Expérience n°5 - MESURE DE LA PERMITTIVITE DU VIDE ?0
0 0. 1 c . (Eq. 1). Dans le système d'unités MKSA (Mètre – Kilogramme – Seconde - Ampère) Dans cette convention
Correction TP de programmation no3 - Fonctions et procédures
valeur absolue entière Voici comment on peut écrire la fonction valeur absolue : ... bien vrai et que presqueEgal(1 1+2*epsilon)
Epsilon
8 Nov 2013 trouver (pour tout ? > 0) n0 tq
r mm GF = 4 ?? (3) où ? est la permittivité du milieu. Le champ
l'onde est la différence entre la valeur maximum et la valeur à prendre n valeurs entières entre 0 et (n-1); ... epsilon ? sigma ? ? milli m 10-3.
Instructions de Montage eddyNCDT 3300/3301
www.micro-epsilon.de (1)/(2) mouvement haut/bas dans les menus; Saisie de valeur: (1) ... 05. 1. Objet à mesurer. Capteur. Fourchette de mesure MB.
Corrigé du TD no 9
x?0 x2 = 0. Corrigé : D'après la définition l'énoncé « lim x?0 x2 = 0 » se traduit de la façon (la plus petite des deux quantités en valeur absolue)
Constantes physiques fondamentales Constantes physiques unités
Constantes physiques unités SI. Page 1 sur 2. Constante. Symb. Valeur. Incertitude. CONSTANTES UNIVERSELLES. Vitesse de la lumière dans le vide. 0.
Proprietes topologiques des polyn^omes de deux variables
que le nombre des valeurs critiques d'une telle fonction enti'ere est fini (le tel que pour toute valeur $ c:0<
Calcul dune valeur dun facteur epsilon par une formule intégrale
13 Oct 2009 Calcul d'une valeur d'un facteur epsilon par une formule ... Il existe un voisinage ? de 0 dans g˜t(F) et pour tout O ? Nil(g˜t)
Chapitre 1 Suites réelles et complexes
(1) Une suite `a valeurs dans K est une famille d'éléments de K in- Soit ? > 0 alors
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La permittivité du vide ?0 apparaît dans le système d'unités MKSA Elle n'a pas de valeur prédéterminée et doit donc être mesurée Puisque cette mesure ne peut
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prendre n valeurs entières entre 0 et (n-1); - m est le nombre quantique de moment magnétique qui peut prendre (2 l +1) valeurs entières entre -
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Le tableau suivant donne quelques valeurs de la constante diélectrique ?r pour différentes substances isolantes (à pression et température ambiantes) Substance
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8 nov 2013 · Pour prouver la convergence xn ? l ? R il suffit de trouver (pour tout ? > 0) n0 tq xn ? l < 2? ?n ? n0 bien que cette inégalité
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0 ?E/?t Equation de Maxwell Ampère E champ électrique (unité: V m-1) - champ -l'équation de Maxwell flux div B = 0 Valeurs de ?p= ?p/2? dans
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o`u Pabs est la puissance volumique absorbée donnée par l'Eq (2 59) h?i = 1/2 Re(E ? H?) est la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting et Ps =
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En d'autre termes f (3) ? 0 et f (4) ? 0 donc l'équation (f (x) = 0) admet une solution dans l'intervalle [3 4] d'après le théorème des valeurs
Perméabilité du vide - Wikipédia
Dans le système SI sa valeur est exactement : ?0 = 4? × 10?7 kg m A?2 s?2 ou
Quelle est la valeur de epsilon 0 ?
NatureGrandeur scalaire Symbole usuel Lien à d'autres grandeurs Valeur 8,854 187 82 × 10?12 F m?1 Quelle est la valeur de la permittivité du vide ?
Permittivité du vide : qu'est-ce que c'est ? Constante fondamentale ?o, égale à 8,85?-12 C2/(N×m2). La relation entre perméabilité et permittivité du vide s'écrit ?o * ?o * c2=1 (tirée des équations de Maxwelléquations de Maxwell).Quelle est la valeur de la permittivité ?
Permittivité relative : qu'est-ce que c'est ? Pour un matériau donné de permittivité ?, il est possible de définir la permittivité relative, normalisée par rapport à la permittivité du videpermittivité du vide : ?R = ? ?0. Cette valeur ne poss? pas d'unité et est toujours supérieure à 1.- C'est pourquoi la permittivité est généralement mesurée par rapport à la fréquence. La permittivité relative complexe, notée ?r, est définie comme suit : Où est la conductivité électrique (S/m), est l'unité imaginaire, et est la fréquence angulaire (rad/s).
Epsilon
Analyse 1
8 novembre 2013
En bref
But du jeu : voir les raisonnements les plus simples avec"(epsilon) Justification de quelques propriétés des limites de suites en utilisant ces raisonnements " Principe 2"». Application : " principe du majorant » " Principe du plus grand desn0». Applications : limite des sommes, recollement, théorème des gendarmes " Principe du"particulier ». Applications : limites des produits, définition de la continuité avec"etQuelques suites importantes
Le début de l"analyse " conceptuelle » : suites de Cauchy. Application : méthode des approximations successives de PicardPrincipe 2"Rappel
Par définition,xn!`2Rssi
8" >0;9n0tqjxn`j< ";8nn0
Exercice
Calculer le plus petitn0sixn=1n
et"=101, ou"=102Solution.On a`=0
On a (1)jxn`j< "()1n
< "()n>1"Si"=101, alors (1)()n>10, et donc le plus petit
n0qui convienne estn0=11
Si"=102, alorsn0=101 convient
Remarques
Donc, en général,n0dépend de"
Si nécessaire, on écritn0=n0(")pour souligner la dépendance den0par rapport à" n0n"est pas unique
Dans l"exemple précédent, toutn011 peut être pris commen0(101) Plus généralement, simpeut jouer le rôle den0, alors toutkmpeut jouer ce rôle Principe 2"Principe 2"Pour prouver la convergencexn!`2R, il suffit de trouver (pour tout" >0)n0tqjxn`j<2",8nn0... ...bien que cette inégalité soit plus faible quejxn`j< ",8nn0Démonstration.
Sinn0("=2), alors nous avonsjxn`j<2"2
Principe 2"Travail individuel
Enoncer et prouver le principe 10"
Enoncer et prouver le principe"2
Nous avons le principe suivant (admis)Principeg(")Soitg: [0;1[![0;1[continue et telle queg(0) =0Pour prouver la convergencexn!l2R, il suffit de
trouver (pour tout" >0)n0tqjxnlj g("),8nn0Remarque Le principe fonctionne aussi si on obtient "On cherchen0tqjxn`j g("),8nn0(avecg
convenable)Variante : on montre quejxn`j Application : principe du majorant
Principe du majorant
Hypothèses
j xn`j Cyn,8n yn!0,C>0 constante Conclusion
x n!`Démonstration. Soit" >0
Soitn0tqjynj=yn< ",8nn0
Alorsjxn`j On conclut grâce au principeC"
Principe du majorant
Exercice d"application
On a lim
n!11+2sinn2n =0Solution. On a 1+2sinn2n
0=j1+2sinn2jn
31n
On applique le principe du majorant avecyn:=1n
et C=3 Principe du plus grand desn0Principe du plus grand desn0Si la propriété (P1) est vraie pournn1, et si la propriété
(P2) est vraie pournn2, alors les propriétés (P1) et (P2) sont vraies (en même temps) pournn0, où n 0:=maxfn1;n2g
Application : limite de la somme
Proposition
Hypothèses x
n!`2Retyn!L2R Conclusion x
n+yn!`+LDémonstration. Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
j(xn+yn)(`+L)j=j(xn`) + (ynL)j jxn`j+jynLj< "+"=2" On conclut grâce au principe 2"
Application : théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes
Hypothèses
ynxnzn yn!`2R,zn!`(même`) Conclusion
x n!`Il existe des variantes de ce résultat si`=1ou`=1 (voir feuille d"exercices no 4) Application : théorème des gendarmes
Démonstration.
Soit" >0. Soientn1;n2tq
jyn`j< ";8nn1etjzn`j< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
`" D"oùjxn`j< ",8nn0
Application : recollement
Formulation vague
Si une suite(xn)" se casse » en plusieurs sous-suites, toutes avec la même limite`, alorsxn!` L"hypothèse clé est que`ne dépend pas de la sous-suite Application : recollement
Voici une formulation rigoureuse d"un cas particulier de recollementProposition Hypothèses
(x'(n))et(x (n))sous-suites de(xn) Tout entiermest soit de la forme'(n), soit de la forme (n). Càd : 8m2N;9n2Ntq soitm='(n);soitm= (n)
x'(n)!`etx (n)!`(même`) Conclusion
x n!` Application : recollement
Exemples
Six2n!`etx2n+1!`(même`), alorsxn!`
alorsxn!`Travail individuel : reprendre, dans le poly sur le sup, l"exercice sur la suite(zn)donnée par z n:=112 +13 14 +:::+ (1)n+11n ;8n1; et montrer que(zn)converge Application : recollement
Preuve si`2R.Soit" >0. Soientn1,n2tq
jx'(n)`j< ";8nn1etjx (n)`j< ";8nn2 Soitn0:=maxf'(n1); (n2)g
Soitmn0. Soitntqm='(n)oum= (n)
Sim='(n), alorsnn1. De même : sim= (n),
alorsnn2 Dans les deux cas :jxm`j< ",8mn0Travail individuel Examiner les cas où`=1ou`=1
Etudier le cas de plusieurs sous-suites. Notes de cours, Poroposition 5.16, p. 40
Principe du"particulierPrincipe du"particulierUne propriété vraie pour tout"est vraie pour des valeurs
particulières de" Application : une suite convergente est
bornéeProposition Une suite convergente est bornée
Càd : sixn!`2R, alors9a;b2Rtqaxnb,8n
Application : une suite convergente est
bornéeDémonstration. On prend"=1 dans la définition de la convergence. Soitn0tqjxn`j<1,8nn0
On a donc`1 On obtientaxnb, avec
a:=minf`1;x0;:::;xn01g; b:=maxf`+1;x0;:::;xn01gTravail individuel : sixn!`2R, montrer qu"il existeMtq jxnj M,8n Application : limite d"un produit
Proposition
Hypothèses
x n!`2Retyn!L2R Conclusion
x nyn!`L Application : limite d"un produit
Démonstration.
SoitMtqjxnj M,8n
Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
jxnyn`Lj=jxnynxnL+xnL`Lj jxnynxnLj+jxnL`Lj =jxnjjynLj+jxn`jjLj M"+jLj"= (M+jLj)"
On conclut grâce au principeC"
Application : continuité avec"Rappel
Sif:A!Retx2A, alorsfest continue enxssi
[(xn)A;xn!x] =)f(xn)!f(x) Application : continuité avec"Proposition
Hypothèses
f:A!R x2A Conclusion
fcontinue enxssi8" >0;9 >0 tq [y2A;jyxj< ] =) jf(y)f(x)j< " Application : continuité avec"Démonstration de "=)».Par l"absurde :9" >0 tq8 >0,9y2Atqjyxj<
etjf(y)f(x)j " Prenons unparticulier ::=1n
. Soity=yncomme ci-dessus Alors (1)yn2A,jynxj<1n
, et (2)jf(yn)f(x)j ", 8n De (1) et du principe du majorant, nous avons (3)
y n!x Sinn0("), (2) et (3) contredisentf(yn)!f(x)?
Application : continuité avec"Travail individuel Preuve de "(=». Voir notes de cours, Proposition 4.9, pp. 31-32
Caractérisation de la limite limy!xf(y)avec". Notes de cours, Proposition 6.1, p. 43 Quelques suites importantes
Suite arithmétique
x02R,xn:=xn1+a,8n1, aveca2Rconstante Terme général :xn=x0+na,8n0
Limite :xn!8
:1;sia>0 1;sia<0
x 0;sia=0
Quelques suites importantes
Suite géométrique
x 02R,xn:=q xn1,8n1, avecq2Rconstante
Terme général :xn=x0qn,8n0
Limite six0=1 :xn!8
>>:0;si11;siq=1 1;siq>1
n"existe pas;siq 1 Quelques suites importantes
Calcul de lim
n!1xnPourq0, voir feuille 4 TD Si1Siq=1, alorsx2n!1 etx2n+1! 1. On conclut
grâce à l"absence de recollement Raisonnement analogue siq<1 : nous avons
quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
Application : principe du majorant
Principe du majorant
Hypothèses
j xn`j Cyn,8n yn!0,C>0 constanteConclusion
x n!`Démonstration.Soit" >0
Soitn0tqjynj=yn< ",8nn0
Alorsjxn`j On conclut grâce au principeC"
Principe du majorant
Exercice d"application
On a lim
n!11+2sinn2n =0Solution. On a 1+2sinn2n
0=j1+2sinn2jn
31n
On applique le principe du majorant avecyn:=1n
et C=3 Principe du plus grand desn0Principe du plus grand desn0Si la propriété (P1) est vraie pournn1, et si la propriété
(P2) est vraie pournn2, alors les propriétés (P1) et (P2) sont vraies (en même temps) pournn0, où n 0:=maxfn1;n2g
Application : limite de la somme
Proposition
Hypothèses x
n!`2Retyn!L2R Conclusion x
n+yn!`+LDémonstration. Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
j(xn+yn)(`+L)j=j(xn`) + (ynL)j jxn`j+jynLj< "+"=2" On conclut grâce au principe 2"
Application : théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes
Hypothèses
ynxnzn yn!`2R,zn!`(même`) Conclusion
x n!`Il existe des variantes de ce résultat si`=1ou`=1 (voir feuille d"exercices no 4) Application : théorème des gendarmes
Démonstration.
Soit" >0. Soientn1;n2tq
jyn`j< ";8nn1etjzn`j< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
`" D"oùjxn`j< ",8nn0
On conclut grâce au principeC"
Principe du majorant
Exercice d"application
On a lim
n!11+2sinn2n =0Solution. On a1+2sinn2n
0=j1+2sinn2jn
31nOn applique le principe du majorant avecyn:=1n
et C=3Principe du plus grand desn0Principe du plus grand desn0Si la propriété (P1) est vraie pournn1, et si la propriété
(P2) est vraie pournn2, alors les propriétés (P1) et (P2) sont vraies (en même temps) pournn0, où n0:=maxfn1;n2g
Application : limite de la somme
Proposition
Hypothèses x
n!`2Retyn!L2RConclusion x
n+yn!`+LDémonstration.Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
j(xn+yn)(`+L)j=j(xn`) + (ynL)j jxn`j+jynLj< "+"=2"On conclut grâce au principe 2"
Application : théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes
Hypothèses
ynxnzn yn!`2R,zn!`(même`)Conclusion
x n!`Il existe des variantes de ce résultat si`=1ou`=1 (voir feuille d"exercices no 4)Application : théorème des gendarmes
Démonstration.
Soit" >0. Soientn1;n2tq
jyn`j< ";8nn1etjzn`j< ";8nn2Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
`"Application : recollement
Formulation vague
Si une suite(xn)" se casse » en plusieurs sous-suites, toutes avec la même limite`, alorsxn!` L"hypothèse clé est que`ne dépend pas de la sous-suiteApplication : recollement
Voici une formulation rigoureuse d"un cas particulier de recollementPropositionHypothèses
(x'(n))et(x (n))sous-suites de(xn) Tout entiermest soit de la forme'(n), soit de la forme (n). Càd :8m2N;9n2Ntq soitm='(n);soitm= (n)
x'(n)!`etx (n)!`(même`)Conclusion
x n!`Application : recollement
Exemples
Six2n!`etx2n+1!`(même`), alorsxn!`
alorsxn!`Travail individuel : reprendre, dans le poly sur le sup, l"exercice sur la suite(zn)donnée par z n:=112 +13 14 +:::+ (1)n+11n ;8n1; et montrer que(zn)convergeApplication : recollement
Preuve si`2R.Soit" >0. Soientn1,n2tq
jx'(n)`j< ";8nn1etjx (n)`j< ";8nn2Soitn0:=maxf'(n1); (n2)g
Soitmn0. Soitntqm='(n)oum= (n)
Sim='(n), alorsnn1. De même : sim= (n),
alorsnn2 Dans les deux cas :jxm`j< ",8mn0Travail individuelExaminer les cas où`=1ou`=1
Etudier le cas de plusieurs sous-suites. Notes de cours,Poroposition 5.16, p. 40
Principe du"particulierPrincipe du"particulierUne propriété vraie pour tout"est vraie pour des valeurs
particulières de"Application : une suite convergente est
bornéePropositionUne suite convergente est bornée
Càd : sixn!`2R, alors9a;b2Rtqaxnb,8n
Application : une suite convergente est
bornéeDémonstration. On prend"=1 dans la définition de la convergence.Soitn0tqjxn`j<1,8nn0
On a donc`1 On obtientaxnb, avec
a:=minf`1;x0;:::;xn01g; b:=maxf`+1;x0;:::;xn01gTravail individuel : sixn!`2R, montrer qu"il existeMtq jxnj M,8n Application : limite d"un produit
Proposition
Hypothèses
x n!`2Retyn!L2R Conclusion
x nyn!`L Application : limite d"un produit
Démonstration.
SoitMtqjxnj M,8n
Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2 Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
jxnyn`Lj=jxnynxnL+xnL`Lj jxnynxnLj+jxnL`Lj =jxnjjynLj+jxn`jjLj M"+jLj"= (M+jLj)"
On conclut grâce au principeC"
Application : continuité avec"Rappel
Sif:A!Retx2A, alorsfest continue enxssi
[(xn)A;xn!x] =)f(xn)!f(x) Application : continuité avec"Proposition
Hypothèses
f:A!R x2A Conclusion
fcontinue enxssi8" >0;9 >0 tq [y2A;jyxj< ] =) jf(y)f(x)j< " Application : continuité avec"Démonstration de "=)».Par l"absurde :9" >0 tq8 >0,9y2Atqjyxj<
etjf(y)f(x)j " Prenons unparticulier ::=1n
. Soity=yncomme ci-dessus Alors (1)yn2A,jynxj<1n
, et (2)jf(yn)f(x)j ", 8n De (1) et du principe du majorant, nous avons (3)
y n!x Sinn0("), (2) et (3) contredisentf(yn)!f(x)?
Application : continuité avec"Travail individuel Preuve de "(=». Voir notes de cours, Proposition 4.9, pp. 31-32
Caractérisation de la limite limy!xf(y)avec". Notes de cours, Proposition 6.1, p. 43 Quelques suites importantes
Suite arithmétique
x02R,xn:=xn1+a,8n1, aveca2Rconstante Terme général :xn=x0+na,8n0
Limite :xn!8
:1;sia>0 1;sia<0
x 0;sia=0
Quelques suites importantes
Suite géométrique
x 02R,xn:=q xn1,8n1, avecq2Rconstante
Terme général :xn=x0qn,8n0
Limite six0=1 :xn!8
>>:0;si11;siq=1 1;siq>1
n"existe pas;siq 1 Quelques suites importantes
Calcul de lim
n!1xnPourq0, voir feuille 4 TD Si1Siq=1, alorsx2n!1 etx2n+1! 1. On conclut
grâce à l"absence de recollement On obtientaxnb, avec
a:=minf`1;x0;:::;xn01g; b:=maxf`+1;x0;:::;xn01gTravail individuel : sixn!`2R, montrer qu"il existeMtq jxnj M,8nApplication : limite d"un produit
Proposition
Hypothèses
x n!`2Retyn!L2RConclusion
x nyn!`LApplication : limite d"un produit
Démonstration.
SoitMtqjxnj M,8n
Soit" >0. Soientn1,n2tq
jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors
jxnyn`Lj=jxnynxnL+xnL`Lj jxnynxnLj+jxnL`Lj =jxnjjynLj+jxn`jjLjM"+jLj"= (M+jLj)"
On conclut grâce au principeC"
Application : continuité avec"Rappel
Sif:A!Retx2A, alorsfest continue enxssi
[(xn)A;xn!x] =)f(xn)!f(x)Application : continuité avec"Proposition
Hypothèses
f:A!R x2AConclusion
fcontinue enxssi8" >0;9 >0 tq [y2A;jyxj< ] =) jf(y)f(x)j< "Application : continuité avec"Démonstration de "=)».Par l"absurde :9" >0 tq8 >0,9y2Atqjyxj<
etjf(y)f(x)j "Prenons unparticulier ::=1n
. Soity=yncomme ci-dessusAlors (1)yn2A,jynxj<1n
, et (2)jf(yn)f(x)j ", 8nDe (1) et du principe du majorant, nous avons (3)
y n!xSinn0("), (2) et (3) contredisentf(yn)!f(x)?
Application : continuité avec"Travail individuel Preuve de "(=». Voir notes de cours, Proposition4.9, pp. 31-32
Caractérisation de la limite limy!xf(y)avec". Notes de cours, Proposition 6.1, p. 43Quelques suites importantes
Suite arithmétique
x02R,xn:=xn1+a,8n1, aveca2RconstanteTerme général :xn=x0+na,8n0
Limite :xn!8
:1;sia>01;sia<0
x0;sia=0
Quelques suites importantes
Suite géométrique
x02R,xn:=q xn1,8n1, avecq2Rconstante
Terme général :xn=x0qn,8n0
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>>:0;si11;siq>1
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