[PDF] Baccalauréat S Métropole 21 juin 2017

Sortie :

Afficherλ

EXERCICE23 points

Commun à tous les candidats

L"espace est mini d"un repère?

O,-→ı,-→?,-→k?

1.Justifier que, quelle que soit la valeur dea, le pointAn"appartient pas au plan

2. a.Déterminer une représentation paramétrique de la droiteD(de para-

Exprimer la distanceAMen fonction du réelt.

On noteHle point d"intersec-

Dorthogonale àPet passant

Métropole221 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.Existe-t-il une valeur deapour laquelle la distanceAHdu pointAde coor-

EXERCICE35 points

Commun à tous les candidats

EstNord

O,-→u,-→v?

•l"origine O marque la position du capteur;

•l"unité choisie est le kilomètre.

Métropole321 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Partie A

1.On notezPl"affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précé-

40 etetetet

0<θ<π4

2<θ<3π4

4<θ<π2-π2<θ<-π4

2.Un impact de foudre est matérialisé sur l"écran en un point d"affixez. Dans

chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appar- tient : a.z=70e-iπ 3; b.z=-45?

3+45i.

Partie B

3. En raison d"imprécisions de mesures, le point d"impact affiché ne donne qu"une in- dication approximative du point d"impact réel de la foudre. Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d"impact P d"affixe50eiπ

3, l"affixezdu point

d"impact réel de la foudre admet : •un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire Msuivant une loi normale d"espéranceμ=50 et d"écart typeσ=5; •un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d"espéranceπ

3et d"écart typeπ12.

Onsuppose quelesvariablesaléatoiresMetTsontindépendantes, c"est-à-direque, quels que soient les intervallesIetJ, les évènements (M?I) et (T?J) sont indé- pendants. Dans la suite les probabilités seront arrondies à10-3près.

1.Calculer la probabilitéP(M<0) et interpréter le résultat obtenu.

2.Calculer la probabilitéP(M?]40 ; 60[).

3.Onadmet queP?

T??π

4;π2??

=0,819. Endéduirelaprobabilitéque lafoudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation.

EXERCICE45 points

Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité semaine. Chaque individu de la population peut être, à l"exclusion de toute autre possibilité : •soit susceptible d"être atteint par le virus, on dira qu"il est "de type S»;

•soit malade (atteint par le virus);

•soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Métropole421 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Un individu est immunisé lorsqu"il a été vacciné, ou lorsqu"il a guéri après avoir été

atteint par le virus. Pour tout entier natureln, le modèle depropagation duvirus est définipar les règles suivantes : •Parmi les individus de type S en semainen, on observe qu"en semainen+1 : 85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés; •Parmi les individus malades en semainen, on observe qu"en semainen+1 : 65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés. •Tout individu immunisé en semainenreste immunisé en semainen+1. On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les évènements suivants : S n: "l"individu est de type S en semainen»; M n: " l"individu est malade en semainen»; I n: "l"individu est immunisé en semainen». En semaine 0, tous les individus sont considérés "de type S»,on a donc les proba- bilités suivantes : P (S0)=1 ;P(M0)=0 etP(I0)=0.

Partie A

On étudie l"évolution de l"épidémie au cours des semaines 1 et 2.

1.Reproduiresurlacopieetcompléter l"arbredeprobabilitésdonnéci-dessous :

S 0S 1 M 1 I 1... 1

2.Montrer queP(I2)=0,2025.

3.Sachant qu"un individu est immunisé en semaine 2, quelle estla probabilité,

arrondie au millième, qu"il ait été malade en semaine 1?

Métropole521 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PARTIEB

On étudie à long terme l"évolution de la maladie. respectives des évènementsSn,MnetIn.

1.Justifier que, pour tout entier natureln, on a :un+vn+wn=1.

On admet que la suite

(vn)est définie parvn+1=0,65vn+0,05un.

2.À l"aide d"un tableur, on a calculé les premiers termes des suites(un),(vn)et

wn). ABCD

1nunvnwn

20100

310,85000,05000,1000

420,72250,07500,2025

530,61410,08490,3010

640,52200,08590,3921

750,44370,08190,4744

860,37710,07540,5474

20180,05360,01330,9330

21190,04560,01130,9431

22200,03880,00960,9516

Pour répondre aux questionsa.etb.suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus. a.Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (vn)? b.On admet que les termes de(vn)augmentent, puis diminuent à partir d"une certain rangN, appelé le " pic épidémique » : c"est l"indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d"être malade pourun individu choisi au hasard est la plus grande. Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle.

3. a.Justifier que, pour tout entier natureln, on a :un+1=0,85un.

En déduire l"expression deunen fonction den.

b.Montrer,àl"aide d"un raisonnement parrécurrence,quepour tout entier natureln, v n=1

4?0,85n-0,65n?.

4.Calculer les limites de chacune des suites(un),(vn)et(wn).

Quepeut-on en déduirequant àl"évolution del"épidémie prévue àlong terme par ce modèle?

Métropole621 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE45 points

Pour lescandidats ayantsuivi l"enseignementde spécialité On appelle " triangle rectangle presque isocèle », en abrégéTRPI, un triangle rec- tangle dont les côtés de l"angle droit ont pour longueursxetx+1, et dont l "hypoté- nuse a pour longueury, oùxetysont des entiers naturels. Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l"angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur del"hypoténuse est un nombre entier. x+1x ySile triangle decôtésx,x+1 ety, oùyest la longueur de l"hypoténuse, est un TRPJ, on dira que le couple (x;y) définit un TRPI.

Partie A

1.Démontrer que le couple d"entiers naturels (x;y) définit un TRPI si, et seule-

ment si, on a : y

2=2x2+2x+1

(3; 5).

3. a.Soitnun entier naturel. Montrer que sin2est impair alorsnest impair.

yest nécessairement impair.

4.Montrer que si le couple d"entiers naturels (x;y) définit un TRPI, alorsxety

sont premiers entre eux.

Partie B

On noteAla matrice carrée :A=?3 24 3?

, etBla matrice colonne :B=?12? Soientxetydeux entiers naturels; on définit les entiers naturelsx?ety?par la rela- tion : ?x? y =A?x y? +B.

1.Exprimerx?ety?en fonction dexety.

a.Montrer que :y?2-2x?(x?+1)=y2-2x(x+1). b.Endéduireque sile couple (x;y)définit unTRPI,alorsle couple?x?;y?? définit également un TRPI.

2.On considère les suites(xn)n?Net?yn?

n?Nd"entiers naturels, définies par x

0=3,y0=5 et pour tout entier natureln:?xn+1

y n+1? =A?xn y n? +B. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, le couple?xn;yn?dé- finit un TRPI.

3.Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont

les longueurs des côtés sont supérieures à 2017.

Métropole721 juin 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

ANNEXE À REMETTRE AVEC LA COPIE

EXERCICE1

12

1 2 3 4 5

Cf Cg O

Métropole821 juin 2017

quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49