[PDF] VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES

View - Download VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES

Previous PDF

Next PDF

UNIVERSIT LYON I

LICENCE (MATHMATIQUES PURES)VARIABLE COMPLEXE

EXERCICES et ANNALES

- 2003 - 2

Table des matieres

1 Holomorphie : proprietes elementaires 5

1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Considerations geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Series entieres 13

2.1 Disque de convergence et comportement au bord. . . . . . . . . . 13

2.2 Dveloppement en srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Thorme de Liouville et formule de Parseval . . . . . . . . . . . . . 15

3 Homographie et fonctions classiques 17

3.1 Les homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Les fonctions circulaires et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Le logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Les fonctions puissances non entieres . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Integrales curvilignes 23

4.1 Calculs explicites et majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Les lemmes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Primitives de fonctions holomorphes et indices 25

5.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

4TABLE DES MATIERES

6 Theoreme de Goursat et formules de Cauchy 29

6.1 Thorme de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 Formules de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.3 Analyticit des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Zeros des fonctions holomorphes, prolongement analytique et

principe du maximum 35

7.1 Zeros d'une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2 Principe du prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Points singuliers et fonctions meromorphes 43

8.1 Nature des singularites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.2 Fonctions meromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.3 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 Theoreme des residus 47

9.1 Le thorme des rsidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9.2 Le thorme de Rouch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chapitre 1

Holomorphie : proprietes

elementaires

1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy

Exercice 1.1.1SoitUun ouvert deCetf:U!C. On noteP=Q==m(f)les parties relle et imaginaire def. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes : (i)fest holomorphe surU. (ii) Pour toutz02U,fest direntiable enz0etDfz0estC-linaire. (iii) Pour toutz0=x0+iy02U,fest direntiable enz0et@f@y (z0) = i @f@x (z0)(par denition,@f@x (z0) =@P@x (x0;y0) +i@Q@x (x0;y0)et@f@y (z0) = @P@y (x0;y0) +i@Q@y (x0;y0)). (iv) Pour toutz0=x0+iy02U,fest direntiable enz0etfvrie les quations de Cauchy-Riemann, c'est dire que @P@x (x0;y0) =@Q@y (x0;y0) et@P@y (x0;y0) =@Q@x (x0;y0): b)Montrer que sifest holomorphe enz0=x0+iy02Ualors pour tout u2C, on aDfz0(u) =f0(z0)u. En dduire que : f

0(z0) =@P@x

(x0;y0) +i@Q@x (x0;y0)etJacfz0=jf0(z0)j2: 5

6CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

Exercice 1.1.2Les applications suivantes sont elles holomorphes sur un ouvert

UdeC? Si oui, calculer leur drive.

1.z7!z.

2.z7!zz.

3.z7!

4.z7! =m(z).

5.z7!z

3.

6.z7!zkpourk2Nx.

7.z7!zkpourk2Nx.

8.z7!ez:=ex(cosy+isiny)siz=x+iy.

Exercice 1.1.31. Soitf:C!Cdenie parf(x+iy) =x+ 2ixy. La fonctionfest-elle holomorphe surC?

2. Soitg:Cn f0g !Cdenie parg(x+iy) =xx

2+y2iyx

2+y2. La fonctiong

est-elle holomorphe surCn f0g? Exercice 1.1.4Soitfdnie surCparf(z) =jz2j. Dterminer l'ensemble des points deCou

1.fest direntiable.

2.fest drivable.

3.fest holomorphe.

Exercice 1.1.5 (Partiel 99)Soitf:C!Cla fonction dnie par : f(z) =e1=z4siz6= 0,

0siz= 0.

Dterminer les ensembles des points deCo

a)fest holomorphe; b)fest direntiable (comme application deR2dansR2);

1.1. HOLOMORPHIE ET CONDITIONS DE CAUCHY7

c)fadmet des drives partielles et ou les quations de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

Exercice 1.1.6Soitf:C!Cla fonction dnie par :

f(x+iy) =8 :xy(x+iy)x

2+y2six+iy6= 0,

0six+iy= 0.

Montrer quefn'est pas direntiable en0, mais possde des drives partielles qui satisfont les quations de Cauchy-Riemann en0. Exercice 1.1.7SoitUun ouvert connexe deC. Soitf:U!Cune fonction holomorphe. On noteP=1. Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes :

(a)fest constante surU. (b)Pest constante surU. (c)Qest constante surU.

2. En dduire que les assertions precedentes sont aussi quivalentes :

(d)fholomorphe surU. (e)jfjest constante surU. Exercice 1.1.8SoitUun ouvert connexe deCetf:U!Cune fonction holomorphe surU.

1. Montrer que sif(U)Ralorsfest constante.

2. Que peut-on dire defsi sa partie relle est holomorphe surU?

3. Mme question sijfjest holomorphe.

Exercice 1.1.9SoitUun ouvert connexe deCet soientfetgdes fonctions holomorphes surUtelles quef(z) +g(z)2Rpour toutz2U. Montrer qu'il existec2Rtel quef(z) =c+g(z)pour toutz2U.

8CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

Exercice 1.1.10SoitUun ouvert connexe deCet soientfetgdes fonctions holomorphes surUtelles quef(z)g(z)2Rpour toutz2U. On suppose aussi queg(z)6= 0pour toutz2U. Montrer qu'il existec2Rtel quef(z) =cg(z) pour toutz2U. Exercice 1.1.11Soitf:U7!Cune fonction holomorphe surUouvert connexe deC. On noteP=Dz6= 0. i)Montrer que s'il existe une constantek2Rtelle que8(x;y)2U, (P(x;y);Q(x;y)) =k, alorsfest constante surU. ii)Quelles sont les fonctions holomorphes surUdont l'image est incluse dans une droite du plan?; un cercle du plan? Exercice 1.1.12Soitf:U7!Cune fonction holomorphe surUouvert connexe deC. On noteP=1. Caractriser les fonctionsQ1:U!Rtelles queP+iQ1est holomorphe surU.

2. Trouver toutes les fonctionsf:C!Cholomorphes telles que

(a)P(x;y) =x2y2xy. (b)P(x;y) =x2y2x. (c)P(x;y) =yexcosyxexsiny. (d)Q(x;y) =x+y.

Soienta;b;c2RetP(x;y) =ax2+ 2bxy+cy2.

1.2. CONSID

ERATIONS GEOMETRIQUES9

1. Donner une condition necessaire et susante portant sura;b;cpour qu'il

existefholomorphe surCtelle que2. Si cette condition est remplie, determiner toutes les fonctionsfholomorphes surCtelles que0=r0exp(i0),(r0;0)2R+R. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes (i)fest drivable enz0. (ii) @f@ (z0) =ir0@f@r (z0): (iii) @P@r (r0cos(0);r0sin(0)) =1r 0@Q@ (r0cos(0);r0sin(0))et @P@ (r0cos(0);r0sin(0)) =r0@Q@r (r0cos(0);r0sin(0)) Les quations (ii) et (iii) sont appeles les quations de Cauchy-Riemann en coordonnes polaires. b)Application :On noteUle plan complexe priv de la demi-droitefz: Montrer quefest holomorphe surU. Calculerf(z)2. c)Trouver toutes les fonctionsfholomorphes surCtellesP=1.2 Considerations geometriques

Exercice 1.2.1SoitA=a b

c d un endomorphisme deR2. Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes :

10CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

(i) dtA>0et il existek2R+tel que pour tousu;v2Con a :hAu;Avi= k

2hu;vi;

(ii) il existe2Retk2R+tels que

A=kcosksin

ksin kcos (iii)a=detb=c; (iv) il existew2Ctel que pour toutu2Con a :Au=wu; (v)Aest la compose d'une rotation de centre 0 et d'angleet d'une homothtie de rapportk. (vi)AestC-linaire; (vii)A(i) =iA(1); Si dtA6= 0, ces conditions sont encore quivalentes : (viii)Aprserve les angles orients (dans ces conditions on dit queAest une similitude directe). Rappelons que siz1,z2sont deux lments deC, on appelle angle orient entre les vecteursz1,z2l'unique rel2[;[tel que : z

2jz2j=eiz1jz1j:

Exercice 1.2.21. SoitUun ouvert deCet soitf:U!Cune application dierentiable. Montrer que les assertions suivantes sont equivalentes : (a)fest holomorphe surUetf0(z)6= 0pour toutz2U.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] fonctions logarithmes et exponentielles exercices corrigés

[PDF] fonctions logiques exercices corrigés

[PDF] fonctions numériques exercices corrigés pdf

[PDF] fond d'éclaircissement coiffure

[PDF] fond d'oeil bébé 1 an

[PDF] fond d'oeil bébé prématuré

[PDF] fond d'oeil durée

[PDF] fond d'oeil nourrisson

[PDF] fond de carte empire byzantin

[PDF] fond de carte etats unis bac

[PDF] fond de carte monde

[PDF] fondation hassan 2 telephone

[PDF] fondation hassan ii pour les marocains résidant ? l'étranger

[PDF] fondation hassan ii rabat

[PDF] fondation konrad adenauer senegal