Formule donnant la distance entre un point et un plan dans lespace
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On appelle distance d'un point A à un plan la distance minimale entre A et un point du plan. C'est la distance entre A et le projeté orthogonal de A sur
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11 juil. 2021 plan (P) passant par un point A et de vecteurs ... La définition par la norme est aussi appelée formule de polarisation.
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7 fév 2011 · Soit une droite d d'un plan Soit un point A dans ce plan La distance de A à d est définie comme la plus courte de toutes les distances de
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Distances entre deux points But du cours Nous verrons comment calculer la distance entre deux points P et P dans un plan cartésien
Distance dun point à un plan - Wikipédia
Dans l'espace euclidien la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan Le théorème de Pythagore permet
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C'est à dire B?(1; 4) 3 4 Calcul de distance dans un repère orthornormée Dans un repère orthonormée il est possible d'utiliser les coordonnées pour calculer
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Dans le plan muni d'un repère soient A et B deux points de coordonnées Il est peut-être préférable d'utiliser dans les exercices cette formule
Comment trouver la distance d'un point à un plan ?
Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).Quelle est la formule pour calculer la distance entre deux points ?
Ainsi, l'expression qui permet de calculer la distance entre A et B est : d(A,B)=?(x2?x1)2+(y2?y1)2 d ( A , B ) = ( x 2 ? x 1 ) 2 + ( y 2 ? y 1 ) 2 .- Et donc, pour trouver la distance entre deux plans, nous pouvons prendre un point appartenant à un des plans, puis calculer la distance perpendiculaire de ce point à l'autre plan.
Vestiges d"une terminale S - Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l"espace rapporté à un repère orthonormé
Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)Formule donnant la distance entre un point et un plan L"espace est rapporté à un repère orthonormé
O; i, j,k? ? ?La distance entre le point
A A AA x ;y ;z
et le planP d"équation cartésienne
a.x b.y c.z d 0 est donnée par : A A A 2 2 2 a.x b.y c.z d distance A; a b c + +P Rappelons que la distance entre un point A et un ensemble E est la plus petite des distances AM existant entre le point A et chaque point M de E. La formule marche lorsque le point A appartient au plan P. Car alors, les coordonnées du premier vérifient l"équation du second. Donc A A A a.x b.y c.z d 0 . D"où : ( ) A A A2 2 2 2 2 2
a.x b.y c.z d 00 distance A;
a b c a b c+ + + P Dans la démonstration suivante, nous supposerons que le point A n"appartient pas à P. La preuve de la formule 1. Où la distance AM est-elle minimale ? Nous venons de le rappeler : la distance entre le point A et le plan P est la plus petite des distances AM où M est un point quelconque de P. A priori, cette distance semble minimale lorsque le point M est le projeté orthogonal H du point A sur le plan P.Voyons pourquoi il en est ainsi !
Pour tout point N du plan P, le triangle
ANH est rectangle en H.
Donc en application du théorème de
Pythagore, il vient :
2 2 2AN AH HN
2 HN étant un réel positif ou nul, il vient alors :2 2 2 2
La racine est une fonction
croissante sur 0; .AN AH d"où AN AH donc AN AH
Conclusion :
la distance entre le point A et le plan P est égale à la distance existant entre le point A et son projeté orthogonal H sur P.2. Quelques conséquences
Comme le point H appartient au plan P alors H H H
Ses coordonnées en vérifient l"équation.
a.x b.y c.z d 0 Ensuite, comme nous travaillons dans un repère orthonormé alors un vecteur normal du plan P d"équation a.x b.y c.z d 0 est abc( )( )( )( )( )n?.3. La dernière phase : un produit scalaire de deux manières
Le produit scalaire
.AHn????? peut se calculer de deux manières : Avec les coordonnées car nous évoluons dans un repère orthonormé : H AH A H A H A H A
H AH H H A A A A A A
dCar le point H appartient à
a x x .AH b . y y a x x b y y c z z c z za.x b.y c.z a.x b.y c.z a.x b.y c.z d n????? P ? En utilisant le fait que les vecteurs n? etAH????
ont même direction (mais pas nécessairement même sens)En effet, tout deux sont normaux
ou orthogonaux au plan P. Le plus ou moins indiquesi les vecteurs ont même sens. 2 2 2Norme dans un repère
orthonormé .AH AH a b c AH = ± + + ×n nAinsi venons-nous d"établir l"égalité :
2 2 2A A A
2 2 2A A A
On a passé l"égalité à la valeur absolue pour éliminer le et le .Rappelons qu"un réel positif est sa propre valeur absolue.
a.x b.y c.z d .AH a b c AH a.x b.y c.z d a b c AH + + + = + + ×n A A A2 2 2a.x b.y c.z dAH
a b c+ + +D"où la formule !
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