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Resolution par radicaux
Daniel PERRIN
Ce texte reprend le theme d'un TER (Travail d'
Etude et de Recherche
de master) pose a Orsay en 2006. Je me suis appuye sur la redaction deGwendoline Deveaux, que je remercie ici.
Dans ce TER, on utilise un peu de theorie de Galois. Les rudiments en sont rappeles dans l'annexe 1.Table des matieres
1 Introduction historique 2
2 Groupes resolubles 4
2.1 Les denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Extensions radicales, extensions resolubles 6
3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Les denitions principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Le theoreme de Galois 10
4.1 L'enonce du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 La preuve du theoreme, le sens direct . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 Le sens reciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Exemple 1 : l'equation de degre 3 17
5.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 La resolvante de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3 le calcul des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.4 Que faisait Cardan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.5 Retrouver le calcul du discriminant . . . . . . . . . . . . . . . 20
15.6 Le cas \irreductible" de l'equation de degre 3 . . . . . . . . . 20
6 Exemple 2 : l'equation de degre 4 22
6.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.2 La resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.3 Le calcul des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.4 Le calcul du groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Un probleme sur les equations de degre528
7.1 Le groupeD5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2 La resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3 Calcul du groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4 Un exemple d'equation resoluble . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8 L'equation generale de degren31
8.1 L'equation generique de degren. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.2 L'equation generale de degren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9 Annexe 1 : un peu de theorie de Galois 34
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.2 Le groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.3 Cl^oture normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.4 Separabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.5 Le theoreme de l'element primitif . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.6 Le theoreme de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10 Annexe 2 : Discriminant 40
10.1 Denition et propriete caracteristique . . . . . . . . . . . . . . 40
10.2 Calcul du discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1 Introduction historique
Sur ce theme, on pourra consulter [1] et [2].
Jusqu'au XIX-ieme siecle, la resolution des equations algebriques, c'est- a-dire des equations polynomialesanxn+an1xn1++a1x+a0= 0, est pratiquement synonyme d'algebre. Sans doute la resolution des equations de degre 1 est-elle connue depuis la nuit des temps, m^eme s'il faut attendre les mathematiciens arabes pour la formuler en termes d'equations et de manipulations (le motal-jabrdesigne d'ailleurs le passage d'un membre a l'autre d'une equation). Les Babyloniens savent, sur des exemples, resoudre des equations du second degre et des equations bicarrees. C'est aussi le cas 2 des Grecs, avec des methodes geometriques, et des Arabes. Ces derniers detiennent en substance la formule avec la racine carree du discriminant. Le plus important progres ensuite a lieu au debut du XVI-ieme siecle avec la resolution, par les algebristes italiens (Scipion del Ferro, Tartaglia, Cardan) de l'equation du troisieme degre par les formules dites maintenant de Cardan, par exemple pour l'equationx3+ax=b: x=3sb 2 +r b2 2+a3 3+3sb 2 r b2 2+a3 3: Cette expression, qui fait intervenir des racines carrees et cubiques est l'objec- tif de ce qu'on appelle uneresolution par radicauxde l'equation proposee, sujet qui constitue l'objet essentiel de ce texte. Dans la foulee de ces travaux, Ferrari, un eleve de Cardan parvient a resoudre en 1545 les equations de degre 4 en les ramenant a des equations de degres 2 et 3. C'est aussi en etudiant le cas \irreductible" de l'equation de degre 3 que Bombelli invente les imaginaires. Des lors, les mathematiciens (notamment Leibniz) tentent de passer aux degres plus grands, sans succes. Deux autres themes sont a signaler : le lien entre coecients et racines, reconnu par Viete et le fait qu'un polyn^ome de degrenadmettenracines (eventuellement multiples, eventuellement imaginaires) annonce par Girard, demontre par D'alembert (avec une preuve incomplete) et denitivement etabli par Gauss. En 1770, deux memoires, l'un de Lagrange et l'autre de Van der Monde reprennent le cas des equations de degre4, en expliquant1le succes des methodes des italiens et cette analyse conduit a penser que les m^emes methodes ne peuvent fonctionner en degre plus grand. C'est Abel qui montre en 1826 que l'equation generale de degre 5 ne peut ^etre resolue par radicaux apres des tentatives incompletes de Runi (1799) et de Cauchy (1815). Mais c'est a Galois que revient le merite d'achever ce travail en introduisant le groupe (de permutation des racines) qui porte son nom et qui permet de donner un critere pour qu'une equation soit resoluble par radicaux. Le but de ce texte est de montrer le theoreme de Galois qui fait le lienquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] addition de radicaux
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