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Comment déterminer centre de masse ?
Pour évaluer la position du centre de masse, il faut évaluer la moyenne des positions des masses en utilisant la masse comme facteur de pondération. Plus il y a de masse à un endroit, plus le centre de masse sera près de cet endroit.Comment trouver le centre de masse d'un solide ?
Le centre de masse CM d'un corps est le point situé à la position moyenne de la masse du corps. Le CM est essentiellement mathématique. Il peut se trouver sité à l'intérieur de l'onjet comme à l'extérieur.Comment trouver le centre de masse d'un triangle ?
Centre de masse d'un triangle
Si la plaque homogène a la forme d'un triangle, son centre de masse correspond à l'intersection des médianes. C'est donc aussi l'isobarycentre des sommets.- Si un objet est constitué d'un ensemble de masses ponctuelles, alors si nous additionnons le produit de chacune de ces masses avec la distance de cet élément de masse de l'axe de rotation, puis divisons cette somme par la somme de toutes les masses de notre système, alors cette fraction est égale au centre de gravité.
![[PDF] Centre de masse](https://pdfprof.com/Listes/17/25021-17Centre-De-Gravite.pdf.pdf.jpg "[PDF] Centre de masse")
Centredemasse.
Considérons une plaque comme étant un secteur circulaire d"angle (en radian) et de rayon :L"élément de surface vaut ds=dr.r.d
Le centre de gravité d"un solide homogène est donné par : dvOAOGV vi∫∫∫= avec V = Volume du solide L"épaisseur étant constante, on peut écrire : dsOAOGS si∫∫= avec S = Surface de la plaque La position du centre de gravité de l"élément de surface ds est donné par : z.sin.rx.cos.rOAirrq+q= donc : ∫∫∫∫q+q= ss z.ds.sin.rx.ds.cos.rOGSrr aaqq+qq=0R 00R0z.d.r.dr.sin.rx.d.r.dr.cos.rOGSrr
aaqq+qq=0R 02 0R02z.d.sindr.rx.d.cosdr.rOGSrr
[ ][ ][ ][ ]z.3)cos1(Rx.3sinRz.cos.r31x.sin.r31OGS 330R 03 0R
03rrrra-+a=q-+q=aa
Si α=p alors 2R.2
1Sp=donc 2R.2
1Sa= z.R3 )cos1(R2x. R3 sinR2OG 2323rr
aa-+aa= donc : z.3 )cos1(R2x. 3 sinR2OGrr aa-+aa= Pour une plaque ayant la forme d"un quart de cercle : 2 p=a z.3 R4x. 3
R4OGrr
p+p=Vérification avec le théorème de Guldin
pour 2 p=a, la surface est un quart de cercle de surface 4RS2p=. Par rotation autour de
l"axe zr, le volume engendré est une demi-sphère de volume 3R2V3p=.
Le second théorème de Guldin nous donne la relation :Gr.S..2Vp= où rG est la distance du
centre de gravité du quart de cercle par rapport à l"axe zr.On obtient :
p=pp=p3R4roù"dr.
4 R..2 3 R2 GG23ce qui correspond au résultat trouvé par application de la définition du centre de gravité.
Soit un cône de révolution d"axe z , d"angle au somment 2a ayant une masse m.Le centre de gravité G est défini par :
dm.OPm1OGP∫=
On a h R z rtan==a donc h R.zr= 2222h dzR.zdzrdv.dmrp=rp=r= et 3 hR.v.m2rp=r= (voir calcul d"un volume) Et z.zOPr=
D"où
[ ]z.h4h3z.zh43z.dz.zh3z.hdzR.z.zhR3z.dm.zhR3OG34 h 04 3h 0 3 3222h02h 0 2 rrrrr===rp rp=rp=∫∫∫
On a finalement :
z.4 h3OGr=On applique les définitions suivantes :
iii G iiiGmymyetmxmx
Avec M = masse totale du système =
∑imIci )Rl.L.(S.M
2p-r=r=
xr yr Appelons S1 la plaque rectangulaire de dimensions L x l Et S2 le cercle de rayon R
On cherche les coordonnées du
centre de gravité G de la plaque. GGyxG 2222
2G21G1
iiiGRl.LaR
)Rl.L.(aR0. Mxmxm mxmxp-p-=p-rrp-r=-==∑ donc2222Rl.LbRRl.LaR
G p-p-p-p- 2222
2G21G1
iiiGRl.LbR
)Rl.L.(bR0. Mymym mymyp-p-=p-rrp-r=-==∑quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] calcul centre de gravité pdf
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