[PDF] Proprietes topologiques des polyn^omes de deux variables

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J.Math.Soc.JapanVol.26,No.2,1974

variablescomplexes,etautomorphismes alg\'ebriquesdel'espace$C^{2}$

ByMasakazuSUZUKI

(Re\caule5sept.,1972)

Introduction.

singularit\'esdelafonction. pointssinguliersdelafonctionconsid\'er\'ee(voirles\S \S 2,3),etl'autrecon-

cernel'existencedelasingularit\'eaupoint\`al'inni(le\S 4).Nosr\'esultatsdonnentaussiunesolutionauprobl\`emecit\'eplushaut,quiestreli\'eauxauto-

1)T.Nishino[1],II(1969).H.Sait\^o[1].

2)Entenantcomptedelasingularit\'eaupoint\`a1`inni;pourlad\'efinitionpr\'e-cise,voirle\S 2dum\'emoireactuel.

lepage150dum\'emoiredeM.Nagata.

4)VoirM.Morse[1].

5)Nousappelleronsunautomorphismedel'espace$C^{2}$:$x^{\prime}=f(x, y),$$y^{\prime}=g(x, y)$,

Abhyankar.

242M.SUZUKI

\S 6). \S 1.G\'en\'eralit\'es.1.Polyn\^omesprimitifs.Consid\'eronsunpolyn\^ome$f(x, y)$,non-constant $c\in C$,lasurfacecaract\'eristiquedans$C^{2}$,d\'efinieparl'\'equation:$f=c$,sera

mi\`erede$f$.Unesurfacepremi\`ere$S$de$f$seraditedetype$(g, n)$,si$S$,regard\'eecommeunesurfacedeRiemann(ouverte),estdegenre$g$etposs\`ede$n$com-

posantesdefronti\`eres$(g\geqq 0, n\geqq 1)$;etelleseradited'ordre$m$,si$f-c,$$c$ Unpolyn\^ome$f(x, y)$,non-constant,seraditprimitif,s'ilexisteunevaleur

$c_{0}$telleque$S_{co}$soitirr\'eductibleetd'ordreun.Alors,pourtoutpolyn\^ome$f(x, y)$arbitraire,onpeuttrouverunpolyn\^omeprimitif$F(x, y)$etunpoly-

PROPOSITION1.Unesurface$S_{c}$d'unpolyn\^omeprimitif$f(x, y)$estd'ordre

un,p0urvuqu'ellesoitirr\'eductible.N.B.$\ll Sauf$mentionexpresse$du$contraire,lespolyn\^omesquiinterviennent

2.Valeurscritiques.Soit$f(x, y)$unpolyn\^ome(primitif);alorspourtoute

$c\in C$,saufunnombreni,auplus,devaleurs:$c_{1},$$\cdots$,$c_{p}$,lasurface$S_{c}$:$f=c$, estirr\'eductible(d'ordreun),$non- singuli\grave{e}$reetdetype$(g, n),$o\`u$g\geqq 0,$$n\geqq 1$ sontdeuxnombresentiersind\'ependantsdesvaleurs$c$$(\neq c_{1}, \cdots , c_{p})$.Nous

not\'ee$S_{i}$etappel\'eesurfacecritiquede$f$,ettoute$S_{c}$,$(c\neq c_{1}, \cdots , c_{p})$,seradite

ordinaire. Unpolyn\^ome$f$seraditdetype$(g, n)$,sisasurfaceordinaireestdetype $(g, n)$.Deplus,ona PROPOSITION2.Soit$f(x, y)$un$polyn\delta me$,etsoient$c_{1},$$\cdots$,$c_{p}$lesvaleurs Propri\'et\ell sioPologiquesdes$Polyn\delta mes$dedeuxvariablescomplexes243

\S 2.Indicesdesingularit\'es.3.Indice$\lambda$.Consid\'erons,\`al'espace$(x, y)$,unefonctionholomorphe

$f(x, y)$dansundomaine$D$.Unpoint$P$de$D$seraappel\'epointsingulierde d\'efinirl'indice$\lambda(P, f)$de$f$encepointP.$Tra\sigma:ons$unebouleferm\'ee$B$: $|x-x_{0}|^{2}+|y-y_{0}|^{2}\leqq r^{2}$,decentre$P=(x_{0}, y_{0}),$lerayon$\gamma$\'etantchoisisu isam- que$S_{f(P)}\cap\partial B^{7)}$consisteendescourbesferm\'eessimples(non-singuli\`eres)et disjointes;etennquetoutecomposanteirr\'eductiblede$S_{f(P)}\cap B^{08)}$passe

positif$\epsilon$telque,pourtoutevaleur$ c:0<|c-f(P)|\leqq\epsilon$,lasurfacecaract\'eristi-que$S_{c}\cap B$,o\`u$S_{c}$:$f=c$,soithom\'eomorphe\`alasurface$\sigma=S_{f(P)+\epsilon}\cap B$.Posons

$\lambda(P, f)=1e$premiernombredeBettide$\sigma$. Nousappellerons$\lambda(P, f)$indicede$f$en$P$.Remarquonsqu'ilned\'ependque choixdelafonction$f)^{9)}$. Ensuite,soit$f(x, y)$unpolyn\^ome.Pourchaquevaleurcritique$c_{i}(i=1$,

(s'ilsexistent).Danstoutcequisuit,nousd\'esignerons$\sum_{j=1}^{q_{l}}\lambda(e_{ij}, f)$par$\lambda_{i}$.

4.L'espace$\hat{C}^{2}$,etlesindices$\mu_{i}$aupoint\`a$1' infini^{1\ovalbox{\tt\small REJECT})}$.Soit$C^{2}$l'espace

(ni)dedeuxvariablescomplexes$x,$$y$,etsoit$\hat{C}^{2}\ll one$pointcompactica-

7)$\partial B$estl'hypersph\`ere:$|x-x_{0}|^{2}+|y-y_{0}|^{2}=r$.

voirparexemple;H.B.Laufer[1].

seulementpourunpeudesimplication,etonpourraobtenirlesm\^emer\'esultats(\S 2,\S 3)enconsid\'erantl'espaceprojectifcomplexe$P^{2}$aulieude$\hat{C}^{2}$;parexemple,$f(x, y)$

\'etantcommedansle$n^{o}6$,d\'esignonspar$S_{c}$,pourchaque$c\in C$,lasurfacecaracte'risti$\cdot$

rang$H_{1}(\hat{S}_{i})=rangH_{1}(\overline{S}_{i})+\kappa-1,$($i=1,$$\cdots$,p)etrang$H_{1}(\overline{S}_{c})=2g+n-\kappa,$$(c\neq c_{1}, \cdots , c_{p})$.

Onadonc,

$d_{i}=rangH_{1}(\overline{S}_{c})$-rang$H_{1}(\overline{S}_{i})$,$(i=1, \cdots , P),$$(c\neq c_{1}, \cdots , c_{p})$,

etc.$\cdots$Mais,pourlesfonctionsenti\`erestrait\'eesau\S 6,l'usagede1`espace$\hat{C}^{2}$est in\'evitable.

244M.SUZUKI

$C^{2}$,l'ensemble$ M\cup\infty$dans$\hat{C}^{2}$seranot\'e$\hat{M}$;alors,$\hat{M}$estcompactesi,etseule-

mentsi,$M$estferm\'edans$C^{2}$. Soit$f(x, y)$unpolyn\^ome,etsoit$c_{i}$unedesvaleurscritiquesde$f$.Nous estsimplementconnexe.Enchoisissant$c_{i^{\prime}}(\neq c_{i})$susammentvoisinde$c_{i}$,

5.$\tilde{S}_{i}$.Soit$f(x, y)$unpolyn\^ome,etsoit$c_{i}$unedesvaleurscritiquede$f$.

Enconsid\'erantlasurface$S_{i}$;$f=c_{i}$,tragons$\Gamma_{i}$commedanslenum\'eropr\'e-c\'edent,et,autourdechaquepointsingulier$e_{ij}$$(j=1, \cdots , q_{i})$de$S_{i}$,uneboule

ferm\'ee$B_{ij}$susammentpetitecommedansle$n^{o}3$.$c_{i^{\prime}}(\neq c_{i})$\'etantsusam-

mentvoisinde$c_{i}$,posons$\hat{\tau}_{i^{\prime}}=\hat{S}_{c_{i^{\prime}}}\cap\hat{\Gamma}_{i},$$\sigma_{ij}^{\prime}=\hat{S}_{c_{i^{\prime}}}\cap B_{ij}$(dansl'espace$\hat{C}^{2}$);

de$\omega=(\cup q_{i}\sigma_{ij}^{\prime})\cup\hat{\tau}_{i^{\prime}}$avecunpointde$\omega_{k},$$(k=1, \cdots , r+1)$,serad\'esign\'epar$\tilde{S}_{i}$.$j=1$

soit$S$unedessurfacesordinairesde$f$. lenombred'Eulerde$*$). suiteexacted'homologie11)delapaire$(\hat{S}, \omega)$: $\partial$$\partial$

$...\rightarrow H_{2}(\omega)\rightarrow H_{2}(\hat{S})\rightarrow H_{2}(\hat{S}, \omega)\rightarrow H_{1}(\omega)\rightarrow H_{1}(\hat{S})$

$\partial$$\partial$

$\rightarrow H_{1}(\hat{S}, \omega)\rightarrow\tilde{H}_{0}(\omega)\rightarrow\tilde{H}_{0}(\hat{S})\rightarrow\cdots$.

fagonque$\omega$soitsous-complexe,ona$H_{n}(\hat{S}, \omega)\cong H_{n}(\hat{S}/\omega)^{12)}$,pour$n\geqq 1$,et,de

l\`a,ona$rangH_{2}(\hat{S}, \omega)=rangH_{2}(\tilde{S}_{i}),$$rangH_{1}(\hat{S}, \omega)=rangH_{1}(\tilde{S}_{i})+r$.Deplus,

Propri\'etistop0l0giquesdes$polyn\delta mes$dedeuxvariablescomplexes245 Soit$f(x, y)$unpolyn\^omedetype$(g, n)$,etsoient$c_{1},$$\cdots$,$c_{p}$lesvaleurs

$a_{i}=b^{2}(\hat{S}_{i})-b^{2}(\hat{S})$,$d_{i}=b^{1}(\hat{S})-b^{1}(\hat{S}_{i})$,$(a_{i}\geqq 0, d_{i}\geqq 0)$,

o\`u$S$estunesurfaceordinairede$f$.

Th\'eor\`eme1,

Notamment,entenantcomptedeProposition1au\S 1,si$d_{i}+a_{i}=0,$$c_{i}$n'est pasvaleurcritique. \S 3.Laformuleprincipale. coecientsdanslecorps$R$. sous-complexes:$\phi=K_{0}\subset K_{1}\subset K_{2}\subset\ldots\subset K_{\alpha}=K$;on$a$alors, $\chi(K)=\sum_{i=1}^{\alpha}\chi(K_{i}, K_{i- 1})$, o\`u$\chi$estlenombre$d^{)}Euler^{14)}$.

8.Laformule.Soit$f(x, y)$unpolyn\^omedetype$(g, n)$,etsoient$c_{1},$$\cdots,$$c_{p}$

13)Voir:M.Morse[1].

14)$\chi(K)=\sum_{n=0}^{m}(-1)^{n}$rang$H_{n}(K),$$\chi(K_{i}, K_{i-1})=\sum_{n=0}^{m}(-1)^{n}$rang$H_{n}(K_{i}, K_{i-1}),$$m$\'etant

ladimensionde$K$.

246M.SUZUKI

simpledeJordan$l_{i}$\`apartirdechaquepoint$c_{i}(i=1, p)$jusqu'aupoint\`a

Alorsledomaine$G^{\prime}=C-\bigcup_{i=1}^{p}l_{i}$estsimplementconnexe,(o\`u$c_{i}\in l_{i}$).Posons

(Remarquonsque,pourtoutepaire$(i, j),$$(1\leqq i

donc,pourtoutentier$n\geqq 1$,desisomorphismes$H_{n}(\hat{C}^{2},\hat{X})\cong H_{n}(\hat{C}^{2}/\hat{X})$et

$H_{n}(\hat{X},\hat{Y})\cong H_{n}(\hat{X}/\hat{Y})$. $2^{O}$Soit$R$unexemplairedelasurfacedeRiemanndetype$(g, n)$,\`a

disqueunit\'eouvertsurleplan$z$,etsoit$L$l'intervalleouvert:$(0,1)$.D'apr\`eslaProposition2au\S 1,$\hat{C}^{2}/\hat{X}$(resp.$\hat{X}_{i}/\hat{S}_{i}$)esthom\'eomorphe\`al'espace$ R\times D\wedge$

{\langle resp.$R\times L$),$\ll one$point$compactification\gg$del'espaceproduit$R\times D$(resp. $R\times L)$,puisque$D$et$L$sontcontractiles.Ona: pour$n\geqq 3$.

(ii)$H_{0}(\hat{X},\hat{Y})=0$.Pour$n\geqq 1$,$ H_{n}(\hat{X},\hat{Y})\cong H_{n}(\hat{X}/\hat{Y})\cong\sum_{\iota=\perp}^{p}H_{n}(\hat{X}_{i}/\hat{S}_{t})\cong$

$\sum_{i=1}^{p}H_{n}(R\times L)\wedge$(sommedirecte).Donc,$H_{n}(\hat{X},\hat{Y})=0$pour$n=1$etpour$n\geqq 4$,

(iii)$H_{0}(\hat{C}^{2},\hat{X})=0$.Pour$n\geqq 1,$$ H_{n}(\hat{C}^{2},\hat{X})\cong H_{n}(\hat{C}^{2}/\hat{X})\cong H_{n}(R\times D)\wedge$.Donc,

$H_{n}(\hat{C}^{2},\hat{X})=0$pour$n=1,2,$$n\geqq 5$,rang$H_{3}(\hat{C}^{2},\hat{X})=2g+n-1$,rang$H_{4}(\hat{C}^{2},\hat{X})=1$.

suivante:

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$donn\'e$e$unefonctionm\'eromorphe$f$sur$M$(non-constante),quin'admetaucunpoint

ProPri\'et\'estoPologiquesdes$Polyn\delta mes$dedeuxvariablescomPlexes247 COROLLAIRE1.Lenombredesvaleurcritiqued'un$polyn\delta mef(x, y)$de$tyPe$ $(g, n)$nesurpassepas$2g+n-1$. un$polyn\delta me$),$f$n'admetqu'unevaleurcritique,$c_{0}$,auplus. \S 4.1-cyclesabsorb\'esenlepoint\`al'inni. $\ll Les$groupesd'homologiedanslepr\'esentparagraphesont\`acoesients

9.Tubes$\Sigma_{i}$.Nouscontinueronsdesous-entendreque$f(x, y)$estunpoly-

n\^omedetype$(g, n)$,que$c_{1},$$\cdots$,$c_{p}$sesvaleurscritiques,etque$S_{i}=S_{c_{i}}(i=1$, $p)$,o\`u$S_{c}=f^{-1}(c)$,pour$c\in C$.Rappelonslacongurationau$n^{o}5$,\`asavoir; pourchaque$i(1\leqq i\leqq P)$,lespointssinguliers$e_{ij}(j=1, \cdots , q_{i})$de$S_{i}$,lesboules

toute$c$telleque$0<|c-c_{i}|\leqq\epsilon_{i},$$\sigma_{ij}(c)=S_{c}\cap B_{ij}$(resp.$\tau_{i}(c)=S_{c}\cap\Gamma_{i}$)soient

hom\'eomorphes\`a$\sigma_{ij}(c_{i}+\epsilon_{i})$(resp.$\tau_{i}(c_{i}+\epsilon_{i})$),etque,enposant$\Sigma_{l}=f^{-1}(\gamma_{i})$,o\`u$\gamma_{i}$estledisque:$|c-c_{i}|\leqq\epsilon_{i}$surleplan$c$,etenposant$U_{ij}=\Sigma_{i}\cap B_{ij},$$V_{i}=$

$\Sigma_{i}\cap\Gamma_{i},$$W_{i}=(U^{i}qU_{ij})\cup V_{i}$,lafermeture$\overline{\Sigma_{i}-W}_{i}^{16)}$soitr\'etractilesur$\Delta_{i}$$j=1$

$=\overline{S_{i}-(S_{i}\cap W_{i}})$.Ceciestpossibles\^urement,(ilsutdechoisir$\epsilon_{i}$assezpetit).

Remarquonsque$\sigma_{ij}=S_{i}\cap B_{ij}$et$\hat{\tau}_{i},$$(\tau_{i}=S_{i}\cap\Gamma_{i})$,sontsimplementconnexes,

etque$\Delta_{i}/\partial\Delta_{i}\approx S_{i}/\tau_{i}\approx\hat{S}_{i}$,(o\`u$\approx$signie\hom\'eomorphe'',et$\partial\Delta_{i}=\Delta_{i}\cap W_{i}$).

(i)Pourtout$i(i=1, \cdots , p),$$H_{1}(\Sigma_{i})n' a$Pasdetorsion,et$\sum_{i=1}^{p}$rang$H_{1}(\Sigma_{i})$

$=(P-1)(2g+n-1)$.

248M.SUZUKI

(ii)Pour$n\geqq 2,$$H_{n}(\Sigma_{i})=0,$$(i=1, \cdots , p)$.

,$p$),(disjoints),etlespoints$c_{i}+\epsilon_{i}$sur$\partial\gamma_{i}(i=1, \cdots , p)$.Joignonschaque

$c_{i}+\epsilon_{i}$,defagonque,pourtoutepaire$(i, j)(2\leqq i

Posons$X_{1}=\Sigma_{1}=f^{-1}(\gamma_{1}),$$X_{i}=f^{-1}(l_{i}\cup\gamma_{i})(i=2, p)$,et$X=\sum_{i=1}^{p}X_{i}$.

a$H_{n}(X)=0$,pour$n\geqq 1$.Onadonc,l'isomorphismesur$\partial:H_{n+1}(X, \Sigma)\rightarrow H_{n}(\Sigma)$,

pourtout$n\geqq 1$,o\`u$\Sigma=\bigcup_{i=1}^{p}\Sigma_{i}$.

Or,$H_{n}(X, \Sigma)\cong H_{n}(X/\Sigma)\cong\sum_{i=2}^{p}H_{n}(X_{i}/(\Sigma_{1}\cup\Sigma_{i}))$,(sommedirecte).Onverra

facilementque,pourtout$i$$(i=2, \cdots , p)$,$H_{n}(X_{i}/(\Sigma_{1}\cup\Sigma_{i}))=0$,$(n\geqq 3)$,

$H_{2}(X_{i}/(\Sigma_{1}\cup\Sigma_{i}))\cong Z^{2g+n-1}$,(sommedirectede$2g+n-1$exemplairesdel'anneau

$Z$desentiers).Ainsionaobtenu$H_{n}(\Sigma)=0$,pour$n\geqq 2,$$H_{1}(\Sigma)\cong Z^{(p-1)(2g+n-1)}$.

C.Q.F.D.

LEMME2.(i)Pour$i(=1, \cdots , p),$$l' homomorphisme$bord$\partial:H_{2}(\Sigma_{i}, V_{i})\rightarrow$

$H_{1}(V_{i})$estbiunivoque,et$H_{1}(V_{i})/Im$.$\partial n' a$pasdetorsion.(Ilest\`aremarquer que$H_{2}(\Sigma_{i}, V_{i})\cong H_{2}(\hat{S}_{i}).)$

(ii)Pourtout$i,$$k(i=1, \cdots , p, k=1, \cdots , N_{i})$,ona$H_{1}(V_{t}^{k})\cong Z$,et$H_{n}(V_{i}^{k})$

$=0,$$(n\geqq 2)$. COROLLAIRE.$f(x, y)$\'etantun$polyn\delta me$de$tyPe(g, n),$(primitifcomme $n$,pourtoute$c\in C$. lapaire$(\Sigma_{i}, V_{i})$:$\partial$

$...\rightarrow H_{2}(\Sigma_{i})\rightarrow H_{2}(\Sigma_{i}, V_{i})\rightarrow H_{1}(V_{i})\rightarrow H_{1}(\Sigma_{i})\rightarrow H_{1}(\Sigma_{i}, V_{i})$

$\partial$ Propri\'et\'estop0l0giquesdes$polyn\delta mes$dedeuxvariablescomplexes249

$2^{o}$Ona$H_{n}(\Sigma_{i}, V_{i})\cong H_{n}(\Sigma_{i}/V_{i}),$$(n\geqq 1)$.Commeonleverrafacilement,

($\epsilon_{i}$\'etantsusammentpetit),$U_{ij}(=\Sigma_{i}\cap B_{ij})(j=1, \cdots , q_{i})$sontcontractiles,

ona$H_{n}(\Sigma_{i}, V_{i})\cong H_{n}(\hat{S}_{i})\cong Z^{b_{i}^{1}},$$Z^{b_{i}^{2}},0$;pour$n=1,2,$$\geqq 3$,respectivement,(o\`u$b_{i}^{l}=b^{l}(\hat{S}_{i})$,pour$l=1,2$).D'autrepart,ona\'evidemment$\tilde{H}_{0}(V_{i})\cong Z^{N_{i}- 1},\tilde{H}_{0}(\Sigma_{i})$

Enadditionnantcesidentit\'espour$i=1,$$\cdots P$,eten$y$appliquantleLemme1, ona

3Prenonsunecomposanteconnexe$V_{i}^{k}$de$V_{i}$,quelconque.$\partial\Delta_{t}\cap V_{l}^{k}$

etque$x$nes'annuleenaucunpointde$V_{i}^{k},$$(V_{i}^{k}\subset\Gamma_{i} : \rho\leqq|x|<\infty, |y|<\infty)$.

Donc,rang$H_{1}(V_{i}^{k})\geqq 1$.

C.Q.F.D.

11.Casdetype$(g, 1)$.

TH\'EOR\`EME3.Soit$f(x, y)$unpolyn\^omedetype$(g, 1)$,(primitif$co$mmetou- $c\in C,$$S_{c}$:$f=c$estirr\'eductibleetd'ordreun,(ii)$\sum_{j=1}\text{\`{A}}(e_{j}, f)q=2g$.

1Ensuite,$S_{i}$\'etantirr\'eductible,$H_{2}(\Sigma_{i}, V_{i})\cong Z$,etl'undesg\'en\'erateursdecegroupeestlaclassed\'efiniepar$\partial\Delta_{i}$(d\'efiniau$n^{o}9$),avecl'orientation

convenable.$D' apr\grave{e}sleLemme2,$$H_{1}(V_{i})\cong Z,$$\partial;H_{2}(\Sigma_{i}, V_{i})\rightarrow H_{1}(V_{i})$estbiunivo-

250M.SUZUKI

(celanediminuepaslag\'en\'eralit\'e).L'application$x:V_{i}\rightarrow C^{*}$,($C^{*}$\'etantledomaine$ 0<|x|<\infty$),induitl'homo-

morphisme$\chi_{*};$$H_{1}(V_{i})\rightarrow H_{1}(C^{*})\cong Z$.Pourtoutcycle$\beta$de$H_{1}(V_{i})$,nousd\'efinis-sonslenombreentier$m(\beta)$par$1'\acute{e}quationx_{*}(\beta)=m(\beta)\cdot\gamma,$o\`u$\gamma$estleg\'en\'era-teurde$H_{1}(C^{*})$choisidefagonque$m(\partial\Delta_{i})$soitpositif.

tion$\eta\rightarrow\xi$). nagedupoint$\xi$,

esthom\'eomorphe\`a$ 1\leqq|t|<\infty$surleplan$t$,et$\hat{\tau}_{i^{\prime}}$(voirle$n^{o}4$)estsimple-

mentconnexe.Ainsi,nousavonsobtenu$\mu_{i}=0$.Ilenresulte(ii),$d' apr\grave{e}s$le

Corollaire3duTh\'eor\`eme2.C.Q.F.D.

N.B.Si$f$estunpolyn\^omedetype$(g, n)$,etsitoutelasurfacepre- mi\`erede$f$estd'ordreun,est-ceque$\sum_{i=1}^{p}\mu_{i}\leqq n-1$,ounon7(Notamment,si, TH\'EOR\`EME4.Soit$f(x, y)$unpolyn\^ome,etsupp0s0nsque$S_{0}$:$f=0$soitirr\'e- Propri\'et\'estop0l0giquesdes$polyn\delta mes$dedeuxvariablescomplexes251 ductible,d'ordreun,non-singuli\`ereetdetype$(g, 1)$;alors$S_{0}$estordinaire. COROLLAIRE17).Soit$f(x, y)$unpolyn\^ome,etsuppOsOnsque$S_{0}$:$f=0_{\rightarrow}soit$ $c\in C,$$S_{c}$:$f=c$l'estaussi. \S 5.Uneapplicationauxautomorphismesalg\'ebriquesdel'espace$C^{2}$.

12.Unautomorphisme:$x^{\prime}=f(x, y),$$y^{\prime}=g(x, y)$del'espace$C^{2}$seradite

alg\'ebrique,si$f$et$g$sontdespolyn\^omesen$x,$$y$.Onaalors,d'apr\`esth\'eor\`emedeE.Picard(surlafonctionenti\`ere),l'applicationinverse\'etant$x=f^{\prime}(x^{\prime}, y^{\prime})$,

$y=g^{\prime}(x^{\prime}, y^{\prime}),$$f^{\prime}$et$g^{\prime}$sontaussidespolyn\^omesen$x^{\prime},$$y^{\prime}$.D'apr\`esH.W.E.

formationslin\'eairesetdetransformationsdetype:$x^{\prime}=x,$$y^{\prime}=y+cx^{l},$$(c\in C$,

l'espace$C^{2}$:$x^{\prime}=f(x, y),$$y^{\prime}=g(x, y)$telqu'iltransforme$S$\`al'axe$x^{\prime}=0$.

PROPOSITION.Soitdonn\'eun$polyn\delta mef(x, y)=x^{m}+y^{n}+f_{0}(x, y)$,o\`u$f_{0}$est total$n$auplus,$(m17)M.M.Kitaaremarqu\'eque:sicepolyn\^omeestdetype$(1, 1)$auplus,ce Etantdonn\'eundomainemultiple(Uberlagerungsbereich)$\mathcal{D}$del'espaceni$(z, w)$, \`adeuxfeuilles,telque$\mathcal{D}$soitanalytiquementhom\'eomorphe\`al'espaceni$(x, y)$,et duction.

18)H.W.E.Jung,(1942).

19)Voirlanote3).

252M.SUZUKI

cequelepolyn\^ome$f$ser\'eduit\`a$x$.

TH\'EOR\`EME$5^{20)}$.Lepr0bl\`emepos\'eci-dessusesttoujoursr\'esoluble.\S 6.Fonctionsenti\`eresdelaclasse(A).

13.Pr\'eliminaires.{?}Soit$f(x, y)$unefonctionenti\`erededeuxvariables

TH\'EOR\`EME.Unefonctionenti\`ere$f(x, y)$delaclasse(P)appartient\`ala plan$c$,telque,pourtout$c\in e,$$S_{c}$:$f=c$contienneaumoinsunesurfacepre- mi\`erede$tyPe$ni. Soit$f(x, y)$unefonctionenti\`eredelaclasse(A),etsoit$S$unedessur-

quement),etn'admetteaucunesurfaceconjugu\'ee24).Unesurfacepremi\`erede$f$quin'estpasordinaireseraditecritique,etunevaleur$c\in C$telleque

TH\'EOR\`EME.Soit$f(x, y)$unefonctionenti\`eredelaclasse(A);alorson$a$:

20)Voirlanote5).

21)\`aparaitre.T.Nishino[2].

Propri\'etistop0l0gjquesdes$polyn\delta mes$dedeuxvariablescomplexes253 quenullesurleplan.

connexequicontient$Sdu$domaine$|f-c|<\epsilon$,soitanalytiquementhom\'eomorphe\`aundomainemultiple$alg\text{{\it \'{e}}} bro\iota de^{25)}\mathcal{D}du\gamma\times C$,(o\`u$\gamma$estledisque:$|z-c|<\epsilon$

\`al'espace$(z, w)$detoutelasurfacecritiqueint\'erieurede$\mathcal{D}$soitd\'efiniepar suivants: Unefonctionenti\`ere$f(x, y)$delaclasse(A)seraditeprimitive,s'ilexiste COROLLAIRE2.Pourtoutefonctionenti\`ere$f(x, y)$delaclasse(A),ilexiste unefonctionenti\`ereprimitive$F(x, y)$etunefonctionenti\`ere$\varphi$d'unevariable complexe,tellesque$f(x, y)\equiv\varphi(F(x, y))$. PROPOSITION1'.Soit$f(x, y)$unefonctionenti\`ereprimitivedelaclasse(A). PROPOSITION2'.Soit$f(x, y)$unefonctionenti\`eredelaclasse(A),etsoit $e(\subset C)$l'ensembledesvaleurscritiquesde$f$.Posons$G=C-e,$$E=f^{-1}(G)$. projection$f$. $\ll Dans$lasuitenousnetraiteronsquelafonctionenti\`ereprimitivede

14.Valeurscritiquesdesfonctionsenti\`eresdelaclasse(A).$\ll Les$

groupesd'homologiedanscenum\'erosont\`acoecientsdanslecorps$ R.\gg$ qu'unnombrenidevaleurscritiques.Enoutre,$f(x, y)$\'etantunetellefonction, lasurfacecaract\'eristique$S_{c}$:$f=c$,p0urtoute$c\in C$nep0ss\`edequ'unnombre

25)C'est\`adire,ledomained'holomorphiesurledomaine$\gamma\times C$,delafonction

$\varphi(z, w)$d\'efinieparune\'equation$\varphi^{m}+A_{1}(z, w)\varphi^{m-1}+\cdots+A_{m}(z, w)=0$,(o\`u$A_{k}(z, w)$

phesde$z$dans$\gamma$).

254M.SUZUKI

1Supposons,pourl'eet,unefonctionenti\`ere$f(x, y)$delaclasse(A)

etdetype$(g, n)^{26)}$,avecaumoins$2g+n$valeurscritiques;$c_{1},$$\cdots$,$c_{p}$(o\`u$p=$

pointcommundeux\`adeux,telsquetoutcercle$\partial\gamma_{i}$:$|c-c_{i}|=\epsilon_{\iota}(1\leqq i\leqq P)$ne

passeparaucunpointde$e$.Pourchaque$i(=1, \cdots p)$,prenantunpoint$c_{i}^{\prime}$ point\`al'inni,nepassantparaucunpointde$e$,nipointde$\gamma_{k}(k=1, p)$, connexe,contenanttousles$\gamma_{i}\cup l_{i}$$(i=1, \cdots , p),$limit\'epardescourbessimples

deJordan,ettelque$(\overline{G}-\bigcup_{i=1}^{p}\gamma_{i})\cap e=\emptyset$.(Celaestpossibles\^urement.)Posons

$\Sigma_{0}=X_{0}=f^{-1}(C-G)$,$\Sigma_{i}=f^{-1}(\gamma_{i})$,$X_{i}=f^{-1}(\gamma_{i}\cup l_{i})$,

Consid\'eronsdansl'espace$\hat{C}^{2}$lesensembles(ferm\'es)$\hat{\Sigma}_{i},\hat{X}_{i}(i=0, \cdots , P)$;

complexes.Parsuite,pourtoutentier$n\geqq 1$,ona

$H_{n}(\hat{C}^{2},\hat{X})\cong H_{n}(\hat{C}^{2}-\Sigma^{0},\hat{X}-\Sigma^{0})\cong H_{n}(\hat{C}^{2}-\Sigma^{0}/\hat{X}-\Sigma^{0})$,

$H_{n}(\hat{X}_{i},\hat{\Sigma}_{i})\cong H_{n}(\hat{X}_{i}-\Sigma_{i^{0}},\hat{\Sigma}_{i}-\Sigma_{i}^{0})\cong H_{n}(\hat{X}_{i}-\Sigma_{i}^{0}/\hat{\Sigma}_{i}-\Sigma_{t}^{0})$,

Onadonc,notamment,$H_{n}(\hat{C}^{2},\hat{X})\cong 0,$$R^{2g+n-1},$$R$:pour$n=2,3,4$,respec-

tivement;et$H_{n}(\hat{X}_{i},\hat{\Sigma}_{i})\cong R^{2g+n-1},$$R$:pour$n=2,3$,respectivement,$(i\geqq 1)$.

$2^{o}$Puis,nousallonsd\'emontrer:(I)Pourtout$i(=0, \cdots, p),$$\beta_{i}^{2}=rangH_{2}(\hat{\Sigma}_{i})$,

$\beta_{i}^{1}=rangH_{1}(\hat{\Sigma}_{i})$sontnis;pr\'ecisement$dit,$$1\leqq\beta_{i}^{2}\leqq 2g+n-1,0\leqq\beta_{i}^{1}\leqq 2g+n-1$.

(II)Enposant$\delta_{i}=2g+n-1-\beta_{i}^{1}$et$\alpha_{i}=\beta_{i}^{2}-1$,ona$\sum_{t=1}^{p}(\delta_{i}+\alpha_{i})\leqq 2g+n-1$,

$(\delta_{\ell}\geqq 0, \alpha_{i}\geqq 0)$.

Eneet,lebord$\partial;H_{n}(\hat{C}^{2},\hat{X})\rightarrow H_{n-1}(\hat{X})e3t$isomorphismesur,pour$n=2,3$

26)C'est\`adire,quelasurfaceordinairede$f$estdetype$(g, n)$.

Propri\'etistop0l0giquesdes$polyn\delta mes$dedeuxvariablescomplexes255

(et$n\geqq 5$);surjectifetnul,pour$n=4$,puisque$H_{n}(\hat{C}^{2})=0,$$(n\neq 0,4)$et$H_{4}(\hat{C}^{2})$

$j_{*}$$\rightarrow H_{4}(\hat{C}^{2},\hat{X})$estisomorphismesur,(o\`u$j_{*}$estl'applicationcanonique).Par

Or,pourtoutepaire$(i, j)$telleque$0\leqq idonc,pourtoute$i$$(=0, \cdots , p),$$H_{1}(\hat{X}_{i})=0,$$H_{3}(\hat{X}_{i})=0$et$\sum_{l-- 0}^{p}$rang$H_{2}(\hat{X}_{i})=$

$2g+n-1$. paire$(\hat{X}_{i},\hat{\Sigma}_{i}),$$(i\geqq 1)$; $\partial$

$...\rightarrow H_{3}(\hat{X}_{i})\rightarrow H_{3}(\hat{X}_{i},\hat{\Sigma}_{i})\rightarrow H_{2}(\hat{\Sigma}_{i})\rightarrow H_{2}(\hat{X}_{i})\rightarrow H_{2}(\hat{X}_{i},\hat{\Sigma}_{i})$

$\partial$ $\rightarrow H_{1}(\hat{\Sigma}_{i})\rightarrow H_{1}(\hat{X}_{i})\rightarrow\ldots$ suiteexacte.Ona,enoutre, $1-\beta_{i}^{2}+rangH_{2}(\hat{X}_{i})-(2g+n-1)+\beta_{i}^{1}=0,$$(i\geqq 1)$. Onadonc,$\sum_{i=1}^{p}(\delta_{i}+\alpha_{i})=\sum_{i=1}^{p}$rang$H_{2}(\hat{X}_{i})\leqq 2g+n-1$. $3^{o}$D\'emontrons:Lorsque$S_{i}$n'estpasirr\'eductible,ona$\alpha_{i}\geqq 1,$$(1\leqq i\leqq p)$.

surchaque$S_{i}^{h},$$(h=1,2)$,uneportionferm\'ee$K_{h},$$non- singuli\grave{e}$reethom\'eo-morpheaudisqueunit\'e$D:|w|\leqq 1$surleplan$w$,etpuis,deuxportions

produit$\gamma\times D$o\`u$\gamma$estledisqueunit\'e:$|z|\leqq 1$surleplan$z$,etque,parcet

hom\'eomorphisme,$(\partial\gamma)\times D$corresponde\`auneportionde$\partial\Sigma_{i}=f^{-1}(\partial\gamma_{i})$,et

$O\times D$(resp.$z\times D$)corresponde\`a$K_{h}$(resp.\`aunecomposanteirr\'eductibled'une$S_{c}\cap T_{h},$$c\in\gamma_{i}$),(pourchaque$h=1,2$).(C'estpossibles\^urement.)Soit

$V=\hat{\Sigma}_{i}-(T_{1}\cup T_{2})$,etsoit$T^{*}=\hat{\Sigma}_{i}/\overline{V},$($\overline{V}$signielafermeturede$V$).Ona,

\'evidemment,$H_{2}(T^{*})\cong R+R$(sommedirecte),etdontlesbasessont$K_{1^{*}}$et $K_{2^{*}}$,o\`u$K_{h^{*}}=K_{h}/\partial K_{h},$$(\partial K_{h}=K_{h}\cap\overline{V})$. Or,consid\'eronsl'homomorphismecanonique$\pi;H_{2}(\hat{\Sigma}_{i})\rightarrow H_{2}(T^{*})$,etsup-

posonsque$\alpha_{i}=0$,(c'est\`adire,$H_{2}(\hat{\Sigma}_{i})\cong R$).Enposant$S=S_{c_{i^{\prime}}},$$(c_{i^{\prime}}\in\partial\gamma_{i})$,on

a$\hat{S}\neq 0$,dans$H_{2}(\hat{\Sigma}_{i})$,(pourcela,ilsut,parexemple,deconsulterlasuite

exactecit\'ee\`a$2^{o}$).Parsuite,ilexiste$k_{1},$$k_{2}\in R$,telsque$\hat{S}_{i}^{h}=k_{i}\hat{S}$,dans

$H_{2}(\hat{\Sigma}_{i}),$$(h=1,2)$.

Or,ona$\pi(\hat{S}_{i}^{h})=K_{h}^{*},$$(h=1,2)$,et$\pi(\hat{S})=m_{1}\cdot K_{1}^{*}+m_{2}\cdot K_{2}^{*}$,o\`u$m_{1},$$m_{2}$sont

suite,$k_{1}m_{2}=k_{2}m_{1}=0$.Or,$m_{1}\neq 0,$$m_{2}\neq 0$.Donc,$k_{1}=k_{2}=0$,cequientraine

256M.SUZUKI

$K_{h^{*}}=0$,dans$H_{2}(T^{*})$;c'estabsurde.Donc,$\alpha_{i}\geqq 1$. Bettide$\hat{S}_{i}$estinf\'erieu$r$\`a$2g+n-1$,ona$\delta_{i}\geqq 1,$$(1\leqq i\leqq p)$.

que$l$nesortepasdudisque$\gamma_{i}$,etposons$L=f^{-1}(l)$.Onverraimm\'ediate-ment$H_{1}(L,\hat{S}_{i})=0$.Parsuite,l'homomorphisme:$H_{1}(\hat{S}_{i})\rightarrow H_{1}(L)$,induitpar

l'injection:$\hat{S}_{i}\rightarrow L$,estsurjectif.Donc,l'hypoth\`eseentraine$rangH_{1}(L)<$ $2g+n-1$. onarang$H_{1}(\hat{\Sigma}_{i})<2g+n-1$.Donc,$\delta_{i}\geqq 1$.

5D'apr\`es$3^{O}$et$4^{o}$,ona$\delta_{i}+\alpha_{i}\geqq 1$,pourtout$i(=1, \cdots p)$.Donc,

d'apr\`es(II)\`a$2^{o}$,ona$p\leqq 2g+n-1$.Celaestencontradictionavecl'hypoth\`esepos\'eeaucommencementde1.

6Ladeuxi\`emeassertionduth\'eor\`emeestmaintenantvisible,$d' apr\grave{e}s$

leraisonnementci-dessus,(1-3).C.Q.F.D.

Unefois\'etablileTh\'eor\`eme6,onverra,sansdicult\'e,quelesth\'eor\`emesaux\S 2et\S 3restentvalablesaussipourlesfonctionsenti\`eresdedeuxvari-

Soit$f(x, y)$unefonctionenti\`eredelaclasse(A),etsoit$c_{i}$unedesvaleurs $P_{k})$,d\'esignonslacomposanteirr\'eductiblede$S_{i}^{k}\cap B_{r}$quicontientlepoint$P_{k}$ $\ldots$$h$)soienthom\'eomorphesaux$S_{i}^{k}(k=1, \cdots h)$,respectivement.(C'estpossi-

ble$s\hat{u}rement^{27)}.$)Ensuite,prenant$c_{i^{\prime}}$susammentvoisinde$c_{i}$,d\'esignons,pourchaque$k$$(=1, \cdots , h)$,lacomposanteirr\'eductiblede$S_{c_{i^{\prime}}}\cap B_{r}$quicontient

$Propri\acute{e}t\ell s$topologiquesdes$Polyn\delta mes$dedeuxvariablescomplexes257

Bettiestl'indice$\mu_{i}$voulu.

TH\'EOR\`EME1'.$F(x, y)$\'etantunefonctionenti\`eredelaclasse(A),ona $(d_{i}\geqq 0, a_{i}\geqq 0, d_{i}+a_{i}=\chi(\hat{S}_{i})-\chi(\hat{S}))$.

aussipourlesfonctionsenti\`eresdelaclasse(A);mais,pourlesd\'emontrer,ilexisteunedicult\'epropreauxfonctionsenti\`eres,danslecaso\`u$g\geqq 2$,

$(g, n)$\'etantletypedelafonctionconsid\'er\'ee.Bibliographie

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