet, dans ce cas, la formule g´en´erale de convolution discr`ete (3) donne (avecd

1?3 etd2?0) :

g?x,y? ? 1? i??1 j?0 f?x?i,y?j?κ?i,j? ? ?f?x,y? ?f?x?1,y? ??f?x?x,y?.

De mˆeme l"approximation de

?f ?yse fait par convolution avec? ?0 ?1 1? g?x,y? ? ?f?x,y? ?f?x,y?1? ??f ?y?x,y?.

0?11?y

x?1xx?1 0?y?1 ?1?y 1?y?1 x Table 3.Masques (κ?i,j?) des gradients par rapport `ax(gauche) ety(droite)

FILTRAGE15

On utilise plus souvent??1 0 1?et?

??1 0 1? ?qui produisent des fronti`eres plus ´epaisses mais qui sont bien centr´ees. Ces op´erations sont tr`es sensibles au bruit et on les combine g´en´eralement avec un filtre lisseur dans la direction orthogonale `a celle de d´erivation, par exemple par le noyau suivant (ou sa transpos´ee) :?1 2 1?. On obtient alors des filtres s´eparables. Le calcul des d´eriv´ees directionnelles enxetyrevient finalement `a la convolution avec les noyaux suivants : ?f ?x?x,y? ? ?f?hx??x,y?et?f?y?x,y? ? ?f?hy??x,y? avech x? ??1 0 1? ? ?1 2 1?t?? ??1 0 1 ?2 0 2 ?1 0 1? ?et hy? ?1 2 1? ? ??1 2 1?t?? ??1?2?1 0 0 0

1 2 1?

Ce sont lesmasques de Sobel.

(a) Original (b) Noyau??1 0 1? (c) Noyau??1 0 1?t

Figure 10.Gradients avec des noyaux sans filtrage

(a) Gradient horizontal (b) Gradient vertical (c) Norme du gradient

Figure 11.Gradients de Sobel

16BERGOUNIOUX

Figure 12.Gradients de Robinson dans 3 directions diff´erentes (voir ta- bleau 4. suivant) (a) Original (b) Norme du gradient (c) Gradient enx (d) Gradient enyquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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