[PDF] Énergie en mécanique Donner un exemple de force

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Mécanique

Chapitre 3

Énergie en mécanique

1 - Énergie cinétique

I Énergie cinétique, puissance et travail d'une force

II Théorème de l'énergie cinétique

a/ Instantané (th. de la puissance cinétique) b/ Forme intégrale (th. de l'énergie cinétique) III Force conservative et énergie potentielle

IV Théorème de l'énergie mécanique

1 - Dé

nition

2 - Puissance d'une force

3 - Travail d'une force

2 - Exemples d'énergies potentielles

a/ élémentaire : b/ entre A et B : >0 si force motrice, <0 si résistante. reliés par le TEC independant du chemin de A à B il existe telle que a/ Dé nition : b/ Théorème : Élastique (ressort) z

Pesanteur

Force de

gravitation Force

électrostatique

cf chapitre 4 cf chapitre 6

Forces

conservatives : il existe

Forces

non conservatives il n'existe pas d'énergie potentielle associée - Frottements avec l'air - Frottements avec un support

Forces

qui ne travaillent pas - réaction normale - tension d'un l n'interviennent pas dans ni dans les théorèmes (TEM, TEC)Ce qu"il faut connaître (cours : I) I

1Quelle est la définition de l"énergie cinétique d"une massemde vitesse~v?

I

2Quelle est la définition de la puissance d"une force?

I

3Quelle est la définition du travail élémentaire d"une force? (définition en fonction de la puissanceP, et définition en

fonction du déplacement élémentaire!dl) I

4Quelle est la définition du travail d"une force entre deux pointsAetB?(cours : II)

I

5Comment s"énonce le théorème de l"énergie cinétique? (donner la forme intégrale et la forme instantanée)(cours : III)

I

6Quelles sont les deux définitions d"une force conservative?

Donner un exemple de force conservative, et un exemple de force non conservative. I

7Quelle est l"expression de l"énergie potentielle de pesanteur?

Et celle de l"énergie potentielle élastique (force exercée par un ressort)? Mécanique chapitre 31 / 13Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023 I

8Comment s"exprime la force~Fen fonction de l"énergie potentielleEp(x)associée?(cours : IV)

I

9Comment s"énonce le théorème de l"énergie mécanique?

Dans quels cas l"énergie mécanique d"un point matériel est-elle conservée au cours du mouvement?

Ce qu"il faut savoir faire(cours : I)

I

10Identifier si une force est motrice, résistante ou si elle ne travaille pas.

I

11Calculer le travail d"une force sur un déplacement.!EC1,EC1bis(cours : II)

I

12Appliquer le théorème de l"énergie cinétique ou de la puissance cinétique.!EC2,TD I (cours : III)

I

13Distinguer force conservative et force non conservative.(cours : IV)

I

14Utiliser le théorème de l"énergie mécanique. Reconnaître les cas de conservation de l"énergie mécanique. Utiliser les

conditions initiales pour exprimerEm.!EC3,EC4,TD I, I I,I II,IV Exercices de coursExercice C1 - Calcul de travail et de puissance : ascension d"un cycliste

Un cycliste de massem= 80kg (vélo et équipement inclus) effectue l"ascension du Ballon d"Alsace (dénivelé de 700m).

1 -Calculer le travailWdu poids lors de cette ascension.

2 -Le cycliste roule en ligne droite à 15km/h sur une pente montante de 10% (donc avec un angle par rapport à

l"horizontale de= arctan(10=100)). Que vaut la puissance du poids? Commenter son signe. Comparer avec la puissance dégagée par le corps humain au repos qui est d"environ 100W.

Correction

1 -SoitAle point de départ etBcelui d"arrivée. Soitzun axe orienté vers le haut ethla hauteur de l"ascension.

Le poidsm~gest une force constante, donc :

W

AB(~P) =m~g!AB:

Or~g=g~ez. Et~ez!ABest la composante selonzdu vecteur!AB, donc~ez!AB=h. D"où W

AB(~P) =mg~ez!AB=mgh= 5;6105J:

2 -Faire un schéma. Puissance du poids :

P=~P~v=k~Pkk~vkcos(~P;~v) =mgvcos(+=2) =mgvsin:

L"AN donneP=330W.

Négatif car dans une montée, le poids est résistant. Le cycliste doit donc fournir cette puissance pour avancer. C"est

donc environ trois fois la puissance du corps humain au repos. Mécanique chapitre 32 / 13Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023 Exercice C1bis - Calcul de travail : frottements de l"air Une voiture va d"un pointAà un pointBdistants ded= 10km, en roulant avec une vitesse constante. On modélise les frottements dus à l"air par une force~F=~v(avecqui dépend dev, constant ici).

1 -Pour chacune des trajectoires ci-contre, donner l"expression du tra-

vail de la force de frottement lors de ce déplacement.A B cas 1 cas 2Correction

1 -WAB(~F) =

B

A~F!dl=

B A ~v!dl. Or~vet!dlsont toujours colinéaires, donc~v!dl=vdl. Commevest constante par hypothèse, on peut la sortir de l"intégrale :WAB(~F) =v B A dl. Or B

Adl=LAB, longueur du parcours deAàB(cf "notions mathématiques"). On a donc le résultat général :

W

AB(~F) =vLAB:

?Cas 1 :LAB=ddoncWAB(~F) =vd. ?Cas 2 :LAB=12 2d2 =d2 doncWAB(~F) =vd2 Exercice C2 - Application du théorème de l"énergie cinétique : glissade sans frottement

On considère un objet qui glisse sur un plan incliné d"un anglepar rapport à l"horizontale. On le modélise par un point

matérielMde massemglissant sans frottements. L"objet est lâché sans vitesse initiale, et on choisit le repère tel qu"à

tout instant,~v=v(t)~ex(cf schéma). Le référentiel du plan est supposé galiléen.

1 -Faire un bilan des forces et donner l"expression de la puissance de chacune

des forces, notamment en fonction dem,g,vet.

2 -En déduire une équation différentielle suivie par la composantevde la

vitesse. xy g

MCorrection

1 -Faire un schéma. Bilan des forces et calculs des puissances :

Réaction normale du supp ort

~N. On aP(~N) =~N~v= 0car~N?~v.

P oids

~P. On aP(~P) =~P~v=k~Pkk~vkcos(~P;~v) =mgvcos(=2) =mgvsin. (S"il y avait eu des frottements ~T, leur puissance ne serait pas nulle)

2 -Théorème de la puissance cinétique :dEcdt=P(~N) +P(~P)

ddt 12 mv2 =mgvsin )mv_v=mgvsin )_v=gsinMécanique chapitre 33 / 13Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023 Exercice C3 - Application du TEM sur le cas de la chute libre

On considère une massemen chute libre sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur~guniforme. On néglige tout

frottement et le référentiel d"étude est galiléen. On utilise un axezorienté vers le bas, avecz= 0initialement.

1 -Donner l"expression de l"énergie potentielle de pesanteur de la masse en fonction notamment dez.

2 -En appliquant le théorème de l"énergie mécanique, exprimer la vitesse de la masse après une chute d"une hauteurh.

Correction

1 -Ep=mgz.

2 -Bilan des forces : le poids. Toutes les forces sont conservatives, doncEm=cst.

Donc en notantAle point de départ etBle point d"arrivée, on aEm(A) =Em(B). OrEm(A) = 00 = 0(car la vitesse de départ est nulle, et carzA= 0par choix de l"origine de l"axe), etEm(B) =12 mv2Bmgh(carzB=h).

Ainsi,Em(A) =Em(B)donne0 =12

mv2Bmghet doncvB=p2gh:Exercice C4 - Application du TEM sur le cas du pendule simple

On considère un pendule dont toute la massemest localisée au pointM. Le fil reliantOàMest supposé inextensible et

de masse négligeable, on noteLsa longueur. On néglige tout frottement. On se place dans le référentiel terrestre supposé

galiléen. Le champ de pesanteur est~g=g~ezaveczaxe vers le bas etg'10m=s2constante.

1 -Donner l"expression de l"énergie cinétique de la massemen fonction des

coordonnées polaires du pointM.

2 -Faire de même pour l"énergie potentielle de pesanteur du pointM.

3 -Que peut-on dire du travail de la force de tension du fil?

4 -En appliquant le théorème de l"énergie mécanique, trouver une intégrale

première du mouvement, c"est-à-dire une quantité comprenant(t)et_(t) qui reste constante tout au long du mouvement.

5 -En déduire l"équation du mouvement, qui porte suret.Correction

1 -En polaires on a!OM=L~er, et en dérivant :~v=L_~e.

D"oùEc=12

mv2=12 m(L_)2=12 mL2_2.

2 -Avec un schéma on voit quez=Lcos.

L"énergie potentielle de pesanteur est doncEp=mgz=mgLcos.

3 -On a toujours~v?~Tdonc la tension du fil a une puissance et un travail nuls. Elle n"intervient pas dans les bilans

énergétiques.

4 -Toutes les forces sont conservatives (ou ne travaillent pas), doncEm=cst.

On a donc :Em=Ec+Ep=12

mL2_2mgLcos=cst:5 -On dérive :dEmdt= 0 12 mL2d_2dtmgLdcosdt= 0 12 mL22_+mgL_sin= 0 )L2+gLsin= 0 +gL sin= 0:On retrouve bien la même équation qu"au chapitre précédent. Mécanique chapitre 34 / 13Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023

Notions mathématiques

•Produit scalaire de deux vecteurs~uet~v: ~u~v=k~ukk~vkcos: •Intégrale d"une longueur élémentaire dlle long d"une courbeAB:B A dl=LAB oùLABest la longueur de la courbe deAàB. •Intégrale du déplacement élémentaire!dlle long d"une courbeAB: B

A!dl=!ABCours

I - Énergie cinétique, puissance et travail d"une force

1 - Énergie cinétiqueDéfinition : énergie cinétique

Soit un point matérielMde massemet de vitessev(en norme).

Son énergie cinétique est définie par :

E c=12

mv2;(unité SI : joule)Remarque :la vitesse dépend du référentiel, donc l"énergie cinétique également.

Mécanique chapitre 35 / 13Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023

2 - Puissance d"une force

Une force qui agit sur le pointMpeut, selon les cas, faire augmenter la vitesse deM, la faire diminuer, ou la laisser

constante (mais en changer la direction). L"outil qui permet de quantifier ceci est lapuissancede la force.Définition : puissance d"une force

Soit un point matérielMde vitesse~v, soumis à une force~F. La puissance de la force~Fest le produit scalaire des vecteurs force et vitesse :

P(~F) =~F~v

Unité SI : watt.

Ce sont des joules par seconde : la puissance donne donc le rythme auquel l"énergie est reçue par le système.

SiP<0, c"est que l"énergie n"est en fait pas reçue, mais produite par le système.Remarque :La vitesse dépend du référentiel d"étude, donc la puissance également.Propriétés

ISiP>0, on dit que la force estmotrice: elle a tendance à augmenter la norme de la vitesse. ISiP<0, on dit que la force estrésistante: elle a tendance à diminuer la norme de la vitesse. ISiP= 0, la force ne modifie pas la norme de la vitesse, mais éventuellement sa direction. C"est le cas si~v?~F.aa

Exemples :

1Indiquer dans chacun des cas ci-dessous le caractère moteur ou résistant de la force.

IUne bille en acier chute dans du glycérol.

Le liquide exerce une force de frottement

~f=~v.

Schéma.

~f~v=~v~v=v2<0donc la force est résistante. ILa bille précédente est également soumise au poids~P=m~g.

Schéma.

~P~v=m~g~v=mgv >0donc la force est motrice.

ILa Terre exerce sur la Lune une force d"attraction gravitationnelle~Fdirigée vers le centre de la Terre. La trajectoire

lunaire est en première approximation circulaire.

Schéma.

~F~v= 0donc la force modifie uniquement la direction de~v, mais pas sa norme.

3 - Travail d"une force

a/ Travail élémentaire d"une forceTravail élémentaire d"une force (définition 1)

Le travail élémentaire d"une force

~Fagissant pendant une durée infinitésimale dtest la puissance exercée par cette force multipliée par cette durée :

W(~F) =P(~F)dt

Unité SI : JouleIW >0pour une force motrice,W <0pour une force résistance.

SiW= 0, on dit que la force ne travaille pas.

Mécanique chapitre 36 / 13Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023

Remarque importante sur les notations :

On utilise deux notations pour les infiniments petits : d et.

IAvec d : la notation dfindique une différence de la fonctionfévaluée entre deux instants très proches ou deux

points très proches.

Exemples :

d f=f(M0)f(M)avecMetM0très proches, ou encore dg=g(t0)g(t)avectett0deux instants très proches. d test un temps élémentaire, ou infinitésimal, c"est-à-dire très court. C"est la différence entre deux instants très proches : dt= (t+dt)t. Nous a vonsdéjà vu le déplacemen té lémentaire !dl.

C"est bien la différence du vecteur!OM(t)entre deux instants très proches :!dl=!OM(t+dt)!OM(t) =!M(t)M(t+dt).

ILa notationest utilisée pour les cas où la quantité infinitésimale ne peut pasêtre vue comme la différence d"une

fonction entre deux instants ou deux points.

Exemples :

-Wne peut pas être vu comme la différence d"une fonction évaluée à deux instants très proches ou entre deux

points très proches. En effet, noter dWsignifierait que dW=W(M0)W(M)avecMetM0très proches, ce qui n"a aucun sens, puisque le travail n"est pas défini en un point donné, mais pour un déplacement.

Seconde expression du travail élémentaire :

W(~F) =~F~vdt=~F!dldtdt)W(~F) =~F!dlD"où la définition suivante : Travail élémentaire d"une force (définition 2)

Le travail élémentaire d"une force

~Fagissant pendant un déplacement!dlest le produit scalaire de la force et du déplacement élémentaire :

W(~F) =~F!dl:(Il faut retenir les deux définitions, équivalentes, du travail élémentaire.)

2Indiquer dans chacun des cas ci-dessous le caractère moteur ou résistant de la force.(correction : gauc he: moteur,

droite : résistant)b/ Travail d"une force le long d"un déplacement Lorsque le pointMeffectue un déplacement fini (par opposi- tion à élémentaire) entre deux pointsAetB, alors le travail total de la force ~Fest obtenu en sommant tous les travaux

élémentaires le long du déplacement.

Pour cela, on décompose la trajectoireABen une succession dendéplacements élémentaires!dli=!AiAi+1, et on somme : W

AB(~F) =X

iW

i=~F1!A1A2+~F2!A2A3+:::+~Fn1!An1AnaaaaaaaaaatrajectoireEn passant à la limite oùntend vers l"infini, la somme devient une intégrale :

W

AB(~F) =

B A W= B

A~F!dl:

(C"est similaire au cas du calcul de la valeur moyenne d"un signal à l"aide d"une intégrale : partie systèmes linéaires, chapitre 4.0

(signal), I.2.c.)

On retiendra donc :

Mécanique chapitre 37 / 13Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023

Définition : travail d"une force

Le travail d"une force

~Flors du déplacement du pointMentre les pointsAetBest : W

AB(~F) =

B A W= B

A~F!dl

L"intégrale s"effectue sur la trajectoire effectivement suivie.

Dans le cas où la force

~Fest constante au cours du mouvement, ceci se simplifie en : W

AB(~F) =~F!ABRemarque :Le travail (élémentaire ou non) dépend du référentiel, car la trajectoire du pointMen dépend.

Démonstration pour le cas de la force constante :

3Démontrer l"expressionWAB(~F) =~F!ABdans le cas où la force~Fest constante au cours du mouvement.

W

AB(~F) =

B

A~F!dl

~F B A!dl ~F!AB

Exemples

Deux exemples de calcul du travail d"une force : 4EC1(ascension d"un cycliste). 5EC1bis(frottements de l"air).

Le second exemple montre une propriété importante : pour un point de départAet un point d"arrivéeBfixés, le travail

d"une force entreAetBdépend en général du chemin suivi.

Mais pas toujours, par exemple dans le cas du poids, l"EC 1 montre que son travail ne dépend que de la différence d"altitude

entre départ et arrivée, pas du chemin suivi.

II - Théorème de l"énergie cinétique

Nous l"avons dit, l"action d"une force sur un point matérielMpeut faire varier sa vitesse : plus précisément, la puissance

d"une force ou son travail entraînent une variation de l"énergie cinétique (et donc dev2), selon le théorème suivant.

a/ Version instantanéeThéorème de l"énergie cinétique, version instantanée

Dans un référentiel galiléen, soit un point matérielM, d"énergie cinétiqueEcet soumis à une somme de forces que

l"on noteP~Fet dont la somme des puissances associées estPP(~F).

On a :

dEcdt=XP(~F):Ce théorème porte le nom de théorème de l"énergie cinétique (version instantanée), ou de théorème de la puissance

cinétique.b/ Version intégrale Mécanique chapitre 38 / 13Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023 Théorème de l"énergie cinétique, version intégrale Dans un référentiel galiléen, soit un point matérielM, allant d"un pointAà un pointB.

Alors sa variation d"énergie cinétique entreAetBest égale au travail de toutes les forces qui s"exercent sur le

point : E c;BEc;A=XW AB(~F):- On note aussiEcla variation entreAetB:Ec=Ec;BEc;A.

- Ce théorème porte le nom de théorème de l"énergie cinétique (version intégrale).Démonstrations :à suivre au tableau pour information, elles sont écrites dans la version complétée du poly, elles ne

sont pas à savoir refaire. Considérons un point matérielMde massem, soumis à un ensemble de forces que l"on noteP~F. L"étude est effectuée dans un référentiel galiléen. On applique le PFD au système massem:md~vdt=P~F.

On prend le produit scalaire par la vitesse~v:

m~vd~vdt=~vX~F ,m12 dv2dt=X~v~F ddt 12 mv2 =XP(~F) dEcdt=XP(~F):Passage de la ligne 1 à 2 :~vd~vdt=12 d~v~vdt=12 dv2dt

Ci-dessus nous avons démontré la version instantanée. Pour arriver à la version intégrale on l"intègre le long de la trajectoire

du pointAau pointB:dEcdt=XP(~F) B

AdEcdtdt=

B

AXP(~F)dt

)Ec;BEc;A=XB A

P(~F)dt

)Ec;BEc;A=XW

AB(~F):c/ Exemple d"utilisation

6Glissade sans frottement, faire l"EC2.

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