[PDF] Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe

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Anneeuniversitaire2006-2007

Premiereanneedel'

CFSdemathematiques

Mathematiquespourl'Ingenieur-S2

Analysecomplexe

EmmanuelPlaut

Tabledesmatieres

Introduction1

Tabledesmatieres

3Fonctionsanalytiques25

Ex.3.3:Simplicationdep

z2...................................39 uides...............43

4SeriesdeLaurent-Residus45

4.3.1IntegralesdutypeZ

+1 1 f(x)dx..............................49

4.3.2IntegralesdutypeZ

+1 1

4.3.3IntegralesdutypeZ

2 0

F(cos;sin)d..........................53

Tabledesmatieres

AProblemescorriges61

Bibliographie67

Introduction

pagecourantmars.

2Introduction

liorercedocument.

Nancy,le27fevrier2008.

EmmanuelPlaut.

Chapitre1

Derivabilitecomplexe

-Applicationsconformes

1.1Rappelsgenerauxsurlesnombrescomplexes

L'ensembledesnombrescomplexes

C=fx+iyavec(x;y)2R2g

(x+iy)+(x0+iy0)=(x+x0)+i(y+y0)(1.1) etdemultiplication (x+iy)(x0+iy0)=xx0yy0+i(yx0+xy0);(1.2) uninversedonnepar1 x+iy=xiyx2+y2:(1.3) i

2=1:(1.4)

z=xiy.Lanormeeuclidiennede R

2s'identieaumodulecomplexe

jzj=p zz=px2+y2;(1.5)

8z2C;1

z= z jzj2:(1.6) deseparation,8z2C;jzj=0()z=0;(1.8)

Onendeduit

8z;z02C;jzz0j

jzjjz0j :(1.10) delasection3.4: z=ei=(cos+isin) ou=jzj;=arg(z)estl'argumentdez:(1.11) argz2];]:(1.12)

Unerelationd'ordrexysurCdevrait^etrere

exive,

8x2C;xx;

antisymetrique,

8x;y2C;[(xy)et(yx)]=)(x=y);

ettransitive

8x;y;z2C;[(xy)et(yz)]=)(xz):

8x;y;z2C;xy=)x+zy+z;

etsacompatibiliteaveclamultiplicationque

8x;y;z2C;[(xy)et(0z)]=)xzyz:

8x2C;x0=)0x:

8x2C;0x=)0x2:

8x2C;x0=)0x2:

Doncsil'ordreetaittotal,

8x2C;(x0)ou(0x);

1.2.Denitionsetnotations5

1.2Denitionsetnotations

estdenie,nes'annulepas. deR2dansR, f(x+iy)=P(x;y)+iQ(x;y)

P(x;y)=Ref(x+iy);

Q(x;y)=Imf(x+iy):

UdeU,c'est-a-diresi

8>0;9r>0telque8z2Ujzj evidemmentondiraque (z)!0quandz!0 f(z)!lquandz!z0 si 3 f(z)l=(zz0):

8>0;9r>0telque8z2Ujzz0j rementavoir f(z(t))!lquandt!t0:

Parexemplelafonction

f(z)=f(x+iy)=(x+iy)3 x3+iy3;

Eneetf(t)!1quandt!0+

alorsquef(it)!1quandt!0+. 0tit

1.3Derivabilitecomplexe-Holomorphie

f(z)f(z0)=(zz0)(f0(z0)+(zz0))(1.14)

P(x;y)P(x0;y0)=axby+r(zz0)xi(zz0)y

enposantz0=x0+iy0;x=xx0;y=yy0. veriant(1.13)telleque @P peutecrireque5

P(x;y)P(x0;y0)=axby+1(zz0)jzz0j;

Q(x;y)Q(x0;y0)=bx+ay+2(zz0)jzz0j;

d'ou

Onpeutdoncenoncerla

@P @x=@Q@yet@P@y=@Q@x(1.18) Alors f0(z0)=a+ib=dfdz=@f@x=i@f@y(1.19) ouencoredf

4Lefaire,enre

5QuellenormedeR2at'onutiliseeici?

1.3.Derivabilitecomplexe-Holomorphie7

Mat =)r !f (x0;y0)= ab ba! :(1.21) section. considereecommeunefonctionde(z; z).Apartirde x=z+ z 2;y=z z 2i; z): @f @z=@f@x@x@z+@f@y@y@z=12 @f@x+i@f@y =12 a+ib+i(b+ia) =0:

Ainsifdoit^etreindependantede

doncserecrire @f @z=0()@f@x+i@f@y=0(1.22)

Ilestmaintenanttempsdedonnerla

les (f+g)0=f0+g0 (fg)0=f0g+fg0:(1.23) surU,dederiveecomplexe f g! 0 =f0gg0fg2:(1.24) composeegfestholomorphesurU,dederivee (gf)0(z)=g0(f(z))f0(z):(1.25) enzeroal'axereel: x y auxlignesQ(z)=constante. !rP !rQ =@P @x@Q@x+@P@y@Q@y=0:(1.26) (i)f0nes'annulepassurU; (iii)saderiveeestdonneepar f10(w)=1 f0(z)aupointw=f(z):(1.27)

1.4Lienentreholomorphieetconformite

Mat =)r !f (x0;y0)= cossin sincos! :(1.28) d'unerotationd'angle,d'oula

6VoirparexempleValiron(1966).

1.4.Lienentreholomorphieetconformite9

PSfragreplacements

OOf xxyy z 1(t)z 2(t) f(z1(t))f(z2(t)) !T 1! T 2 T0 1! T0 2 z T=dz dt(t0)=z0(t0); soitenrepassantenreels T x=x0(t0);Ty=y0(t0): santesreelles T 0x=d dtP(x(t);y(t))=@P@xx0(t)+@P@yy0(t); T 0y=d dtQ(x(t);y(t))=@Q@xx0(t)+@Q@yy0(t); cequitraduitmatriciellement !T0==)r !f !T: compositiondesderivees: T 0=d dtf(z(t0))=f0(z0)z0(t0)=eiT: 1;!T 2;!T0 1;!T0 2 \!T0 1;!T0 2 =\!T0 1;!T 1 +\!T 1;!T 2 +\!T 2;!T0 2 =+\!T 1;!T 2 \!T0 1;!T0 2 =\!T 1;!T 2 (1.29)

Onpeutdoncenoncerla

avecleursensaupointz0. U. lineairedematriceM= ab cd! a parb2:

Onendeduitla

saderiveenes'annulepassurU. (gure1.2):

0x,defoyerOetdedirectrice

x=2x2 0. x=2y20.

1.5.Exercicesetproblemes11

x y

1.5Exercicesetproblemes

problemes3.4et3.5.

Exercice1.1Limitesdansleplancomplexe

1Lafonctionf(z)=z3

x2+y4at'elleunelimitequandz!0?

2M^emequestionpourf(z)=xy

x+iy?

3Lafonctionf(z)=arctany

xadmet-elleunelimitequandz!iaoua2R? (1997);Valiron(1966).

Exercice1.2Derivabilitecomplexe

1f(z)=x2+y22f(z)=x2+iy23f(z)=x2y2+2ixy

4f(z)=x2+ixy5f(z)=x2+2ixy

Exercice1.3Classedefonctionsholomorphes

Csietseulementsif(z)=az+baveca2R;b2C.

Exercice1.5Reciproquedelaproposition1.5

estveriee:

1Ref(z)estconstante;

2Imf(z)estconstante;

3jf(z)jestconstante;

alorsfestconstantedansU.

Soitz7!f(z)unefonctionholomorphesurC.

1lafonctionz7!

f(z)est-elleholomorphe?

2etlafonctionz7!

f(z)? considereescommefonctionsderet: e

P(r;)=P(rcos;rsin);eQ(r;)=Q(rcos;rsin):

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