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Produit vectoriel dans l'espace euclidien oriente de dimension 3. Point de vue geometrique, point de vue analytique. Applications.

Chantal Menini

18 mai 2009

Avant de vous lancer dans cet expose assurez-vous que vous savez denir ce qu'est unespace euclidienet une

orientation.

Il y a au moins deux plans possibles pour cet expose. Le premier consiste a se limiter a la dimension 3 et de donner

la denition geometrique du produit vectoriel, les premieres proprietes puis d'en deduire sa denition analytique. Le

deuxieme consiste a commencer par donner une denition du produit vectoriel qui est valable pour toute dimension

n3, d'en deduire les premieres proprietes et sa denition analytique puis de faire le lien avec la denition

geometrique. Ensuite ces deux plans se rejoignent dans l'etude de proprietes supplementaires et d'applications. Ces

deux plans ont chacun des avantages et des inconvenients, a vous de vous servir de tout cela pour faire votre propre

plan.

1 Premiere facon.

1.1 Denition geometrique.

On note

!El'espace euclidien oriente de dimension 3. Denition 1.1Soient!uet!vdeux vecteurs de!E, leproduit vectorielde!upar!v, note!u^!v, est un vecteur de!Edenit par les conditions suivantes : { si!uet!vsont colineaires,!u^!v=!0,

{ si!uet!vne sont pas colineaires,!u^!v=k!ukk!vkjsin(!u ;!v)j!kou!kest le vecteur unitaire orthogonal

a!uet!v, tel que la base(!u ;!v ;!k)soit directe. Remarque 1.21. On dit aussi que le vecteur!kdeni ci-dessus estdirectement orthogonala!uet!v.

2. Avec cette denition on ne se preoccupe pas de l'orientation choisie pour le plan vectorielV ect(!u ;!v)et!u^!v

n'en depend pas puisque intervient la valeur absolue dusin(!u ;!v).

3. On peut aussi choisir(!{ ;!|)une base orthonormee deV ect(!u ;!v)et!k1le vecteur orthogonal de sorte que la

base(!{ ;!| ;!k1)soit orthonormee directe, alors!u^!v=k!ukk!vksin(!u ;!v)!k1ou l'orientation deV ect(!u ;!v)

est celle induite par!k1. Pour vous convaincre que vous avez bien la m^eme denition, considerer le cas ou la

base(!u ;!v)est directe et le cas ou elle est indirecte (signe dusin, lien entre!ket!k1?).

Si on opte pour cette denition du produit vectoriel, il faut penser a s'assurer qu'elle ne depend pas de la base

(!{ ;!| ;!k1)choisie. Proposition 1.31.!u^!v=!0equivaut a!uet!vcolineaires.

2. Antisymetrie :

!u^!v=!v^!u.

3. Linearite :

!u^(!v+a!w) =!u^!v+a!u^!w. Remarque 1.4On a aussi(!v+a!w)^!u=!v^!u+a!w^!ugr^ace a l'antisymetrie.

Preuve.

La premiere assertion est une consequence directe de la denition.

La deuxieme assertion est immediate si!uet!vsont colineaires. S'ils sont libres, (!u ;!v ;!k) directe implique

1 !v ;!u ;!k) directe etjsin(!u ;!v)j=jsin(!v ;!u)jd'ou le resultat.

La troisieme assertion est immediate sik!uk= 0, sinon nous allons commencer par donner une autre expression du

produit vectoriel de!upar!vlorsque les deux vecteurs ne sont pas colineaires.

Soit!v1un vecteur unitaire du plan vectorielV ect(!u ;!v) et!k1un vecteur unitaire orthogonal a!uet!v1tels que

(!uk !uk;!v1;!k1) soit une base orthonormee directe.

Considerons maintenantPla projection othogonale surV ect(!u)?alorsP(!v) =k!vksin(!u ;!v)!v1(on rappelle que

V ect(!u ;!v) est muni de l'orientation induite par!k1donc (!uk !uk;!v1) en est une base orthonormale directe). Puis consideronsR= [!u ;=2] la rotation vectorielle de vecteur!uet d'angle de mesure2 etHl'homothetie vecto- rielle de rapportk!uk. AlorsR(!v1) =!k1etHRP(!v) =k!ukk!vksin(!u ;!v)!k1.

Pour conclure il reste a voir que si (!u ;!v) a la m^eme orientation que (!u ;!v1) alors sin(!u ;!v)>0 et!k=!k1, si

(!u ;!v) et (!u ;!v1) n'ont pas la m^eme orientation alors sin(!u ;!v)<0 et!k=!k1. Ainsi!u^!v=HRP(!v) y compris lorsque!uet!vsont colineaires puisqu'alorsP(!v) =!0 . H,RetPsont des applications lineaires d'ou l'assertion 3 de la proposition.

Proposition 1.5Soient!{,!|et!ktrois vecteurs unitaires de!Ealors les assertions suivantes sont equivalentes.

1.(!{ ;!| ;!k)est une base orthonormee directe de!E.

2. !{^!|=!k. 3. !|^!k=!{.

4.!k^!{=!|.

Preuve.C'est une consequence directe de la denition.

Remarque 1.6On peut aussi deduire de la proposition precedente que le produit vectoriel n'est pas asociatif puisque!{^(!{^!k) =!{^(!|) =!ket(!{^!{)^!k=!06=!k.

1.2 Expression analytique.

Proposition 1.7SoitB= (!{ ;!| ;!k)une base orthonormee directe de!E. Si les vecteurs!uet!vont pour coor-

donnees respectives(x;y;z)et(x0;y0;z0)dansB, alors!u^!va pour coordonnees :y y 0z z 0;x x 0z z 0;x x 0y y 0

Preuve.Il sut d'utiliser la bilinearite et l'antisymetrie du produit vectoriel ainsi que les resultats de la proposition

1.5.

1.3 Produit mixte.

Denition 1.8Leproduit mixtedes vecteurs!u,!vet!kest le reel note[!u ;!v ;!k]et valant !u ;!v ;!k] = (!u^!vj!k) ou( j )designe le produit scalaire de!E. Proposition 1.9SoientBune base orthonormee directe de!Eet!u ;!v ;!ktrois elements de!E, alors !u ;!v ;!k] = detB(!u ;!v ;!k):

Preuve.Supposons que les vecteurs!u,!vet!kont pour coordonnees respectives (x;y;z), (x0;y0;z0) et (a;b;c) dans

B, alors avec la proposition 1.7

!u^!vj!k) =ay y 0z z 0bx x 0z z

0+cx x

0y y 0=x x 0ay y 0bz z

0c= det

B(!u ;!v ;!k):

2 Corrolaire 1.10L'application denie de(!E)3dansRpar !u ;!v ;!k)7![!u ;!v ;!k] est une forme multilineaire alternee.

2 Deuxieme facon.

On note

!El'espace euclidien oriente de dimension 3. On suppose connue la denition de la forme multilineaire alternee det BouBdesigne une base de!E. On rappelle que siBetB0sont deux bases orthonormees directes de!E alors det

B= detB0.

2.1 Denition.

Theoreme 2.1Soient!uet!vdeux vecteurs de!Ealors il existe un unique vecteur!wtel que 8 !x2!EdetB(!u ;!v ;!x) = (!wj!x) ouBest une base orthonormee directe de!Eet( j )designe le produit scalaire de!E. Denition 2.2Soient!uet!vdeux vecteurs de!E, leproduit vectorielde!upar!v, note!u^!v, est le vecteur tel que

8!x2!EdetB(!u ;!v ;!x) = (!u^!vj!x)

ouBest une base orthonormee directe de!E. Preuve.Soient!uet!vdeux vecteurs de!E, alors l'application denie par

L:!E!R!x7!detB(!u ;!v ;!x)

est une forme lineaire sur !E(par multinearite du determinant). De plus on sait qu'il existe un isomorphisme de!Esur son dual!Edonne par

H:!E!!E

a7!(!aj ) ou ( !aj ) designe la forme lineaire (!aj ) :!x7!(!aj!x). Ainsi, il existe un unique vecteur!wtel queL= (!wj ), ce qui termine la preuve.

Si on ne veut pas trop parler d'isomorphisme, on peut aussi faire la demonstration directe suivante (qui est en fait

une demonstration de l'existance de cet isomorphisme ...).

Avec les notations precedentes, on cherche a trouver un vecteur!wtel qu'il y ait egalite des formes lineairesL=

(!wj ). Une condition necessaire et susante d'existence est que ces deux formes lineaires concident sur la base

B= (e1;e2;e3) de!E. Nous obtenons ainsi l'existence et l'unicite du vecteur!wsolution puisque!w=3P i=1L(ei)eiest l'unique vecteur solution. Remarque 2.31. On appelle aussiproduit mixtedes vecteurs!u,!vet!kle reel note[!u ;!v ;!k]et valant !u ;!v ;!k] = detB(!u ;!v ;!k) = (!u^!vj!k)

2. En dimensionn3la denition du produit vectoriel!e1^:::!en1est l'unique vecteur!wtel que

8 !x2!EdetB(!e1;:::!en1;!x) = (!wj!x): 3

Proposition 2.41. L'application produit vectoriel

^ :!E!E!!E (!u ;!v)7!!u^!v est bilineaire et antisymetrique. 2. !u^!v2V ect(!u ;!v)?

Preuve.La premiere assertion resulte directement de la bilinearite et de l'antisymetrie du determinant. La deuxieme

du fait que det B(!u ;!v ;!u) = 0 = (!u^!vj!u) et de m^eme (!u^!vj!v) = 0

2.2 Expression analytique.

Proposition 2.5SoitB= (!e1;!e2;!e3)une base orthonormee directe de!E. Si les vecteurs!uet!vont pour coor-

donnees respectives(x;y;z)et(x0;y0;z0)dansB, alors!u^!va pour coordonnees :y y 0z z 0;x x 0z z 0;x x 0y y 0

Preuve.Cela decoule directement du fait que!w=3P

i=1L(!ei)!eiavecL(!ei) = detB(!u ;!v ;!ei).

2.3 Expression gometrique.

Proposition 2.6Soient!uet!vdeux vecteurs de!E, leproduit vectorielde!upar!v, note!u^!v, est un vecteur

de!Edenit par les conditions suivantes : { si!uet!vsont colineaires,!u^!v=!0,

{ si!uet!vne sont pas colineaires,!u^!v=k!ukk!vkjsin(!u ;!v)j!kou!kest le vecteur unitaire orthogonal

a!uet!v, tel que la base(!u ;!v ;!k)soit directe.

Preuve.

Si!uet!vsont colineaires alors!u^!v=!0 par antisymetrie du produit vectoriel.

Si!uet!vne sont pas colineaires, prenonsB= (!e1;!e2;!e3) une base orthonormee directe de!Etelle queV ect(!e1;!e2) =

V ect(!u ;!v). Nous savons deja que!u^!v=!e3, il reste a determiner le scalaire.

Par denition du sinus, det

(!e1;!e2)(!u ;!v) =k!ukk!vksin(!u ;!v). De plus detB(!u ;!v ;!e3) = det(!e1;!e2)(!u ;!v) et donc par denition du produit vectoriel !u^!vj!e3) ==k!ukk!vksin(!u ;!v): Pour conclure il reste a remarquer que si la base ( !u ;!v) est directe alors sin(!u ;!v)>0 et!k=!e3, si la base (!u ;!v) est indirecte alors sin(!u ;!v)<0 et!k=!e3.

3 Autres proprietes.

3.1 Double produit vectoriel.

Proposition 3.1Soient!uet!vdeux vecteurs de!E,

u^(!v^!w) = (!uj!w)!v(!uj!v)!w !u^!v)^!w= (!uj!w)!v(!vj!w)!u : Remarque 3.2On retrouve que le produit vectoriel n'est pas associatif.

Preuve.La deuxieme egalite decoule de la premiere par antisymetrie du produit vectoriel. Pour montrer la premiere

egalite, on choisit une base orthonormee directe de sorte que dans cette base on ait!u(;0;0),!v(a;b;0) et!w(x;y;z)

puis on utilise l'expression analytique du produit vectoriel pour conclure. Soit :!v^!wa pour coordonnees (bz;az;aybx) puis!u^(!v^!w) a pour coordonnees (0;(bxay);az) =

x(a;b;0)a(x;y;z). On termine en remarquant que (!uj!w) =xet (!uj!v) =a. 4

3.2 Egalite de Lagrange.

Proposition 3.3Soient!uet!vdeux vecteurs de!E,

k !u^!vk2+ (!uj!v)2=k!uk2k!vk2: Preuve.Cela decoule du fait que (!uj!v) =k!ukk!vkcos(!u ;!v) etk!u^!vk=k!ukk!vkjsin(!u ;!v)j.

4 Applications.

Nous nous placons pour les applications dans l'espace ane euclidienEd'espace vectoriel associe!E.!Eest

suppose muni d'une base orthonormee directeB. Lorsque nous travaillons dans le plan, il est sous entendu qu'il peut

^etre vu comme sous espace d'un espace ane de dimension 3 an que le produit vectoriel ait bien un sens.

4.1 Calculs d'aires et de volumes.

4.1.1 Aire d'un triangle.

Proposition 4.1L'aire du triangleABCestAABC=12

k!AB^!ACk. Preuve.SoitHle pied de la hauteur du triangle issue deCalors l'aire du triangle est A

ABC=12

HCAB=12

k!ABkk!ACkjsin(!AB;!AC)j=12 k!AB^!ACk.

4.1.2 Aire d'un parallelogramme.

Proposition 4.2L'aire du parallelogrammeABCDestAABCD=k!AB^!ADk.

Preuve.AABCD= 2AABD.

Pour demontrer queAABD=ABCDon peut utiliser la symetrie centrale de centre le parallelogramme ou encore que

2ABCD=k!BC^!BDket!BC^!BD= (!BA+!AC)^(!BA+!AD) =!AC^!AD=!AB^!AD.

4.1.3 Volume d'un parallelepipede.

Proposition 4.3SoientA,B,DetIquatres points non coplanaires deEetPle parallelepipede d'ar^etes[AB], [AD]et[AI]. Le volume du parallelepipedePestAP=j[!AB;!AD;!AI]j. Preuve.NotonsI0le projete orthogonal deIsur le planPcontenantA,BetDalorsAP=II0 AABCDsi l'on noteCle point deni par!AC=!AB+!AD. II

0=j(!AIj!AB^!ADk

4.2 Equations de droites et de plans.

4.2.1 Equation d'une droite.

Proposition 4.4Le pointMappartient a la droiteDpassant parAet de vecteur directeur!usi et seulement si

!AM^!u=!0:

Remarque 4.5On retrouve ainsi l'equation d'une droite du plan, siAa pour coordonnees(x0;y0)et!ua pour

coordonnees(a;b)l'equation deDest

D:b(xx0)a(yy0) = 0:

En eetMde coordonnees(x;y;0)(si l'on considere le plan comme sous espace d'un espace aneEde dimension

3) appartient a la droite si et seulement si!AM^!u=!0, et!AM^!ua pour coordonnees(0;0;b(xx0)a(yy0)).

Il y a bien s^ur d'autres outils pour montrer ce resultat.

Preuve.Cela decoule du fait queMappartient a la droiteDsi et seulement si les vecteurs!AMet!usont lies soit

si et seulement si!AM^!u=!0 . 5

4.2.2 Equation d'un plan de l'espace.

Proposition 4.6Le pointMappartient au planPpassant parAet de vecteurs directeurs!uet!vsi et seulement

si [!AM;!u ;!v] = 0: Preuve.Ce resultat est immediat si l'on a choisi la seconde presentation.

Si l'on a choisi la premiere presentation,!u^!vest un vecteur normal du planP,Mappartient au plan si et

seulement si (!AMj!u^!v) = 0 soit si et seulement si [!AM;!u ;!v] = 0.

4.3 Calcul de distances.

4.3.1 Distance d'un point a une droite

Proposition 4.7La distance d'un pointMa une droiteDpassant parAet de vecteur directeur!uest d(M;D) =k!AM^!ukk !uk: Preuve.Commencons par rappeller la denition de la distance d'un point a une droite d(M;D) = inffMN;N2 Dg: Si l'on appelleHle projete orthogonal deMsurDalors pour tout pointNde la droite,MN2=MH2+HN2et

MNest minimal pourN=H, d'ou,d(M;D) =MH.!AM^!u= (!AH+!HM)^!u=!HM^!upuisque!AHet!usont colineaires. Etk!HM^!uk=HM k!ukpuisque!HMet!usont orthogonaux.

Remarque 4.8Lorsque nous sommes dans le plan et que la droiteDa pour equationD:bxay+c= 0, en reprenant les notations de la remarque 4.5,k!uk=pa

2+b2et

k !AM^!uk=jb(xx0)a(yy0)j=jbxay+cj d'oud(M;D) =jbxay+cjpa 2+b2.

4.3.2 Distance d'un point a un plan

Proposition 4.9La distance d'un pointMa un planPpassant parAet de vecteurs directeurs!uet!vest d(M;P) =j[!AM;!u ;!v]jk !u^!vk: Preuve.On montre de m^eme qued(M;P) =MHouHest le projete orthogonalMsurP.!n=!u^!vest un vecteur ortogonal aPd'ouMH k!nk=j(!AMj!n)jetj(!AMj!n)j=j[!AM;!u ;!v]j.

4.3.3 Distance entre deux droites non coplanaires.

Proposition 4.10SoientDetD0deux droites non coplanaires.D(resp.D0) passant par le pointA(resp.A0) et de

vecteur directeur !u(resp.!u0). Alors la distance entre ces deux droites est d(D;D0) =j[!u ;!u0;!AA0]jk !u^!u0k: Preuve.Commencons par montrer qu'il existe une unique droite perpendiculaire aDetD0.

Si existe alors necessairement

!v=!u^!u0est un vecteur directeur de cette droite . Alors appartient au plan

Ppassant parAet de vecteurs directeurs!uet!v. De m^eme appartient au planP0passant parA0et de vecteurs

directeurs!u0et!vet 2 P \ P0. 6

Reciproquement, considerons les plans denis ci-dessus. Ces plans ne sont pas parraleles puisque les vecteurs

!uet!u0sont libres (en eetV ect(!u ;!v) =V ect(!u0;!v) equivaut a!uet!u0lies puisque!uet!u0sont orthogonaux a!v).

Leur intersection est donc une droite que l'on note , d'ou l'unicite et c'est une perpendiculaire commune aDetD0

(pourquoi?). Calculons maintenantd(D;D0) = inffMM0;M2 DM02 D0g, notonsI=D \ etI0=D0\ alors : MM

02=k!MI+!I0M0k2+II02

etMM0est minimal pour!MI+!I0M0=!0 ce qui equivaut a!MI=!0 et!I0M0=!0 puisque!MIest colineaire a!u et!I0M0est colineaire a!u0. On vient donc de montrer que d(D;D0) =II0:

On conclue en utilisant queII0=j(!AA0j!vk

!vk)jet l'expression du produit mixte (on peut aussi remarquer que II

0=d(A;P(A0;!u ;!u0)) et utiliser la resultat sur la distance d'un point a un plan).

5 Commentaires.

{ Le second choix de plan necessite d'^etre \a l'aise" avec les formes lineaires mais presente le gros avantage

de donner de facon immediate la bilinearite et antisymetrie du produit vectoriel. De plus c'est la denition

quelquesoit la dimensionn3.

{ On l'avait dit des le debut il faut savoir ce qu'est uneorientationet, vous l'aurez constate, ce qu'est une

orientation induite. Mais aussi d'avoir les idees claires sur la denition d'un angle, une mesure de cet angle, le

cosinus et le sinus.

{ On peut bien s^ur mettre des applications numeriques dans la presentation de calculs d'aires, etc... mais surtout

on doit ^etre capable de mettre en oeuvre ces calculs numeriques sur un exemple propose par le jury. { C'est bien trop long, a vous de faire un choix dans les applications.

6 Lien avec d'autres exposes.

On reexpoitra bien s^ur les applications (et vice versa) dans l'expose 36 \Applications du produit scalaire et du

produit vectoriel ..."

7 Bibiliographie.

Pour le premier plan et beaucoup d'applications des vieux livres de terminale C, pour le deuxieme plan des livres

post-bac par exemple\Cours de mathematiques speciales" T2 de Ramis. 7quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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