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Mathematics Learning Centre
Sigma notation
Jackie Nicholas
c?2005 University of Sydney Mathematics Learning Centre, University of Sydney11 Sigma Notation
1.1 Understanding Sigma Notation
The symbol Σ (capital sigma) is often used as shorthand notation to indicate the sum of a number of similar terms. Sigma notation is used extensively in statistics. For example, suppose we weigh five children. We will denote their weights byx 1 ,x 2 ,x 3 x 4 andx 5The sum of their weightsx
1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 is written more compactly as 5 j=1 x j The symbol Σ means 'add up". Underneath Σ we seej= 1 and on top of it 5. This means thatjis replaced by whole numbers starting at the bottom number, 1, until the top number,5, is reached. Thus 5 j=2 x j =x 2 +x 3 +x 4 +x 5 and 4 j=2 x j =x 2 +x 3 +x 4So the notation
n j=1 x j tells us: a.to add the scoresx j b.where to start:x 1 c.where to stop:x n (wherenis some number).Now take the weights of the children to bex
1 = 10kg,x 2 = 12kg,x 3 = 14kg,x 4 = 8kg andx 5 = 11kg. Then the total weight (in kilograms) is 5 i=1 x i =x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = 10+12+14+8+11 =55. Notice that we have usediinstead ofjin the formula above. Thejis what we call a dummy variable - any letter can be used, ie, n j=1 x j n i=1 x iNow let us find
4 i=1 2x i wherex 1 =2,x 2 =3,x 3 =-2 andx 4 =1. Mathematics Learning Centre, University of Sydney2 Again, starting withi= 1 we replace the expression 2x i with its value and add up the terms untili= 4 is reached. So, 4 i=1 2x i =2x 1 +2x 2 +2x 3 +2x 4 = 2(2) + 2(3) + 2(-2) + 2(1) =4+6-4+2 =8.Similarly, let us find
3 k=1 (x k -4) wherex 1 =7,x 2 =4,x 3 =1. Here, 3 k=1 (x k -4) = (x 1 -4) + (x 2 -4)+(x 3 -4) =(7-4) + (4-4) + (1-4) = 3+0+(-3) =0.Notice that this is different from
3 k=1 x k -4 wherex 1 =7,x 2 =4,x 3 =1.In this case, we have,
3 k=1 x k -4=x 1 +x 2 +x 3 -4 = 7+4+1-4 =8. We use brackets to indicate what should be included in the sum. In the previous example, there were no brackets, so the '4" was not included in the sum.Example:Write out in full:
5 k=1 x kSolution:x
1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5We also use sigma notation in the following way:
4 j=1 j 2 =1 2 +2 2 +3 2 +4 2 =30. This is the same principle: replacejin the expression (this timej 2 ) by whole numbers starting with 1 and ending with 4 , and add. Mathematics Learning Centre, University of Sydney31.1.1 Exercises
1.Evaluate
4 i=1 x i wherex 1 =5,x 2 =2,x 3 =3,x 4 =8.2.Evaluate
n k=1 5x k wherex 1 = 10,x 2 = 14,x 3 =-2, andn=3.3.Findμ=1
5 5 j=1 x j where thex 1 = 10kg,x 2 = 12kg,x 3 = 14kg,x 4 = 8kg andx 5 = 11kg are the weights of 5 children. (μis the mean weight of the children.)4.Find the value of
3 i=1 (x i 2 wherex 1 = 105,x 2 = 100,x 3 = 95, andμ= 100.1.2 Rules of summation
We will prove three rules of summation. These rules will allow us to evaluate formulae containing sigma notation more easily and allow us to derive equivalent formulae.Rule 1:Ifcis a constant, then
n i=1 cx i =c n i=1 x i To see why Rule 1 is true, let"s start with the left hand side of this equation, n i=1 cx i =cx 1 +cx 2 +cx 3 +···+cx n =c(x 1 +x 2 +x 3 +···+x n =c n i=1 x i as required.Suppose that
5 i=1 x i = 55 as in a previous example. Then 5 i=1 3x i =3 5 i=1 x i =3×55 = 165.Rule 2:Ifcis a constant, then
n i=1 c=nc.This rule looks a bit strange as there is no 'x
i ". The left hand side of this formula means 'sumc,ntimes". That is, n i=1 c= n c+c+···+c =n×c =nc.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] permittivité du vide valeur
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