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J.Math.Soc.JapanVol.20,Nos.1-2,1968
Suruneformuleclassique
(Regule7juin,1967)Consid\'eronslesfonctions
lafonctiongamma,donneaussit\^otpour$\Phi 1^{\prime}$\'equationfonctionnelle": $\Phi(s)=\Phi(-s)$. Ilestimm\'ediatque$\Phi$aunp\^oledoubleen$s=0$,desp\^olessimplesen$s=\pm 1$,estholomorphepartoutailleurs,etestborn\'eepour$\sigma\leqq{\rm Re}(s)\leqq\sigma^{\prime},$${\rm Im}(s)\geqq\epsilon$,
en$s=0$. Lafonction$\varphi$est\'evidemmentdonn\'ee,pour${\rm Re}(s)>1$,parlas\'eriedeUneformuleclassique401
Dirichlet
Las\'eriedepuissancesen$q=e^{2\pi i\tau}$quialesm\^emescoecientsestdonc: $F(\tau)=\frac{\pi i}{1}2^{\tau}--\log\eta(\tau)$.$\Phi(s)=\int_{0^{\infty}}F(it)t^{s- 1}dt$,$F(\tau)=_{2\pi i}^{1}-\int_{\sigma-?\infty}^{\sigma+i\infty}\Phi(s)(\tau/i)^{-s}ds$,
lapremi\`ereformule\'etantvalablepour${\rm Re}(s)>1$,etlasecondepour$\sigma>1$, ${\rm Im}(\tau)>0$;danscelle-ci,ondoitentendreque1`int\'egraleestpriselelongdeladroite${\rm Re}(s)=\sigma$.Lam\'ethodedeHeckeconsiste\`ad\'eplacercettederni\`eredroiteparall\`element\`aelle-m\^emedemani\`ere\`al'amenersurladroite${\rm Re}(s)$
points$s=0,$$\pm 1;$lecomportementde$\Phi$\`al'intinidanslabande$-\sigma\leqq{\rm Re}(s)\leqq\sigma$$F(\tau)=-1^{\pi_{2}}\frac{i}{\tau}-\frac{\pi\tau}{12i}+\frac{1}{2}\log(\tau/i)+\frac{1}{2\pi i}\int_{-\sigma-t\infty}^{-\sigma+M}\Phi(s)(\tau/i)^{-s}ds$.
\`a$F(-1/\tau),$$d' 0\grave{u}$end\'efinitive:$\log\eta(-1/\tau)=\log\eta(\tau)+\frac{1}{2}\log(\tau/i)$.
principeappliqu\'eci-dessusque$j' ai$surtoutvouluattirer1`attention.Onaurait \`a1`\'equationfonctionnelle$\Phi(s)=-\Phi(2-s),$$d' 0\grave{u}$ond\'eduitlecomportementdelatransformeedeMellinde$\Phi$,quiestlafonction$F(\tau)=-2\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{d\tau}\log\eta(\tau)$.
402A.wEIL
Bibliographie
Math.Werke,2,Au
I,Vieweg1930,SS.159-172).
SS.591-626).
Math.Ann.,168(1967),149-156.
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