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Le nombre d"or

Alexandre CAMBAKIDIS

30 Juin 2017

Table des matières

1 Introduction 2

2 Quelques propriétés préliminaires 3

3 Propriétés générales du nombre d"or 6

4 Géométrie du nombre d"or 7

5 L"arithmétique du nombre d"or 13

1

1 Introduction

Le nombre d"or est une des curiosités mathématiques les plus connues de par son aspect mystique, mais également car il apparait dans beaucoup de domaines mathématiques comme la géométrie et l"arithmétique. Le nombre d"or fut remarqué dans l"antiquité par le mathématicienEuclide. Il y fait référence dans le livre VI desÉlements d"Euclide. Le nombre d"or y est défini géométriquement comme un rapport de longueur par la formulation suivante : "Une droite est dite être coupée en Extrême et Moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit.». Si on considère deux segments de longueursaetb, alors on peut traduire cette définition par "aest àbce quea+best àa» C"est à dire : a+ba =ab On démontrera par la suite que ce rapport est unique. Au Moyen-Âge,Leonardo Pisano, plus connu sous le nom deFibonacci, pu- blia son livreLiber Abacidans lequel il traite divers problèmes mathématiques. En s"appuyant sur les travaux d"Al-Khawarizmiet d"Abu Kamil, deux mathémati- ciens arabes du VIIIè et IXè siècles, il y démontre notamment que le nombre d"or est l"unique solution positive de l"équationx2=x+ 1, soit l"équation du second degré x

2-x-1 = 0. Il introduisit également la célèbre suite de Fibonacci, très liée au

nombre d"or. Cependant ce lien ne sera établi que plus tard. Cet ouvrage apporta une nouvelle vision du nombre d"or, mettant en évidence certaines de ses propriétés arithmétiques. En 1498Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit "De divina proportione» (" La divine proportion » ) illustré parLéonard De Vinci. Dans cet ouvrage, il considère que le nombre d"or a des propriétés esthétiques et montre qu"il se retrouve dans le domaine de l"architecture et de la peinture. Au XIXè siècle, le philosophe et professeur allemandAdolf Zeising(1810-1876) renforça la dimension mystique du nombre d"or. En effet il étudia bon nombre d"oevres architecturales et picturales où apparaissent le nombre d"or, le plaçant en symbole d"harmonie confirmant ainsi la preuve d"esthétisme établie parPacioli. Il fut également le premier à introduire le terme de "section dorée». C"est à cette même époque que le scientifiqueWilhelm Friedrich Benedict Hofmeisterétablit des liens entre le nombre d"or et la phyllotaxie (arrangement des feuilles sur une plante), confortant les idées de Zeising. L"appellation " nombre d"or » fût définitivement adoptée en 1932 suite à la publication du livre du même nom par le mathématicien roumain Matila Ghyka. Il s"inspire des travaux d"Adolf Zeisinget se fonde sur le pentagone pour renforcer l"idée de beauté et d"harmonie de celui-ci (Nous verrons en quoi dans le développement de l"article). 2

2 Quelques propriétés préliminaires

Dans l"ensemble de l"article, on noteraNl"ensemble des entiers naturels,Zl"an- neau (totalement) ordonné des entiers relatifs,Ql"anneau (totalement) ordonné des rationnels,Rle corps (totalement) ordonné des réels etCle corps des complexes. Nous travaillerons uniquement en géométrie euclidienne. Théorème 2.1(Division euclidienne dansZ).Soientaetbdeux entiers relatifs avecb?= 0. Alors il existe un unique couple(q,r)?Z2tels que : On appelle l"entierqlequotientde la division euclidienne deaparbet l"entier rlerestede la division euclidienne deaparb. Démonstration.-Dé montronsl"existence d"un tel couple. Supp osonstout d"ab ord queb >0. On considère l"ensembleA={n?Z|nb > a}. L"entier (|a|+1)best un multiple debqui est strictement plus grand quea. En effet : (|a|+ 1)b >|a|b>|a|>a On a doncA?=∅. Montrons queAest minoré par-|a|: Soitm?Z. Si m <-|a|alors, commeb>1: mb <-|a|b6-|a|6a et doncm /?A. Soitnle plus petit élément deA. Posonsq=n-1, alors qb6a < qb+b. D"où06a-qb < b. Sir=a-qbalors : a=bq+ret 06r < b=|b| Supposons maintenant queb <0. D"après le premier cas, il existe q et r tels quea= (-b)q+ravec 06r <|b|En écrivanta=b(-q) +r. On remarque que le couple(-q,r)convient. Mon tronsmain tenantl"unicité de ce couple. Supp osonsqu"il existe un autre couple(q?,r?)tel que : a=bq?+r?avec 06r?<|b| On a alorsbq+r=bq?+r?. Alorsb(q-q?) =r?-r. Or-|b|< r?-r <|b|et -|b|< b(q-q?)<|b|. Il en résulte alors que06|b| |q-q?|<|b|. On simplifie et on obtient06|q-q?|<1. Commeqetq?sont des entiers alorsq-q?l"est

également. On a donc|q-q?|= 0. Cela implique queq=q?etr=r?.Définition 2.2(Diviseur).Soientaetbdeux entiers relatifs. On dit quebdivisea

si il existe un entier relatifqtel quea=bqi.e le reste de la division euclidienne de aparbest nul. Définition 2.3(racine d"un polynôme).Soitαun nombre complexe. SoitP=aX2+ bX+cun polynôme à coefficient complexe. On dit queαest une racine dePsi aα

2+bα+c= 0

3 Théorème 2.4(Discriminant d"un polynôme de degré deux).Soienta,b,ctrois réels aveca?= 0. On considère l"équation du second degré aX

2+bX+c= 0(1)

On poseΔ =b2-4ac. On l"appellera par la suitele discriminantdu polynôme.

Alors :

Si Δ>0l"équation (1) a exactement deux solutions réelles : X

1=-b+⎷Δ

2a X

2=-b-⎷Δ

2a Si Δ = 0l"équation (1) a exactement une solution réelle :

X=-b2a

Si Δ<0l"équation (1) n"a pas de racines réelles. Démonstration.On cherche les solutions de (1). On factorise para: a X 2+ba X+ca

On force la factorisation :

a

X+-b2a?

2 -?b2a? 2 +ca On multiplie le numérateur et le dénominateur de ca par4a: a

X+b2a?

2 -b24a2+4ac4a2)

En posantΔ =b2-4acon obtient :

a

X+b2a?

2 -Δ4a2)

On sépare maintenant les cas.

Si Δ>0, on remarque que l"équation est sous la formea(

X+b2a?

2 2a? 2)

On factorise :

a

X--b-⎷Δ

2a??

X--b+⎷Δ

2a?? Commea?= 0, on a donc bien deux racines distinctes égales à-b±⎷Δ 2a 4 -Si Δ = 0, alors : a?

X--b2a?

2 Commea?= 0, on a donc bien une seule racine égale à-b2a-Si Δ<0, alors : a(

X+b2a?

2 -Δ4a2) >0

Et donc ne s"annule pas.Proposition 2.5.Soientaun complexe etP(X)un polynôme à coefficient com-

plexe. Alorsaest une racine dePsi et seulement siX-adiviseP. Démonstration.-O nsupp oseque aest une racine deP. On écrit la divi- sion euclidienne deP(X)parX-a,P(X) = (X-a)Q(X) +R(X)avec deg(R(X))< deg(X-a) = 1. Or commeaest une racine dePalors

P(a) = 0Q(a) +R= 0, doncR= 0et(X-a)divise bienP.

O nsupp osemain tenantque X-adiviseP(X). On a doncP(X) = (X- a)Q(X). Si on évalueP(X)enaalorsP(a) = 0Q(a) = 0et doncaest donc

bien une racine deP(X).Théorème 2.6(relation coefficient racine dans un polynôme de degré deux).Soit

P=X2+bX+cun polynôme de degré deux unitaire (i.ea= 1) avecb,cdes réels. Soientαetβces deux racines complexes. On a alors-b=α+βetc=α×β Démonstration.αetβsont les racines dePdoncX-αetX-βdiviseP. Or commePest unitaire et de degré deux alorsP= (X-α)(X-β). En développant on obtientP=X2-X(α+β)+αβ. Or commeP=X2+bX+c, par identification

on en déduit-b=α+βetc=αβ.On supposera dans la suite de cet article que tout les triangles considérés ont des

sommets distincts. Définition 2.7.SoientABCetA?B?C?deux triangles. Ces deux triangles sont dit Proposition 2.8.Deux triangles sont semblables si et seulement si ils ont deux angles et une longueur en commun. Démonstration.SoientABCetA?B?C?deux triangles. On suppose que[BAC= \B?A?C?et que[ABC=\A?B?C?. On suppose que(AB) = (A?B?). On effectue une ou plusieurs isométries(symétries, rotations, translations) pour obtenirA=A?. Comme les isométries conservent les angles et les longueurs on a queB??ABetC??AC. Comme(AB) = (A?B?)alorsB=B?. Or deux angles[BACet[ABCsont respecti- vement égaux comme la sommes des angles d"un triangle est égale àπon obtient que [ACB=\A?C?B?et donc queABCetA?B?C?sont semblables. Le raisonnement est analogue si on suppose égales d"autres longueurs ou d"autres angles.5 Dans la proposition suivante, nous travaillerons sur des angles non-orientés. Proposition 2.9.La somme des angles d"un triangle est égale àπ. Démonstration.SoitABCun triangle quelconque. On prolonge les côtés(AB)et CB, soitDun point de(AB)différent deBtel queAD > ABetEun point de (CB)différent deBtel queCE > CB. SoitFun point de la droite parallèle àAC passant parBmais différent de celui-ci tel que\FBDsoit aigu. SoitF?un point de cette même droite différent deBtel que\F?BDsoit obtus. Les angles[ACBet\CBF sont égaux comme alternes-internes. Les angles [CABet\FBDsont aussi égaux ainsi que les angles [ABCet\EBD. Donc, la somme des trois angles[ABC,[ACBet[CAB du triangle est égale à la somme des trois angles adjacents [ABC,\CBFet\FBD ainsi formés sur la ligne droiteAD. Or la somme des trois angles formés est égale à l"angle plat, soitπ, la somme des trois angles du triangleABCest donc égale àπ. On effectue un raisonnement analogue en remarquant que les angles [ACBet\F?BE sont égaux, ainsi que [CABet\ABF?.ABC •E•F •F ?•D Définition 2.10.Une hauteur d"un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

3 Propriétés générales du nombre d"or

Lemme 3.1.Le polynômex2-x-1possède une unique racine positive. Démonstration.On calcul le discriminant de ce polynômeΔ = (-1)2-4×1×(-1) =

5. Le discriminant est positif doncx2-x-1possède exactement deux racines réelles

αetβ. Or par la relation coefficient racine, commeα×β=-1alors ces deux racines

sont de signe différents. Et doncx2-x-1possède une unique racine positive.Définition 3.2.Lenombre d"orest l"unique racine positive?dex2-x-1.

Proposition 3.3.On a?=1 +⎷5

2 Démonstration.On a vu que le discriminant dex2-x-1est égal à5. On calcule les racines de ce polynôme. x

1=1 +⎷5

2 6 et x

2=1-⎷5

2 La fonction racine carrée étant par définition toujours positive, on en déduit donc quex1>0etx2<0car les deux racines sont de signes opposés. Il en résulte que x

1=1 +⎷5

2 est l"unique racine positive de ce polynôme. On a donc?=1 +⎷5 2 .Proposition 3.4.Soienta,bdeux réels positifs non nuls. Siab =a+ba alorsab

Démonstration.On supposeab

=a+ba . Alorsab =ba +1. En multipliant parab on a ?ab

2= 1+ab

. Ce qui ce réécrit?ab 2-ab -1 = 0. Doncab est racine dex2-x-1.

Or commeaetbsont tout deux positifs, alorsab

l"est également. Doncab est l"unique racine positive de ce polynôme, soit?.Proposition 3.5.On a?2=?+ 1et?= 1 +1? Démonstration.Comme?2-?-1 = 0, alors?2=?+ 1et en divisant par?, ?= 1 +1? .Proposition 3.6.Soientaetbdeux réels positifs distincts tels queab =ba-b. Alors ab =?et06a-b < b

Démonstration.On supposeab

=ba-b. Si on multiplie para-bb , alors(a-b)ab

2-1 = 0.

On développe

a2-abb

2-1 = 0. Et donc?ab

2-ab -1. Commeaetbsont deux réels positifs alors ab >0et doncab =?. Or? >1donc06a-b < b.Proposition 3.7.?est irrationnel.

Démonstration.SoitA=?

b?N,?a?N,?=ab . SiA=∅alors?est irrationnel. Supposons queAsoit non vide. Alors commeAest une partie non vide deNil existe un plus petit élément. Notonsbce plus petit élément. On a donc?=ab . Or ?=ab =ba-bet06a-b < b, c"est une contradiction. L"ensembleAest donc vide et?est donc un nombre irrationnel.4 Géométrie du nombre d"or

Triangles d"or et d"argent

Définition 4.1.Untriangle d"or(ou triangle sublime ou triangle d"or aigu) est un triangle isocèle dont le rapport des côtés à la base est égal à?. 7

Exemple de triangle d"or :

ABC 1?? Définition 4.2.Untriangle d"argent(gnomon d"or ou triangle d"or obtus) est un triangle isocèle dont le rapport des côtés à la base est égal à1?

Exemple de triangle d"argent :ABC

?11 Une propriété cruciale des triangles d"or et d"argent est qu"il est possible de les couper en deux autre triangles, l"un d"or et l"autre d"argent. Lemme 4.3.SoitABDun triangle d"or, il existe un pointCsur un des côté de ABDtel queABCest un triangle d"argent etBCDun triangle d"or. SoitABCun triangle d"argent il existe un pointEsur les côtés du triangleABCtel queACE soit un triangle d"or etBCEun triangle d"argent.

Démonstration.Soientaetbaveca > btel queab

=a+ba . SoitABDun triangle d"or tels queAetBsoient situés à une distanceal"un de l"autre etBetDà une distanceb. SoitC?[AD]tel queAC=bet soitE?[AB]tel queAE=b. Les deux trianglesACEetADBsont semblables (car tous deux isocèles de même sommet). CommeBD=bon aCE=a-b? carba-b=ab . OrCD=a-betACE etABDsont semblables, l"angle[ACEest égal à\ADB. Enfin, commeBD=ACles deux trianglesACEetBCDdisposent de deux côtés et d"un angle égaux, ils sont donc semblables. Le triangleACEétant semblable au triangle d"orABD, c"est un triangle d"or ainsi que le triangleBCDen proportionab avec le triangle initial. Le triangleBCDétant d"or, on aBC=BD=b. On a alorsCEBC =a-bb =ba =1?

BCEest donc bien un triangle d"argent.

8 ABD C Eabb Proposition 4.4.Un triangle d"or possède deux angles de2π5 et un deπ5 , et un triangle d"argent de deux angles de π5 et d"un angle de3π5 Démonstration.SoitABDun triangle d"or. SoitCun point de[AD]tel queACB soit un triangle d"argent etCDBun triangle d"or. Soitθ,μetνles angles respec- tivement formés par \DAB,[ACBet\DCB. Le lemme précédent nous affirme que le triangleABCest isocèle de sommetC. Donc l"angle\DCBest égal au double de l"angle [CABsoitν= 2θ. D"autre part, le triangle\BCDétant aussi un triangle d"or, il est isocèle de sommetB. Ses angles sontθ,2θ,2θ. La somme des angles valantπ, on a5θ=π, soitθ=π5 . Il vient alors queν= 2θ=2π5 puis queμ=π-ν=3π5 .ABD C

θ=π5μ=3π5

Pentagone régulier et pentagramme

Définition 4.5.Un pentagone régulier est un polygone à cinq côtés de même lon- gueur. Le pentagone régulier est très lié au nombre d"or. En effet il est possible de construire un pentagone régulier à partir de proportion d"or. On verra par la suite que l"on peut faire apparaître un grand nombre de triangle d"or et d"argent à l"intérieur de celui-ci. Méthode de construction : Soita,baveca > bdeux réels positifs tels queab SoitAun point du plan. On considère un cercleCde rayona. SoitOun point deC. SoitC?un cercle de rayonbet de centreO. On noteP4etP3les intersections deCet C ?. SoitC??un cercle de centreOet de rayona+b. Les cerclesCetC??se croisent en deux points cara+b <2a. On note alorsP2etP5les deux intersections deCetC??. 9 On noteP1l"intersection différente deOde(OA)etC. Les pointsP1,P2,P3,P4et P

5forment un pentagone. Justifions maintenant que ce pentagone est régulier. Pour

cela il suffit de montrer que si deux sommets sont consécutifs, alors leur angle avec le centre du cercle est de2π5 . On sait déjà de par notre construction que\P4AP3=2π5 En effet ceci est une conséquence du fait que les pointsP4etP3sont définis comme l"intersection du cercle de centreOde rayonbavec le cercle de centreAet de rayon a, on a doncOP3=OP4=betOA=AP3=AP4=a. Les trianglesP4AOet OAP3sont donc d"or, les angles\P4AOet\OAP3font donc chacunπ5 , ce qui permet de conclure. Intéressons-nous maintenant au triangleP4AP5. Par construction, la distance entreOetP5est égale àa+b, celle entreOetAainsi que celle entreAet P

3est égal àa. On en déduit que le triangleOAP2est un triangle d"argent. L"angle

OAP5fait donc3π5

. Comme l"angle\P4AOfaitπ5 et comme\OAP5=\OAP4+\P4AP5 alors on en déduit que \P4AP5=2π5 . Pour le triangleP5AP1il suffit de remarquer que \OAP4+\P4AP5+\P5AP1=π, soitP5AP1=π-2π5 -π5 =2π5 . On effectue un raisonnement analogue pour les deux autres angles et on obtient que les diagonales du pentagone inscrit dansCforment des angles identiques, ce qui implique que P

1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P1. Le pentagone ainsi tracé est donc bien un

pentagone régulier.OA••C C ?C ??P

1•

P

2•P

3•P

4•P

5•

10 Si on trace toutes les diagonales du pentagone régulier on obtient un pentagramme : ABCD E On remarquera que l"on peut trouver de nombreux triangles d"or et d"argent à l"intérieur de celui-ci.

Rectangle et spirale d"or

Définition 4.6.Un rectangle d"or est un rectangle dont le rapport du plus grand côté au plus petit est égal à?.

Exemple de rectangle d"or :ABDC

1 Lemme 4.7.SoitABCDun rectangle d"or. Il existeEetF, deux points du rec- tangle tel queADEFsoit un carré etBCEFsoit un rectangle d"or. Démonstration.SoitABCDun rectangle d"or de longueuraet de largeurb. Soit Ele point de[DC]tel queDE=b. SoitFle point de[AB]tel queAF=b. AlorsAFEDest un carré de côtébetFBDEest un rectangle de longueurbet de largeura-b. Orab =ba-b=?carABCDest un rectangle d"or. DoncFBDEest

également un rectangle d"or.11

ABDCE Fb aba-bb Si l"on découpe un rectangle d"or à l"infini, on appelle spirale d"or la succession de quarts de cercle dont le rayon est égal au côté de chacun des carrés, avec pour centre leur sommet respectif.spirale réalisée par Andrew Mertz sur http ://www.texample.net Remarque.-On r etrouveé galementc ettemême spir alelorsque l"on dé coupe

à l"infini un triangle d"or.

I ls"agit en r éalitéd"un c asp articulierde spir alelo garithmique,d"é quation polairer(θ) =ρ?2θπ thème que nous n"aborderons pas ici.

Trigonométrie

Proposition 4.8.On acos?π5

=?2 Démonstration.SoitABCun triangle d"argent dont la base est égale à?. On trace sa hauteur principale. On noteIl"intersection entre cette hauteur et la baseAB. CommeABCest un triangle d"argent alors l"angle[IACest égal àπ5 , commeCIA est rectangle enIet que la somme des trois angles du triangleAICest égale àπ, 12 on a [ICA=π-π5 -π2 =3π10 =3π5 2 . CommeABCest isocèle, alorsIest au milieu du segment[AB]. On a donccos?π5 =AIAC =?2 1 =?2 .ABC I? 2? 211

5 L"arithmétique du nombre d"or

Définition 5.1.Soitn?N. Unefraction continue(infinie) est une suite non vide (an)dont le premier termea0est un entier relatif et tous les termes suivant sont des entiers strictement positifs. Laréduited"indicep, avecp6n, d"une fraction continue est le rationnel[a0,a1,...,ap]défini par[a0] =a0,[a0,a1] =a0+1a

1, ...

[a0,a1,...,ap] =a0+1[a1,...,ap].

Proposition 5.2.On a?= 1 +11 +

11+

11+...

Démonstration.Soit(an)la fraction continue définie par récurrence paran+1= 1 +1a naveca0= 1. Sin?N, celle-ci est bien définie car elle laisse l"ensemble des réels invariant. On considère la propriétéHn:|an-?|6|1-?|? n. Au rang 0, on a |a0-?|=|1-?|=|1-?|?

0. Soitp6n, on supposeHpvraie. Montrons que

H n+1est également vraie.|an+1-?|=? 1 +1a n? 1 +1? ?????=|?-an|a n?. Or |?-an|a n?6? ????1-?? n? ????×1×1? =|1-?|? n+1. La conditionHn+1est donc vraie. Donc par récurrence,Hnest vraie pour tout entier natureln. Comme? >1,|1-?|? nconverge vers 0. Alors par l"inégalité précédente,|an-?|converge vers 0 et doncanconverge vers?.Remarque.-L efait que c ettefr actionsoit infinie montr eé galementque ?est un nombre irrationnel. En effet comme il s"agit d"une succession de divisions euclidiennes et que la fraction est infinie, cela signifie que?ne peut pas s"écrire sous la formepq avecpun entier relatif etqun entier non nul. 13 -On p eutdémontr erave cun r aisonnementtout à fait analo gueque ?=?1 + ?1 + ⎷1 +... Définition 5.3.Un suite de Fibonacci est une suite définie par récurrence par F n+2=Fn+1+Fn. Remarque.Cette suite est souvent utilisée en posantF0=F1= 1, ouF0= 0et F 1= 1. On a vu que le polynômex2-x-1possédait deux racines, une positive?=1 +⎷5quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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