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Mathématiques en Première ES

David ROBERT

2007-2008

Sommaire

Progression1

1 Second degré3

1.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3

1.2 Trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4

1.2.1 Définition, forme développée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Forme canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Racines et discriminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.4 Forme factorisée, signe d"un trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Fonction trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5

1.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5

1.3.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6

1.5 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1.5.2 Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 7

Devoir surveillé n°1 : Second degré9

2 Généralités sur les fonctions11

2.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11

2.2 Rappels sur la notion de fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Définition, vocabulaire et notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Ensemble de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Comparaison de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Égalité de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Comparaison de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Opérations sur les fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 Opérations algébriques sur les fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.2 Fonctions associées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Variations d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 15

2.5.2 Variations def+g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.3 Variations def+k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.4 Variations dekf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 16

Devoir surveillé n°2 : Généralités sur les fonctions23

Devoir maison n°1 : Pourcentages25

3 Pourcentages27

3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 27

3.1.1 Qu"est-ce qu"un pourcentage?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.2 Taux et pourcentage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Techniques de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28

3.3 Changement d"ensemble de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Pourcentage d"évolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1 Activité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 30

SOMMAIREPremière ES - 2007-2008

3.4.2 Quelques propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31

3.5 Indices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 32

Devoir surveillé n°3 : Pourcentages35

4 Systèmes d"équations et d"inéquations37

4.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 37

4.2 Bilan et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 42

Devoir surveillé n°4 : Pourcentages - Indices - Systèmes45

5 Nombre dérivé47

5.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 47

5.2 Nombre dérivé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 48

5.3 Interprétation graphique du nombre dérivé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4 Approximation affine d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 50

Devoir surveillé n°5 : Systèmes - Nombre dérivé53

6 Fonction dérivée57

6.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 57

6.2 Fonction dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 58

6.3 Fonctions dérivées des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4 Opérations sur les fonctions dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.5 Dérivée des fonctions de la formef(x)=g(mx+p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.6 Variations d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.7 Extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 60

6.8 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.8.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 60

6.8.2 Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 66

Devoir surveillé n°6 : Fonction dérivée69 iv http://perpendiculaires.free.fr/

Progression

MoisSemIntitulé du chapitre

Sept1Second degré (3 sem)

2 3

4Généralités sur les fonctions (3 sem)

Oct5 6

7Pourcentages (3,5 sem)

8

Vacances d"automne du sam 27 oct au jeu 8 nov

Nov9 (3 j)

10

11Systèmes (2 sem)

12

Déc13Nombre dérivé (3 sem)

14 15

Vacances de Noël du sam 22 déc au lun 7 jan

Jan16Quartiles - Écart-type (3 sem)

17 18

19Généralités sur les suites (3 sem)

Fév20

21

Vacances d"hiver du sam 16 fév au lun 3 mar

Mars22Fonction dérivée (3 sem)

23
24

25Probabilités (3 sem)

Avr26 27

Vacances de printemps du sam 12 avr au lun 28 avr

Mai28Suites arithmétiques et géométriques (3 sem) 29
30

31Comportement asymptotique (3 sem)

32

Juin33

1

Chapitre 1Second degréSommaire

1.1 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3

1.2 Trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4

1.3 Fonction trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5

1.4 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 6

1.5 Exercices et problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Activités

Activité 1.1.1. Soitfla fonction carré. Dresser le tableau de variation defet déterminer son minimum et les solu-

tions de l"équationf(x)=0.

2. Soitfla fonction définie surRparf(x)=(x+3)2.

... ... (a+3)2... (b+3)2car .........

Doncfest ............ sur .............

(b) En procédant de la même manière, déterminer le sens de variation defsur l"intervalle ]-∞;-3].

(c) Dresser le tableau de variation defpuis en déduire le minimum de la fonction et les solutions de l"équation

f(x)=0.

3. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer ses variations et dresser son tableau de variation, déterminer

son extremum et les éventuelles solutions de l"équationf(x)=0.

•f(x)=(x-1)2

•f(x)=(x+2)2-1•f(x)=(x-0,5)2+2

•f(x)=3-(x+1)2

Activité 1.2.1. Soitfetgles fonctions définies surRparf(x)=x2+6x+5 etg(x)=(x+3)2-4. (a) Montrer que pour tout réelx,f(x)=g(x). (b) En déduire le tableau des variations defet son extremum.

(c) En déduire les éventuelles solutions de l"équationf(x)=0 et le signe defselon les valeurs dex.

2. Mêmes questions avec les fonctionsfetgsuivantes :

•f(x)=2x2-x-1 etg(x)=2?

x-1 4? 2 -98

•f(x)=-x2+2x-4 etg(x)=-(x-1)2-3

•f(x)=4x2+4x+1 etg(x)=4?

x+1 2? 2

Activité 1.3 (Cas général).

Soitfla fonction définie surRparf(x)=ax2+bx+coùa,betcsont des réels. On appellera cette forme, laforme

développée.

Les activités précédentes ont montré que lorsqu"on pouvait obtenirf(x) sous la formef(x)=α(x+β)2+γoùα,βet

γsont des réels, alors on pouvait en déduire les variations def, son extremum, les solutions éventuelles de l"équation

f(x)=0 et le signe def(x) selon les valeurs dex. On appelera cette forme, laforme canonique.

On cherche dans cette activité à obtenir les valeurs deα,βetγdans le cas général.

3

1.2 TrinômePremière ES - 2007-2008

1. En développant la forme canonique, montrer queα,

βetγsont les solutions du système :

?a=α b=2αβ c=αβ2+γ2. En déduire que : ?α=a

β=b

2a

γ=-b2-4ac

4a

1.2 Trinôme

1.2.1 Définition, forme développée

Définition 1.1.On appelletrinômetoute expression qui peut s"écrire sous la formeax2+bx+coùa,betcsont des

réels eta?=0. Cette forme s"appelle laforme développéedu trinôme.

1.2.2 Forme canonique

Théorème1.1.Tout trinôme ax2+bx+c peut s"écrire sous la formeα(x+β)2+γoùα,βetγsont des réels. Cette forme

s"appelle laforme canoniquedu trinôme.

Preuve.L"activité

1.3a montré queα=a,β=b2aetγ=-b2-4ac4a.♦

Remarque.Pour alléger les écritures, et parce que cette quantité auraun rôle important plus tard, on notera :

Δ=b2-4ac.

La forme canonique devient alors :

ax

2+bx+c=a?

x+b 2a? 2 -Δ4aavecΔ=b2-4ac

1.2.3 Racines et discriminant

Définitions 1.2.Soit un trinômeax2+bx+c. On appelle : •racinedu trinôme tout réel solution de l"équationax2+bx+c=0; •discriminantdu trinôme, notéΔ, le nombreΔ=b2-4ac. Propriété 1.2.Soit ax2+bx+c un trinôme etΔ=b2-4ac son discrimant. •SiΔ<0, alors le trinômen"a pas de racine. •SiΔ=0, alors le trinôme aune unique racine: x0=-b 2a. •SiΔ>0, alors le trinôme adeux racines: x1=-b+?

2aet x2=-b-?

2a

Remarques.•Le signe deΔpermetdiscriminerles équations de typeax2+bx+c=0 qui ont zéro, une ou deux

solutions, c"est la raison pour laquelle on l"appelle lediscriminant1. x

0laracine doubledu trinôme.

Preuve.On a vu queax2+bx+c=a?

x+b 2a?

2-Δ4a=a?

x+b2a?

2-Δ4a2?

donc (E):ax2+bx+c=0?? x+b2a?

2-Δ4a2=0

•Si-Δ

4a2>0 alorsax2+bx+cest égal à la somme de deux quantités positives (la seconde strictement) donc

ax

2+bx+c>0 et (E) n"a pas de solution. Or-Δ

4a2>0?Δ4a2<0?Δ<0.

•Si-Δ

4a2=0 alorsax2+bx+c=a?

x+b2a?

2doncax2+bx+c=0??

x+b2a?

2=0?x+b2a=0?x=-b2a. (E) a une

unique solution. Or-Δ

4a2=0?Δ=0.

•Si-Δ

4a2<0 alorsax2+bx+cest de la formea(A2-B2) donc :

ax

2+bx+c=0?(A2-B2)=0??

x+b 2a?

2-Δ4a2=0??

x+b2a+? 4a2?? x+b2a-? 4a2? donc deux solutions :

1Discriminer.v. tr.Faire la discrimination, c"est-à-dire l"action de distinguer l"un de l"autre deux objets, ici des équations

4 http://perpendiculaires.free.fr/

Première ES - 2007-20081.3 Fonction trinôme

1.x=-b2a-?

4a2=-b2a-?

Δ?4a2=-b2a-?

2|a|.

Donc, sia>0,x=-b-?

2aet, sia<0,x=-b+?

2a.

2.x=-b

2a+?

4a2=-b2a+?

Δ?4a2=-b2a+?

2|a|.

Donc,sia>0,x=-b+?

2aet, sia<0,x=-b-?

2a. Donc, dans tous les cas,Ea deux solutions qui sontx1=-b+?

2aetx2=-b-?

2a. Or-Δ4a2<0?Δ4a2>0?Δ>0.

1.2.4 Forme factorisée, signe d"un trinôme

Propriété 1.3.Soit ax2+bx+c un trinôme.

•Si le trinôme a deux racines x1et x2alors ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). •Si le trinôme a une racine x0alors ax2+bx+c=a(x-x0)(x-x0)=a(x-x0)2. •Si le trinôme n"a pas de racine, il n"a pas de forme factorisée. Cette écriture, lorsqu"elle existe, est appeléeforme factoriséedu trinôme. Preuve.On a obtenu les formes factorisées dans la démonstration précédente.♦

Propriété 1.4.Soit ax2+bx+c un trinôme.

•Si le trinôme n"a pas de racine, ax2+bx+c est strictement du signe de a pour tout x. •Si le trinôme a une racine, ax2+bx+c est strictement du signe de a pour tout x?=-b

2aet s"annule en-b2a.

•Si le trinôme a deux racines x1et x2, ax2+bx+c est : ·strictement du signe de a quand x?]-∞;x1[?]x2;+∞[; ·strictement du signe opposé de a quand x?]x1;x2[;

·s"annule en x1et en x2.

On peut aussi énoncer cette propriété de la façon synthétique suivante :

Propriété 1.5.Un trinôme ax2+bx+c est du signe de a sauf entre les racines, si elles existent.

Preuve.On a vu queax2+bx+c=a??

x+b 2a? 2 -Δ4a2?

•Dans le cas oùΔ<0,?

x+b 2a?

2-Δ4a2est la somme de deux quantités positives, la seconde strictement, donc le

signe deax2+bx+cest strictement celui dea.

•Dans le cas oùΔ=0,ax2+bx+c=a?

x+b 2a?

2, donc le signe deax2+bx+cest celui dea. Plus précisement : il

ne s"annule qu"enx0=-b

2aet est sinon strictement du signe dea.

•Dans le cas oùΔ>0,ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) oùx1etx2sont les racines. En supposant quex1 il suffit d"inverser les racines), le tableau de signe ci-desous donne le résultat. x -∞x1x2+∞ (x-x1)-0+ + (x-x2)- -0+ (x-x1)(x-x2)+0-0+ ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)signe dea0 signe de-a0 signe dea

1.3 Fonction trinôme

1.3.1 Définition

David ROBERT5

1.4 BilanPremière ES - 2007-2008

1.3.2 Sens de variation

Propriété 1.6.Soit f(x)=ax2+bx+c une fonction trinôme. Alors f a les variations résumées dans les tableaux ci-

dessous :

•Si a>0:

x-∞-b2a+∞ f -Δ4a

•Si a<0:

x-∞-b2a+∞ f -Δ4a

Preuve.La preuve sera admise dans le cas général même si elle est du même type que lescas particuliers déjà vus dans

les activités.♦

1.4 Bilan

Un bilan des principales propriétés vous est proposé sous forme de tableau de la présente page.

TAB. 1.1 - Bilan du second degré

Δ=b2-4ac

Δ<0Δ=0Δ>0

ax2+bx+c=0 n"a pas de solution dansRax2+bx+c=0 a une solution :x0=-b 2a ax2+bx+c=0 a deux solutionsx1=-b-? 2aet x

2=-b+?

2a ax2+bx+cn"a pas de racineax2+bx+ca une racine doubleax2+bx+ca deux racines Aucune factorisationax2+bx+c=a(x-x0)2ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Sia>0

Oxy-b2aOxy

x 0=-b 2a Oxy -b2a

××x1x2

ax2+bx+c>0 surRax2+bx+c≥0 surRquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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