[PDF] Théorie du consommateur (2) - Paris School of Economics

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Marianne Tenand

marianne.tenand@ens.fr

Microéconomie 1

GpSMUPHPHQP G·pŃRQRPLH (16

2016 -2017

Théorie du consommateur (2):

Résolution analytique de la

demande 1

Questions fondamentales

ƒNous avons vu comment résoudre graphiquement le

SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp SMU OH

consommateur et en déduire la demande marshallienne

ƒObjectif du cours :

ƒDéterminer de manière analytique la demande

ƒSolutions intérieures et solutions en coin

ƒApplications numériques

ƒCaractériser certaines propriétés de la fonction de demande marshallienne ƒDéterminer les relations entre demande hicksienneet demande marshallienne 2

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒDef:6RLP XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp 8 XQ HQVHPNOH GHV RNÓHPV

X, un vecteur de prix p> 0 et un niveau de revenu

individuel Ri> 0. Le SURJUMPPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp sous contrainte budgétaire V·pŃULP maxx Ui(x) s.c.p.x" 5iet[ • 0 ƒOn note xi(p,Ri) la solutionG·XQ PHO SURJUMPPH HP RQ définit xi(p,R) la fonction de demande marshallienne : xi (p,R) = {arg[ • 0 [ B(p,R) [max Ui(x)], p > 0, R •0 } 3

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒDef: Dans le cadre du problème précédent, on appelle Lagrangien la fonction, notée L(.), définie comme suit:

L([zź) = U(x) ²zp.x²R) + źB[

Où zHP ź VRQP MSSHOpV OHV multiplicateurs de Lagrange associés respectivement aux contraintes: p.x" 5HP [ • 0 ƒIntuition : le multiplicateur de Lagrange représente la variation marginalede la valeur atteinte par la fonction objectif U suite à un desserrement marginal de la contrainte auquel il est associé ƒIl est parfois appelé prix implicite de la contrainte 4

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒDef: Les conditions de Kuhn et Tuckerassociées au Lagrangien L(x z ź) défini précédemment sont les suivantes :

1.˜I[zźC˜[ 0

2.˜I[zź)/˜z • 0

et˜I[zź)/˜ź • 0

3.z• 0

etź • 0

4.z(p.x²R) = 0

et źB[= 0 5

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒOn peut réécrire les conditions de Kuhn et Tucker ainsi :

1.˜I[ z źC˜[ 0٘8[C˜[ ²zSĄ ź 0

2.˜I[ z źC˜z • 0Ùp.x" 5 (contrainte n°1 =

contrainte budgétaire) et˜I[ z źC˜ź • 0Ùx• 0 (contraintes n°2 = contraintes de non-négativité)

3.z • 0

etź • 0

4.z(p.x²R) = 0

et źB[= 0 6

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒ1ercas possible :

ƒ1) Solutions intérieures : cas où x > 0 ; alors la condition [4] implique : ź 0 ƒRappel :lorsque x est de dimension k, ieque x=(x1, x2 " xk), x > 0 ÙSRXU PRXP Ó 1" N xj> 0

ƒLa condition [1] peut se réécrire :

˜U(x)/˜[ = zBS

AEComme x et p sont des vecteursGH GLPHQVLRQ N1 HP z est un scalaire, la condition [1] se réécrit comme : pour tout j = 1,.., k, ˜8[C˜xj= zSj 7

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒSolutions intérieures : ex. avec ŃMV G·XQ HQVHPNOH G·RNÓHPV avec deux biens seulement, xiet xj.

ƒIM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

˜8[C˜[i= zSi

˜8[C˜xj= zSj

Donc :

L ˜8[C˜xi] / pi z L ˜8[C˜xj] / pj

G·RZ

TMSij= L ˜U(x)/˜[i] / L ˜U(x)/˜xj] = pi/pj ƒ$ O·RSPLPXP OH 706 HQPUH OHV GHX[ NLHQV GRLP rPUH pJMO MX rapport de leurs prix

ƒRings a bell?

8

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒ2ème cas possible :

ƒ2) Solutions en coins : cas où pour un certain j, xj= 0 ;

ƒen revanche on ne peut pas neutraliser źj

ƒRappel ź HVP XQ vecteurde dimension (1,k)

ƒIM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP MORUV

˜8[C˜xj= zSj²źj

AEComme x et p sont des vecteursGH GLPHQVLRQ N1 HP z est scalaire, la condition [1] implique que : et˜8[C˜xj൑zSj(car źj൒0) 9

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒSolutions en coins : ex. avec cas G·XQ HVSMŃH G·RNÓHPV avec deux biens seulement, x1et x2, avec x1= 0.

ƒIM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

˜U(x)/˜x2= zS2

˜8[C˜[1= zS1-ź1

ƒGMQV OH ŃMV RZ RQ M ź1> 0 ("vraie» solution en coin, et pas tangence de la courbe G·XPLOLPp j OM GURLPH GH NXGJHP VXU XQ GHV M[HV

ƒOu encore :

L ˜8ݔכ)/˜x1] / p1 ƒInterprétation pPMQP GRQQpV OHV SUL[ GHV NLHQV O·XPLOLPp PMUJLQMOH SMU HXUR dépensé pour le bien 1 est plus faible TXH O·XPLOLPp PMUJLQMOH SMU HXUR GpSHQVp pour le bien 2, de sorte que le consommateur serait prêt à échanger GMYMQPMJH GX NLHQ 1 SRXU MYRLU GMYMQPMJH GH NLHQ 2" Mais il ne peut plus ! 10

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Signification du multiplicateur de Lagrange (solution intérieure) ƒ3RXU XQ ŃRQVRPPMPHXU OH PXOPLSOLŃMPHXU UHSUpVHQPH O·MXJPHQPMPLRQ PMUJLQMOH GH O·XPLOLPp LQGXLPH SMU OH UHOkŃOHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH SMU H[B XQH augmentation marginale du revenu) ƒOn peut le voir en définissant Vla IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH, qui pour tout YHŃPHXU GH SUL[ S HP QLYHMX GH UHYHQX 5 GRQQH OH QLYHMX G·XPLOLPp GRQQp SMU OH panier optimal (compte tenu de p et de R) : v(p,R) = U(x*) = U(x(p,R)) ƒ$ORUV HQ XPLOLVMQP OHV F32 GX SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp HP OM ORL GH

Walras, on peut montrer que :

˜Yp,RC˜5 z

ƒNB :GqV ORUV TXH OM ORL GH JMOUMV Q·HVP SMV UHVSHŃPpH GRQŃ TXH 8B Q·HVP SMV PRQRPRQH OH GHVVHUUHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH Q·MSSRUPH MXŃXQ VXSSOpPHQP G·XPLOLPp SXLVTXH OM ŃRQPUMLQPH Q·pPMLP SMV UpHOOHPHQP ŃRQPUMLJQMQPH RX ©binding»). Comme O·LQGLTXHQP OHV ŃRQGLPLRQV GH .XOQ HP 7XŃNHU RQ HVP NLHQ GMQV OH ŃMV RZ z 0 11

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒGénéralisation (1)

ƒFMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV XQH ŃRQPUMLQPH G·pJMOLPp maxU(x1" xk)s.c.g(x1" xk) = c ƒLa contrainte peut être une contrainte budgétaire, une contrainte de temps, etc. ƒIH IMJUMQJLHQ V·pŃULP L(x,z 8[ ²z(g(x) ²c)

Conditions de premier ordre (CPO) :

1.3RXU PRXP Ó 1" N ˜L(x,z)C˜xj= 0 ٘U(x)C˜xj= z ˜J[C˜xj

2.˜L(x,z)C˜z= 0 Ùg(x) = c (on retrouve la contrainte)

Exemple :6RLP O OH QRPNUH G·OHXUHV PUMYMLOOpHV SMU ÓRXU O OH QRPNUH G·OHXUHV GH ORLVLUV G OH QRPNUH G·OHXUHV GH VRPPHLOB 2Q VXSSRVH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp TXL GpSHQG GH O O HP G 8 Ih,l,d). Alors le pbde PM[LPLVMPLRQ SHXP V·pŃULUH Max U(h,l,d) s.c. h + l + d = 24 12

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒGénéralisation (2)

ƒFMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ sous P ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk) = ci pour i = 1,.., m ƒziest appelé le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte i

Conditions de premier ordre (CPO) :

2.3RXU PRXP L 1" P ˜L(x,zC˜zi= 0 Ùgi (x) = ci(on retrouve les m

contraintes) Exemple :FRQVLGpURQV OH ŃMV G·XQH YLHLOOH GMPH ULŃOH VMQV GHVŃHQGMQŃH TXL GRLP décider de la transmission de sa fortune, notée F. Son utilité dépendra des sommes

w, x, y et z versées à quatre fondations. Elle a juré à son défunt mari de léguer un

PLHUV GH OHXUV NLHQV MX[ GHX[ SUHPLqUHV IRQGMPLRQVB FRPPHQP V·pŃULP OH SURNOqPH de maximisation de Madame ? 13

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒGénéralisation (3)

ƒFMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV m ŃRQPUMLQPHV G·inégalité : maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk " Ńi pour i = 1,.., m ƒFRPPH SUpŃpGHPPHQP OH IMJUMQJLHQ V·pŃULP :

Conditions de premier ordre (CPO) :

2.3RXU PRXP L 1" P ˜L(x,z)/˜zi• 0 Ùgi(x) "ci(on retrouve les m

contraintes) Exemple :Soit un individu qui arbitre entre sa consommation c et son temps de ORLVLU I PRLQV LO SMVVH GH PHPSV j PUMYMLOOHU PRLQV LO M G·MUJHQP SRXU ŃRQVRPPHUB Chaque heure de travail est rémunérée à un salaire horaire net de 9 euros, et O·LQGLYLGX GRLP HIIHŃPXHU MX PLQLPXP 7 OCÓRXUB 6MŃOMQP TXH OM GXUpH G·XQH ÓRXUQpH

HVP GH 24O HP TX·LO M XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp 8 8c,L ŃRPPHQP V·pŃULP HP VH UpVRXP OH

pbG·RSPLPLVMPLRQ GH O·LQGLYLGX VMŃOMQP TX·LO PUMYMLOOH " 14

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒGénéralisation (4)

ƒVous pouvez imaginer toutes les combinaisons possibles : m contraintes de non-QpJMPLYLPp Q ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp N

ŃRQPUMLQPHV G·LQpJMOLPp HPŃB

ƒVous devez être capable de résoudre les différents types de

SURNOqPHV G·RSPLPLVMPLRQ

ƒEt au préalable, vous devez savoir poser le problème (!)

ƒPour vous aider :

ƒ4XHOTXHV VOLGHV GH V\QPOqVH VXU O·Optimisation statique ƒVademecumVXU O·RSPLPLVMPLRQ VRXV ŃRQPUMLQPHV pŃULP SMU

Julien Grenet

ƒLe cours de Mathématiques pour économistes 15

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

ƒ([HPSOH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp FRNN-Douglas En posant les conditions de K-T, déterminer la demande marshallienne associée aux préférences représentées par la

IRQŃPLRQ G·XPLOLPp VXLYMQPH

U(x1,x2) = x1ǂx2ǃ

Sachant que:

-LH ŃRQVRPPMPHXU QH SHXP ŃRQVRPPHU TX·XQH TXMQPLPp SRVLPLYH ou nulle des deux biens -Le revenu du consommateur est égal à 20 -Le prix du bien 1 est égal à 2 euros, et le prix du bien 2 à 3 euros La loi de Walras est-elle vérifiée ? La demande marshallienne est- elle homogène de degré 0 ? 16

2. Minimisation de la dépense et

dualité ƒLe problème de minimisation de la dépense (PMD) ƒF·HVP OH SURNOqPH V\PpPULTXH GH ŃHOXL GH OM PM[LPLVMPLRQ GH

O·XPLOLPp 308

ƒOn parle de dualitédu PMD et du PMU

ƒDef: Etant donné une fonction U, un ensemble de ŃRQVRPPMPLRQ ; XQ YHŃPHXU GH SUL[ S ! 0 HP XQ QLYHMX G·XPLOLPp

ŃRQPUMLQPH G·XPLOLPp V·pŃULP

Minxp.x

s.c.8[ • ഥܷ 17 ƒDef: le Lagrangienassociée au PMD est la fonction, notée L, définie comme suit : I[ z ź -S[ Ą z8[ ²ഥࢁ) + źB[

2Z z HP ź VRQP MSSHOpV OHV multiplicateurs de Lagrange associés

respectivement aux contraintes :

8[ •ഥܷ

ƒLes conditions de Kuhn et Tucker se posent de la même manière que pour le PMU ƒRappel : minimiserune fonction f revient à maximiserla fonction (²f)

2. Minimisation de la dépense et

dualité 18 ƒDef:On note h(p, ഥܷ OM VROXPLRQ G·XQ PHO SURJUMPPH RZ OS ഥܷ est la fonction de demande hicksienne h(p, ഥܷ

S[ 8[ • Ö` [min p.x]

ƒPropriétés : VRLP 8 XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp ŃRQPLQXH UHSUpVHQPMQP GHV préférences monotones. Alors pour tout p > 0, ഥܷ de demande hicksienneh(p, ഥܷ

ƒh(p, ഥܷ

ƒHomogénéité de degré 0 en p

ƒPour tout x

h(p, Ù), U(x) = ഥࢁSMV G·©excèsª G·XPLOLPp ƒSi les préférences sont strictement convexes alors h(p, ഥܷ ŃRQVPLPXp G·XQ uniqueélément pour p et ഥܷ

2. Minimisation de la dépense et

dualité 19 ƒDef:La fonction de dépense, notée e(p, ഥࢁ) est la grandeur p.x*, où x* est une solution du programme de minimisation de la dépense (PMD) ƒEquivalent dans le PMU : la IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH v(p,R) ƒSi les préférences sont monotones et continues, la fonction de dépense est :

ƒHomogène de degré 1en p

ƒStrictement croissante en ഥܷ

ƒNon-décroissante enpjpour tout j

ƒConcaveen p

ƒContinueen pet en ഥܷ

2. Minimisation de la dépense et

dualité 20

ƒLa dualité

ƒOn peut montrer que, si U représente des préférences monotones et continues, on a les propriétéssuivantes : ƒSi x* est solution au PMU (avec R > 0), alorsx* est solution au

30G ORUVTXH OH QLYHMX G·XPLOLPp j MPPHLQGUHഥܷ

ƒDe plus, le niveau de dépenses (minimum) atteint par le

PMD est exactement égal à R : e(x*) = R

ƒSi x* est solution au PMD (avec ഥܷ

au PMU lorsque le revenu R est égal à p.x* ƒGH SOXV OH QLYHMX G·XPLOLPp PM[LPXP MPPHLQP GpŃRXOMQP GX PMU est exactement égal à ഥܷ: v(x*) = ഥܷ

GpPRQVPUMPLRQ SMU O·MNVXUGH

2. Minimisation de la dépense et

dualité 21
ƒLa dualité implique plusieurs propriétés : Si les préférences sont continues et monotones, alors : ƒPour les fonctions de demande hicksienneet marshallienne : ƒh(p, ഥࢁ) = x(p, e(p, ഥࢁ))(AEfonction de demande compensée)

ƒx(p,R) = h(p, v(p,R))

ƒPour les fonctions de GpSHQVH HP G·XPLOLPp LQGLUHŃPH:

ƒe(p, v(p,R)) = R

ƒv(p,e(p, ഥࢁ)) = ഥࢁ

2. Minimisation de la dépense et

dualité 22
ƒRelations entre demandes hicksienneet marshallienne ƒPropriétés : Soit un niveau de revenu R > 0 etഥܷ ƒLes fonctions de demande hicksienneet de demande marshallienne QH VH ŃURLVHQP TX·HQ XQ VHXO SRLQP, le point x tq x(p,R) = h(p,ഥܷ) avec R = e(p,ഥܷ ƒIRUVTX·RQ UHSUpVHQPH OHV IRQŃPLRQV GH GHPMQGH hicksienneet marshallienne dans le plan (p,x), la fonction de demande hicksienneest plus "pentue» que la fonction de demande marshallienne lorsque x est un bien normal ƒF·HVP O·LQYHUVH lorsque x est un bien inférieur ƒLoi de la demande compensée :On suppose que h(p,ഥܷ pour tout p > 0. Alors la fonction de demande hicksiennevérifie :

3RXU PRXP S· S·· ! 0S··-S·BLOS··ࢁ) ²OS·ࢁ@ " 0

2. Minimisation de la dépense et

dualité 23

ƒIdentité de Roy

3RXU PRXP Ó 1"N xj(p,R) = -L˜Yp,RC˜pj@CL˜Yp,R)/˜R]

ƒLemme de Shepard

3RXU PRXP Ó 1"N ˜Hp,u0)C˜pj= hj(p,u0)

quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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