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M4 - OSCILLATEUR HARMONIQUE

I Mod`ele de l"oscillateur harmonique (O.H.)

I.1 ExemplesÜCf Cours

I.2 D´efinition

♦D´efinition :Unoscillateur harmonique`a un degr´e de libert´ex(X,θ, ...) est un syst`eme physique dont l"´evolution au cours du temps en l"absence d"amortissement et d"excitation, est r´egie par l"´equation diff´erentielle lin´eaire : (EOH)

¨x+ω20x= 0o`uω0est la pulsation propre.

Rq :On rencontrera cette situation en

´electricit´e pour un circuit s´erie contenant une inductanceL, une capacit´eCet une r´esistance R. Enr´egime libre, c"est `a dire sans excitation, et en l"absence d"amortissement (R= 0), la charge qaux bornes du condensateur v´erifie :

¨q+1

LCq= 0ÜCf CoursE4

L"importance du concept d"oscillateur harmonique vient dece qu"il d´ecrit le comportement g´en´eral d"un syst`eme `a un degr´e de libert´eau voisinage d"une position d"´equilibre stable. Donc, le mod`ele de l"oscillateur harmonique est tr`es utile pour un probl`eme unidimensionnelet une forceconservativequi ne d´epend que d"une variable x(ÜCf CoursM3) I.3 Description du mouvement de l"oscillateur harmonique •La solution g´en´erale de l"´equation diff´erentielle est : x(t) =Xmcos(ω0t+?) , avec : -ω0la pulsation propredu mouvement (enrad.s-1, -Xml"amplitude, -?la phase(`a l"origine des temps). •Xmet?sont d´etermin´es `a partir desconditions initiales(C.I.) : a)x(t= 0) =Xmcos?=x0 b) x(t= 0) =-Xmω0sin?= x0=v0. ♦D´efinition :Les oscillations d"un oscillateur harmonique sont purement si- nuso¨ıdales etla p´eriode propredes oscillations est :

T0=2πω0

LorsqueT0ne d´epend pas de l"amplitude des oscillations, on dit qu"il yaisochro- nismedes oscillations. Rq :On peut encore ´ecrirex=Xmcos?cosω0t-Xmsin?sinω0tou encore x=Acosω0t+Bsinω0t

M4I. Oscillateur Harmonique2008-2009

o`uAetBsont des constantes `a d´eterminer par les conditions initiales. Cette relation est parfois

pratique. En tenant compte desC.I.:

A=Xmcos?=x0etB=Xmsin?=-v0

ω0?x(t) =x0cos(ω0t) +v0ω0sin(ω0t)

Xm=⎷A2+B2=?x20+?v0ω0?

2 et tan?=-BA=-v0ω0x0avec cos?du signe dex0. I.4

´Energie(s) de l"oscillateur harmonique

♦D´efinition :(ÜCf CoursM3) L"Oscillateur Harmonique `a un degr´e de libert´ex´evolue dans unpuits parabolique d"´energie potentielle:

Ep(x) =Ep(0) +12kx2

Ceci revient `a dire que l"Oscillateur Harmonique est soumis `a uneforce conservative:

F(x) =-dEpdx=-kx

Cas du ressort vertical (cf. I.1) :

•Grˆace `a cette expression deF(x), on retrouve, bien entendu, l"´equation du mouvement de

l"Oscillateur Harmonique : m¨x=F(x)?¨x+ω20x= 0 avec :ω0=? k m

O`u"x»est la variable notant l"écart par rapport à la position d"équilibrede l"oscillateur harmo-

nique, soitX=x-xeqavecxeq=x0+mg k; d"où : E p=1

2kX2=12k?

(x-x0)-mgk?

2=12k(x-x0)2

E p,elast-mgx???? E p,g+Cste

ÜL"énergie potentielle de l"oscillateur harmonique est bien la somme de ses différentes formes

d"énergies potentielles.

Ici, il s"agit de l"énergie potentielle élastique(prise nulle enx=x0) et del"énergie potentielle de

pesanteur(prise nulle enx= 0), la Cste permettant de choisir l"origine de l"énergie potentielle totale enx=xeq. •ÜCf.Cours.

• La solution de l"équation différentielle étant de la formex=Xmcos(ω0t+?)et de périodeT0,

toutes les grandeursgdécrivant le mouvement sont également périodiques de périodeT0et leurs

valeurs moyennes sont définies par : < g >≡1T0? t t

0g(t)dtavect≡t0+T0ett0quelconque

ÜLa valeur moyenne des énergies cinétique et potentielle sont donc égale à : ≡1T0? T0 0E kdtet≡1T0? T0 0E pdt

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009II. Oscillateur HarmoniqueM4

...Cf.Cours...D"où : =1

4mw20X2m=14kX2m=14mw20X2m=14kX2m

On décrit cette égalité en disant qu"il y aéquipartition de l"énergie.

(Sous-entendu : l"énergie mécanique ,en moyenne, se répartit autant en énergie cinétique qu"en

énergie potentielle).

I.5 Portrait de phase d"un oscillateur harmonique

♦D´efinition :On appelleportrait de phased"un syst`eme `aun degr´e de libert´e, dont l"´evolution est d´ecrite par la variablex(t), un diagramme caract´eristiques des ´evolutions du syst`eme repr´esent´e dans leplan de phase(x,x)(ÜCf CoursM1).

• On a vu auI.4), pour leressortmodélisé par un oscillateur harmonique, que la conservation

de l"énergie mécanique (Intégrale Première du Mouvement) donne uneéquation du type : 1

2mx2+12kx2=Em=Cste soit, encore :x22Em

k+ x2 2Em m= 1 →On reconnaît l"équationx2 a2+x2b2= 1d"uneellipsede demi-axes : a=? 2Em k=? 2Em mω20selonxetb=?

2ω20Em

k=? 2Em mselonx. • L"ensemble des ellipses correspondant aux valeurs deEmpossibles constitue leportrait de phase del"oscillateur harmoniqueNON amorti et libre(non excité).

ÜCf.Cours

ÜCf.Poly: dans le cas du pendule simple, la modélisation de l"oscillateur harmoniqueest

valable lorsque le portrait de phase est assimilable à une ellipse. Ce qui est le cas pour les faibles

l g ellipses, il n"y a plus isochronisme des petites oscillations et on établit la formule deBorda: T?T0?

1 +α2

16? qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3

M4II. Oscillateur harmonique Spatial2008-2009

II Oscillateur harmonique spatial

Définition :On parle d"oscillateur harmonique spatiallorsque les équations décrivant l"évolution

du système peuvent se mettre sous la forme de 3 équations de la forme :???m¨x+k1x= 0 m¨y+k2y= 0 m¨z+k3z= 0x,y,zétant 3 variables indépendantes (par ex. les coordonnées cartésiennes)

De solution générale :

?x=Xmcos(ω1t+?1) y=Ymcos(ω2t+?2) z=Zmcos(ω3t+?3)avecω2i=ki mpouri= 1, 2, 3. Conclusion :Le mouvement se caractérise par desoscillationscorrespondant à3 oscillateurs harmoniques indépendants.

Exemple : Oscillateur Harmonique SpatialIsotrope

• Soit un point matérielMrepéré par le vecteur-→r=--→OMpar rapport à un pointOfixe du référen-

tiel d"étude (supposé galiléen). À la datet= 0, il a la position-→r0=---→OM0et une vitesse-→v0.

Il est soumis à la force-→F=-k-→r.

• LeP.F.D.s"écrit :md2-→r dt2=-k-→r, soit encore : d

2-→r

dt2+ω20-→r=-→0avec :ω20≡km

• La solution s"écrit :-→r=-→Acosω0t+-→Bsinω0t, où-→Aet-→Bsont des vecteurs à déterminer en

fonction desConditionsInitiales. →En utilisant :-→r(t= 0) =-→r0, on déduit :-→A=-→r0 →Avecd-→r

dt(t= 0) =--→A ω0sinω0t+-→B ω0cosω0t, on déduit :d-→rdt(t= 0) =-→v0=-→B ω0.

Finalement :

-→r=-→r0cosω0t+-→v0 ω0sinω0t, ce qui montre quele mouvement se fait dans leplan passant parOet déterminé par les directions de-→r0et-→v0.

• Définissons un repère en prenant l"axeOxsuivant-→r0et l"axeOydans le plan de la trajectoire.

En projetant l"équation de-→rsur les axes, on a :???x=r0cosω0t+v0x

ω0sinω0t

y=v0y ω0sinω0toùv0xetv0ysont les composantes de-→v0. →On obtient bien2 oscillateurs indépendants1.

•L"équation de la trajectoires"obtient en éliminant le tempstà l"aide de la relationsin2ω0t+

cos

2ω0t= 1.

On isole donc :?????sinω0t=ω0y

v0y cosω0t=x r0-yv0xr0v0yon a alors :? v20xr20v20y+ω20v20y? y

2+x2r20-2xyv0xr20v0y= 1

→Cl :La trajectoire est donc uneellipse centrée enO.

1. Le fait qu"il n"en apparaˆıt que 2 au lieu des trois attendus vient du choix judicieux du rep`ereOxypour

exprimer la trajectoire plane

4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009II. Oscillateur harmonique SpatialM4

Ce qui se voit bien dans le cas particulierv0x= 0où l"équation devient : x 2 r20+y2v20y

ω20= 1?x2

a2+y2b2= 1 aveca=r0etb=|v0y|

ω0.

OxyM0v

0r0 Qu"en est-t-il de l"énergie potentielle d"un oscillateur harmonique spatial?

Un raisonnement similaire au précédent (cf. §4) mais tenant compte, cette fois, des trois équations

scalaires du mouvement issues duP.F.D.conduit à : E m=?1

2mx2+12k1x2?

+?12my2+12k2y2? +?12mz2+12k3z2?

→Retenonsque l"énergie mécanique d"un oscillateur harmonique spatial est lasommedes éner-

gies mécaniques destroisoscillateurs harmoniques associés à sestroisdegrés de liberté.

On reconnaît l"énergie cinétique :Ek=1

2mx2+12my2+12mz2

et il apparaît l"énergie potentielle :Ep=1

2k1x2+12k2y2+12k3z2.

Cl :Un oscillateur harmonique spatial correspond donc à un point matériel soumis à uneforce conservative:

F≡ -?∂Ep

∂x? y,z-→ex-?∂Ep∂y? x,z-→ey-?∂Ep∂z? Et pour l"oscillateur harmonique spatial isotrope?

Ce qui précède est toujours valable bien sûr , puisque l"O.H.S.I. est un cas particulier d"O.H.S.

où la force de rappel est colinéaire au vecteur position :

F≡ -k-→r

=-kx-→ex-ky-→ey-kz-→ezce qui signifie :k1=k2=k3.

Ce qui revient à dire que l"énergie potentielle de l"oscillateur n"est fonction que de la distance

r=OMdu point matériel M au centre de forceO: E p=1

2kOM2=12kr2

Trajectoire d"un Oscillateur Harmonique Spatial Anisotrope : Lorsquek1,k2etk3ne sont pas tous identiques, la trajectoire peut être ouverte ou fermée :

±0.2

±0.1

0 0.1

0.2±0.8

±0.4

0 0.4

0.8±1

0123±0.2

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