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Chapitre3

Coordonnéesd'unpointduplan

3.1Histor ique

3.2Coord onnéesdansleplan

Commenousallo nslevoir,ass ocierdescoordonné esàunp ointduplanpermetdetraiter,plus

simplement,demanièrealgébrique despro blèmesgéométriques.Pourdéfinir descoordonnée s,ilest

importantd'introduireunrepè re.

Définition3.2.1.Définirunrepè redupl anconsisteàchoisir 3points,distincts,no n-alignésdans

unor dreprécis:O,I,J.Lerepèreestalorsnoté(O,I,J).et: •lepo intOestapp eléoriginedurepèr e; •lad roite(OI)estl'axe desabscissesetlepo intIdonnel'unités urcetaxe; •ladr oite(OJ)estl'axe desordonnéesetle pointJdonnel'unité surcetaxe. Remarque.1.B ienquel'axede sabscisses soitsouventhori zontales,cen'estpasuneobligation.

2.Lors queletriangleOIJestrectan gleenO,lerepère(O,J,I)estditorthogonaletlesaxes

dure pèresontperpendiculai res.

3.Lors queletriangleOIJestrectan gle-isocèleenO,lerepère(O,J,I)estditorthonormée.Les

axesdurepère sontperp endiculairese tl'unitéd emesureestlamêmesurchaqueaxe. Voyonsàprésentde que llemanièreattribuerd escoor donnéesàunpointduplanunefoisqu'un repèreaitétéch oisi. Définition3.2.2.Soit(O,I,J)unre pèreduplanetMunp ointquelconque. •Entr açantlaparallèleà(OJ)passantparM,nousobtenonsl'abscissex M dup ointMsur l'axe(OI). •Entr açantlaparallèleà(OI)passantparM,nousobtenonsl'ordonnéey M dup ointMsur l'axe(OJ). 21

22CHAPITRE3.COORDONNÉ ESD'UN POINTDUPLAN

•Leco uplederéels(x M ,y M )estlecou pled ecoordonnéesdupo intMdansler epère(O;I;J). Commenousleve rronsparlasu ite,l 'introductiond'unrepè redan sunefigurefou rnitunoutil

supplémentairepourfairedelagéométrie.No usreverrons,enexer cice,dequellema nièrepr océder

etcom mentlescoordonnéescar tésiennes permettentderevisitercertain srésultatsvuaucollège.

3.3Coor donnéesdumilieud'unsegment

duse gment[AB]. Proposition6.Considéronsleplanmunid'unre père(O;I;J)ainsiquedesp ointsA(x A ;y A )et B(x B ;y B ).LemilieuMduse gment[AB]apourcoordonnée M x A +x B 2 y A +y B 2 Remarque.Lesco ordonnéesdupointMcorrespondentàlamoyennearithmétiqu edes coordo nnées despoi ntsAetB.

Voyonscecisurune xemple.

Exemple3.3.1.Dansunrep èredup lan,considéronsle spoint ssuivants

A(1;-2),B(-3;0)etC(-1;2).

1.Le milieu Kduse gment[AB]apourcoordonnées

x K x A +x B 2 1-3 2 =-1ety K y A +y B 2 -2+0 2 =-1.

Autrementdit,K(-1;-1).

2.Le symét riquedeB

deBparrappo rtaupointC,esttelqueCestlemi lieudus egment [BB ].Se scoordonn éesvérifientdonc: x B ′+x B 2 =x C et y B ′+y B 2 =y C

D'oùx

B ′=2x C -x B =-2-(-3)=1 ety B ′=2y C -y B =4.C'estàdire,B (1;4).

3.4Calc uldedistancedansun repère orthornormée

Dansunrep èreorthonorméeiles tpossibled'u tiliserlescoordonnées pourcalculerdesdis- tances.Pourcela,no usdevronsutil iserlafonctionr acinecarréedontnou srappelonsci-d essous quelquespropriétés.

3.4.CAL CULDEDISTANCEDANSU NREPÈREORTHORNORMÉE23

3.4.1Rappe lssurlafonctionracineca rrée

Nousnoteron scettefonctionx"→

b≥0,n ousdironsqu' unnombrea∈Restlar acinecar rédebsia×a=a 2 =b.Demanièreun peugros sière,cettefonctionpermetde"dé fairelecarréd' unno mbre».D'unpoint devue plus

géométrique,celarevientàdétermin erlecôtéd'un carrélorsquenousconnais sonsl'airede celui-ci.

Exemple3.4.1.1.Si b=4,ilestfaciledeconstaterquelechoixdea=2convient.Eneffet, a×a=2×2=4donc possiblepuisque(-2)×(-2)=4. Cec urie uxphén omèneprovientdufaits uivant:déterminer lara cinecarréede4re vientàchercherlesso lutionsd el'éq uation x 2 =4 Bienentend u,cetteéquations'écritég alementsouslafo rme x 2 -4=0⇐⇒x 2 -2 2 =0⇐⇒(x+2)(x-2)= 0 oùnou savonsutil isél'identit éremarquablea 2 -b 2 =(a+b)(a-b).Il convie ntalorsd'utiliser larè gleduproduitn ulpour trouverl'ensembledes solutionssuivant:S={-2;2}qui vérifientl'équationx 2 solutions.Enpratique,lorsqu enous ferronsdelagéométrieetcalculeronsdesdistances,la racinenégatives erarégulièrementexclue carunetel levaleurnep eutcorres pondreàun e longueur.

2.De manières imilaire,nouspourrions calculerlesracinescarréesdeb=9oub=36,...

3.P arfois,ilneserapaspos sibled esimpl ifiernoscal culspourobte nirunnombreentier.Ati tre

d'exemple,laracinécarrée(po sitiv e)de2s'écrira

2etnousnepourronspasl'exprimer

souslaform ed'une fractiondenomb reentiers n d avec(n,d),d̸=0n'ayantaucundiviseur commun.Eneffet,sic' étaitle cas,nousaurions 2= n d Cecientra ine,enélevantl'expressionpr écéde nteaucarré,que2d 2 =n 2 .Ceciimpliquedonc quen 2 estdivi siblepar2,enparticuliernestaus sidivisiblepar2 (puisque,parcontraposée, sinestimpa iralorsn 2 estégalem entimpair).Endéfiniti ve,n=2kaveck∈Z.Ainsi,après substitution,nousobtenonsdoncque 2d 2 =4k 2 ⇐⇒d 2 =2k 2

Autrementdit,d

2 estunm ultipl ede2etleraisonnementprécédentmo ntreq u'e nconséquence destunno mbrepa ir.Enconclusion,nou savonsdoncmontr équenetdsontdesnom bres pairs.Ceciestabs urdecarnousavonss upposéqu'ils n'avaientaucun diviseurscommu n.Ceci prouvedoncque dedém onstrationrestevalable,àquelquesmodific ationsprès,sino usrempl açons2parun nombrepremier( i.eunnombreuniquementdivi sibleparluimêmeetpa r1) .

24CHAPITRE3.COORDONNÉ ESD'UN POINTDUPLAN

Pourconclu recesbrefsrappels,voici unepropri étéimportantepermet tantdesimplifierdes racinescarrées.

Propriétés2.Soienta,b≥0alors

ab= a b Remarque.Attention,lapropriétésuivan ten'es tjamaisvraie: a+b̸= a+ b.Pours'en a+b=

25=±5tandisque

a+ b=±4±3. Voiciunexempl ed'app licationdecequiprécè de.

Exemple3.4.2.1.

12=

4×3=

4× 3=2 3. 2. 18=

9×2=

9× 2=3 2. Cettepropriét éestnotammentutilepourréso udredeséq uationslorsqu 'iln'yapasdecarré parfait.Parexemple,avec cequiprécè de, x 2 -12=0 ⇐⇒(x+2

3)(x-2

3)=0 ⇐⇒x=±2

3 Nousrevien dronssurtoutceciplusendétailsdansu neleçonultérieure.

3.4.2Distan ceentredeuxpointsduplan

Proposition7.Considéronsleplanmunid'unre père(O;I;J)ainsiquedesp ointsA(x A ;y A )et B(x B ;y B ).LadistanceentrelespointsAetBvaut AB= (x A -x B 2 +(y A -y B 2 l'unitédelongueurétantl' unitéc ommuneauxdeuxax es. Remarque.Sansgrande surprise,laprés enceducarrédanslaformulep ermetdeconst aterque

AB=BA.

Démonstration.Lefa itquelerepères oitorthon ormées tessentieletpermet d'appliquerleThéo- rèmedePyth agore.Sansp erdreengénéralité,nou spouvonssupposerquex A y B (essentiellement,lesautrescasdefiguressontsimi laires).So itElep ointduplanayan tmêmea bs- cissequelepoi ntAetl amêmeor donnéequel epointB.Lesaxesdurepèreétantorthogonaux,le triangleAEBestdonc rectangleenE.Ilestalorspossibled'appliquerleThéorèmedePythagore, quinous assureque AB 2 =AE 2 +BE 2 orBE=x B -x A etAE=y A -y B .D'où,AB 2 =(x B -x A 2 +(y B -y A 2 .Unedistanceétant positive,nousendéduisonsq ue AB= (x B -x A 2 +(y B -y A 2

3.5.PROPR IÉTÉSGÉOMÉTRIQUES:RAPPELSD UCOLLÈGE25

3.5Propr iétésgéométriques:rappelsdu collège

Danscette sectionnousrapp elonsquelquesproprié tésélémentairesquiserontutil espourré- soudrecertainex ercice. Proposition8.SoientA,BetCtroispointsdup lan.Cespointsso ntalig néssietseulement si

AB+BC=AC.

Théorème9(Pythagore).SoitABCuntri angle(nonaplati).L'équi valencesuiva nteestvérifiée:

AB 2 +BC 2 =AC 2 ⇐⇒ABCestuntr ianglere ctangleenB Voiciquelques propriétésdesparallélog rammes.

Proposition10.SoitABCDunqua drilatère.

1.ABCDestunpa rallélogra mmesietseulementsisescôtésopposéssontdeuxà deuxparallèl es.

2.ABCDestunp arallélogr ammesietseulementsisesdiagonalessecoupentenleurmilie u.

3.ABCDestunp arallélogr ammesietseulementsisescôtésopposéssontdeux àdeuxde

mêmelong ueur.

Voiciquelques propriétésdeslosanges.

Proposition11.SoitABCDunqua drilatère.

1.ABCDestunlos angesiet seulementsisescôtéso ntmêmelo ngueu r.

2.ABCDestunlo sangesi etseulementsisesdiagon alessec oup entperpendiculairementen

leurmili eu.

Voiciquelque spropriétésdesrectangle s.

Proposition12.SoitABCDunqua drilatère.

1.ABCDestunre ctanglesi etseulementiladmettrois anglesdro its

2.ABCDestunr ectangles ietseulementsisesdiagonales ontmêm elongueuretsecoupe nt

enleur milieu.

3.S iABCDestunp arallélogr ammeadmettantunangledroitalorsils'agitd'un rectangle.

Enfin,observonsq u'uncarrécombinelespropri étésdeslosangesetdesr ectangl es.Enc onsé- quence,pourdémontre rqu'unquadril atèreABCDestunca rréils uffitdeprouverqu'ils'agitàla foisd'unl osangeetd'un rectangle.

26CHAPITRE3.COORDONNÉ ESD'UN POINTDUPLAN

3.6Bila nduchapitre

Voicilessavo irsfaireà acquérirdanscechapit re: •Repérerunpointdonnédupla n,pla cerunpointconnais santsescoo rdonnées. •Calculerladistancedede uxpoi ntsconnaissantleurscoord onnées. •Calculerlescoordonnée sdumilieu d'unsegment. •Utiliserlespropriété sdestriang les,desquadrilatères,descerc les. •Utiliserlespropriété sdessymétr iesaxialeoucentrale.

3.7Poura llerplus loin

3.8Curi ositéengrandedimension

Iln' estpasvraimentp ossiblep ourl'êtrehumaindeserepré senterunobjetenq uatred imension (ouplu s).Ilestcependan tpossi bledecon ceptualisercequidoitseproduire.Imaginonsquenous surplombionsunmondevivantdansunef euille enpapier,unmondeendeu xdimen sion.Sinous prenionsuncubedenotreuni ver s,leshabit ant sdecemondenepourraientl'apercevoirqu'au momentouunepar tieduc ubetrave rselafeuilledepapi eretpénètredansleurm onde.Enfaisan t ceci,lesh abitan tsobserveraientunetrancheducub eetseraientfaceàunc arré.Iln'est donc pas difficiledegénér aliserce procédéensedisantquesidesêtr esnousobservaientdepuisunmonde enqu atredimensionets'amu saientàvouloirnousmontrer uncubedeleur univers (enquatre dimensions)nousneverrionsqu'unetra nchedece lui- cietferionsfaceàuncuben ormal. Bienquenotr eintui tionsoitunpeug ênéepardesespacesdedimensionsupérieursàt rois,ces

ensemblesinterviennenttr èsrapidementlorsdel'étudedecertainsproblèmes.Eneffet,gro ssière-

ment,ajouteru nedimensionrevientàco nsidéreru nparamètres upplémentaire.Parexemple,pour décrirelemouvementd' unoisea unousavonsbesoindeconnaîtresapo sitiond ansl'espace.En revanche,ilestpossibleq uenousa yonségaleme ntbesoindeconnaitreladuréedesonmouvem ent,

lap ressionatmosphérique,lat empérature,etc...laconsidérationdececiforceàin tro duireplusde

dimensionspourprendreencompt ecesnouveaux paramètres.Enst atistiques,certainsproblèmes demo délisationcommelamétéorologiemete njeuplusieursmilliersdepar amètre s. L'undesint érêtsmaj eurdescoordonnéescartésien nesestqueno uspouvons étudierdes chosesquidépass enotreima gination.Eneffet,pou rajouterunedim ensionilsuffitd'ajouterune coordonnéeànotrevecteur.Ildev ient doncpossiblede fairedescalculssurdeschosesquenous nepo uvonsvisualiser.Ce lavaparfoisàl'encontredenotreintuition.Voyonsceciaut raversd'un exemple. Débutonsdansleplanetc onsidéronsun carré decôté2dontl ecentreestplacéen( 0,0).

3.8.CUR IOSITÉENGRANDEDIMENSION27

Plaçonsdesdisqu esderayon1d ansleszonessuivantes:un premierdisque centréaupoint(1;1), undeux ièmeen(1;-1),unau treen(-1;1)etun dernier en(-1;-1).Iles talorsposs iblede placerundernierdiqque en( 0;0)puisdel'agrandi rjusqu'àcequ 'iltouchelesquat redisquesque nousavons disposer.dansle carréaupréablable. Biensûr,i lestpossible deproc éderdema nièresimilairedansl 'espace.Cettefois-cinousavo ns

unc ubedecôté2, 8bo ulesderayon1ce ntrée saux points(±1;±1;±1)et enfinun edernièreboule

placéeen(0;0;0don tleray onestplusgrandpossibl e(avecpourcond itionquecettenouvelle boulenepuisse empiét ersurlesautres). nouspouvo nsimaginerunhyperc ubedecôté2(quenousnoterions[-2;2] d )endimensiondet placerdesboulesauxp oints( ±1;...,±1)com meauparavantpoure nfinplacerunedernière boule auc entreaveclesmême srestrictionsqu 'auparavant. d Dema nièreintuitive,nousse rionstenterderépondre:jamais!Voyo nscequenousdisentles calculs.Nousavonsvu queladistance d'unpointM=(x 1 ;x 2 )àl'originevalait d(O,M)= x 2 1 +x 2 2 Endi mensiond,ils'agitdelamêmeformule.C'est-à-dire,siMapourcoordonnées(x 1 ;x 2 ;...,x d (iln'es tplusvraimentpo ssibledepar lerd'abscissesoud'ordonnées,nousnumérotonsdoncl es coordonnéespardesnombresx 1 ,...,x d )nousavonslaformulesuivante: d(O,M)= x 2 1 +x 2 2 +...+x 2 d Or,dans leproblèmequ enousc onsidéronslespointsM,centresdesboules,ontdescoordonnéesde lafo rme(±1;...;±1doncd(O,M)= quelepl usgran drayonpossib lepourlaboulec entralevaut d-1.Enc onsé quence,laboule centraledébordeducubes i d-1>2⇐⇒d>9

cequ in'étaitp asdutoutintuitif.E nfait,il estmêmep ossibledepréc is ercerésultat.Ils'agitd' un

domainedesmathémat iquesqui s'appellelaco ncentrationdelamesure.L'undesrésultatsdecette théoriepermetd'affirmerquelev olumedelab oulecen tralerestantdanslecu bes'approchet rès vite(expon entiellementvite)dezérolorsqueladimensiondevientdeplusenplusgrande.

3.8.1Distan ce

Ladi stancequenousvenonsdevo irs'appel leladistanceeu clidienne.Ilexisted'aut refaço n deme surerladistanceentrede uxpoin ts,l'uned'elles'appelleladist ancede "Manhattan»(en rapportavecle quartierdeNew- York).L araisonderrièrecettete rminologieestlasuivante:la plupartdesville saméri cainessontconstruite ssurlaformed'unquadrillage.Ainsi,pourrejoindre unpo intAàunpointBdel aville ,noussommesforcésdesui vrece quadrillageetd'arpenterles

28CHAPITRE3.COORDONNÉ ESD'UN POINTDUPLAN

côtésdescarrés decequa drillage.Ain si,lad ist ancecalculéecorr espondàcellequiesteffectivement

parcouruàpiedplutôtquec ell eobtenue"àv old'oiseau».

Formellement,siA(x

A ;y A )etB(x B ;y B ),al ors AB=|x A -x B +|y A -y B où|·|désignelavaleurabs olued'unno mbreréel.Cettefo rmulationn 'engendrequetrèspeude

différencesnotabl esaveclagéométrieclassiqu e(grossièr ementtoutd iffèred'u neconstantemulti -

plicativeuniverselle).Enre vanche,certainobjetsbienconnusontun peumodifié s.Pourv oircela nousdevo nsadopterquelques notations:d 2 encou rs)entredeuxpoin tsetpard 1 estposs iblededéfinirundisquedecent reAetde rayon r>0commeétantl'ensembledespoints

Mvérifiant:

d 2 etn ousobtiendron slafigureclassiquequevousavezpur encontréaucoll ège.En revanche,si nousrempl açonsd 2 pard 1 danslefo rmulepré cédente,notrecercle prendraalorslaformed'u ncarré! Ile xisted'innombrable sdistancesenmathématiques,chacuneay antuneutilité,les quel ques motsprécéd entsnefontqu'effleurerlasurf acedecett enotion.

3.8.2Pythagor e

Durantvotrescola ritéducollège, lethéorèmedePythagorefut,sansdo ute,l'undesr ésultats quiaocc upé unegrandepartiedu programme .Ilestmêmefortpossiblequevotreprofesse urait

proposéunedémonstration per mettantdevousassurerquel'énoncédecethéor èmeétait vra i.

Néanmoins,votreprofesseur,as ûrementduom ettreunechosefondamentaleàsonpropos.Ma questionestdonclasuiv ante: leth éorèmedePythagoreest-ilt outlete mpsvrai? Cettequestion peutsemblerincongrue,po urtantellemé ritequelquesmots.Votreprofesseurdu collègeaduprésenterl eth éorèmede Pythagoreetdessinerd estr ianglessurletableaunoirde la salledecours.Imp licite ment,celasignifieq uesesdessinssontfaitsu runesurfacepl ane!Av otre avis,lethéor èmedeP ythagoreest-ilencorevra isinou sdessinionsnostriangle ssurunball on?ou

àl'intérieurd'unbol?

Lar éponseàcesquestionsestn égat ive !D'ailleurs,ilestmêmeposs ibledeconstruire,surunquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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