[PDF] Exercices sur les applications de la règle de chaîne Dérivation

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Exercices sur les applications de la règle de chaîne Calcul diérentiel - Hiver 2020 - Yannick Delbecque

Dérivation implicite

Question 1Déterminer, parmi les équations suivantes, celles qui définissent implicitement une fonction (mais pas explicitement). (a)y=3t+14t (b)y=3y+14x(c)x2+5x+6=y (d)xy2+5y2=3x+y

Question 2

Calculer les dérivées implicites suivantes.

a) dydx six+y2=1. b) dydx six3+y3=1. c) dydx sixy=1.d) dxdt sipx

2+t2=2t2+4.

e) dxdy six34y3=5x2+6y3. f)dydx six2y2+x3y=6x.

Question 3

Déterminer l"équation de la droite tangente à la courbe décrite par l"équationx3+y3=2xyau point (1;1).

Question 4

Calculer

dydx pour chacune des équations suivantes. a)

2 x2+3xyy2=1

b) 1x

3xy=1y

c)

3 x2y3+5x=35y3

d) xy =xyx+y

Question 5

Pour chacune des équations suivantes, calculer la pente de la tangente à la courbe au point donné. a)

4 x2+9y2=40 au point (1;2)

b)x2y2(1+xy)+4=0 au point (1;2)

Question 6

Soit le cercle d"équationx2+y2=r2(cercle de rayonrcentré à l"origine). Montrer que la droite passant par l"origine et un point(x0;y0)situé sur la circonférence du cercle est toujours perpendiculaire à la droite tangente au cercle en ce point(x0;y0). Rappel : le produit des pentes de deux droites perpendiculaires est -1.

Question 7

SoitCla courbe d"équationx3y5=7y.

Vérifier que(2;1)est sur la courbeCet déterminer l"équation de la tangente àCen ce point.

Question 8

Trouver la pente de la droite tangente à l"astéroïdex2=3+y2=3=4, illustrée ci-dessous, au point1;3p3 .88 88
xy

Taux liés

Question 9

Le taux de variation du côté d"une boîte cubique est de 50m/s. Quel est le taux de variation du volume de la boîte quand le côté

à 1000m de longueur?

Question 10

L"aire d"un cercle est liée à son rayon par l"équationA=r2. Si l"aire augmente à une vitesse constante de5cm2=s, à quelle vitesse grandi le rayon du cercle au moment où sa surface est de

100cm2? Indiquez les unités dans votre calcul.

Question 11

La volume d"une sphère est liée à son rayon par l"équation V=4r33. Si le volume diminue à une vitesse constante de

12m3=s, à quelle vitesse diminue le rayon de la sphère au moment

où son rayon est de 100 m? 1

2 Exercices sur les applications de la règle de chaîne

Solutions

Question 1

(b) et (d)

Question 2

a) dydx =12y b) dydx =x2y 2 c) dydx yx d) dxdt =4tpx

2+t2tx

e) dxdy =3x210x30y2 f) dydx =62xy23x2y2x2y+x3

Question 3

dydx=2y3x23x22xet au point(1;1)la pente de la tangente

à la courbe est

dydx (x;y)=(1;1)=2(1)3(1)23(1)

22(1)=1

L"équation de la droite de pente -1 passant par(1;1) est y=x+2:

Question 4

a) dydx =4x+3y2y3x b) dydx =y2+3x2y3x

23x3y2ou1+6xy216x2y

c) dydx =6x3+515y2+9x2y2 d) dydx =xy

Question 5

a)

Pente : 29

b)

Pente : 2

Question 6

La pente du rayon passant par le point(x0;y0)sur le cercle et le centre (0;0) du cercle est y 00x

00=y0x

0: On détermine la pente de la tangente au point(x0;y0) à l"aide de la dérivation implicite. On suppose que y=f(x) près de (x;y). x

2+y2=r2

x2+y20=r20

2x+2ydydx

=0 dydx =2x2y=xy La pente de la tangente au cercle en(x0;y0)est donc x0y 0: Si on multiplie la pente de la tangente et la pente du rayon, on trouve x0y 0y 0x 0=1; ce qui montre que la tangente est perpendiculaire au rayon.

Question 7

Le point (2;1) est sur la courbeCcar

2

315=7(1)()7=7:

On trouve la pente de la tangente au point(2;1)à l"aide de la dérivation implicite. On fait l"hypothèse quey=f(x). En dérivant chaque membre de l"éga- litéx3y5=7ypar rapport àx, on obtient

3x25y4y0=7:

En isolant, on obtient quey0=73x25y4. Au point

(2;1), on a quey0=73(2)25(1) 4=1. Comme la droite tangente est de pente1et passe par le point (2;1), l"équation de la droite est y=x+1:

Question 8

dydx =3py 3 px. Au point1;3p3 =1;33=2, on a que dydx =3 p33=23 p1 =p3 (utiliser le fait que 3p3 3=2=3 32
13=3

12ainsi que

3pA=3pA.)

Question 9

Le volumeVest lié au côtéxpar la relation V=x3:

Le taux de variation du côté est

dxdt =50.

Le taux de variation du volume est

dVdx Le lien entre ces taux de variation est trouvé à l"aide de la règle de chaine : dVdt =dVdx dxdt

Quandx=1000 etdxdy

=50, on a que dVdt =3(1000)2(50)=150000000m3=s:Question 10

CommeA=r2et quedAdr=2r, par la règle de

chaine on a que dAdt =dAdr drdt dAdt =(2r)drdt

CommeA=r2, on a quer=. Donc quand

A=100, on a quer=q100

=10.

Quandr=10 etdAdt

=5, on obtient dAdt =(2r)drdt

5=(20)drdt

En isolant

drdt on trouve que drdt =520=14cm=s:

Question 11

Taux de variation du volume :dVdt=12. Taux de

variation du rayon :drdt =12

Lien entre rayon et volume : commeV=4r33, on a

que dVdr =4r2 Lien entre les taux de variation : Par la règle de chaine, dVdt =dVdr drdt dVdt =4r2drdt

Quandr=100 etdrdt

=12 , on obtient dVdt =4(100)2 12 =20000m=s:Calcul diérentiel - 201-NYA - Hiver 2020quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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