Marianne Tenand marianne.tenand@ens.fr PDF

6- Quand on désire représenter graphiquement les fonctions de demande celles-ci doivent être établies en fonction du seul prix du bien ou du seul revenu du

Microéconomie de la demande - “La fin matérielle de toute activité

Seconde loi : La demande d'un bine est normalement une fonction croissante du revenu de l'individu. N.B. : Ces lois souffrent de nombreuses exceptions qui

2. Théorie de la consommation (demande) (suite)

d'individus (demande de marché) en fonction : • Du prix du bien/service. • Du prix des autres biens. • Du revenu. Dérivation d'une fonction de demande: Cf.

MICROÉCONOMIE EN CONCURRENCE IMPARFAITE

On sera également amené à définir la fonction de demande inverse Les fonctions de demande utilisées en microéconomie industrielle peuvent être.

Microéconomie « Théorie du consommateur »

La fonction de demande du consommateur exprime les quantités optimales consommées de chaque bien en fonction des prix et revenu auxquelles le consommateur

Synthèse de Microéconomie

Panier demandé par le consommateur : Quantités optimales de biens 1 et 2 pour des prix et un revenu donnés. Fonction de demande : Fonction qui relie le

Marianne Tenand marianne.tenand@ens.fr

marianne.tenand@ens.fr. Microéconomie 1. Département d'économie ENS. 2016 - 2017. Théorie du consommateur (2):. Résolution analytique de la demande.

Loffre et la demande 1) La fonction de demande

Indique les quantités que les consommateurs sont prêts à acheter pour tout niveau de prix ceteris paribus. • Loi de la demande: Q est une fonction.

Chapitre 1 La théorie du comportement du consommateur

1 Malinvaud E.

Titre II

Cours de microéconomie. Jalel BERREBEH La fonction de la demande ... L'équilibre du consommateur se réalise quant il demande le choix optimal. Ce choix.

2 1) La fonction de demande - Université du Québec à Montréal

• L’interaction de l’offre et de la demande détermine un équilibre de marché • Au prix d’équilibre les quantités demandées égalent les quantités offertes qd = q o • Aux quantités d’équilibre les prix de la demande et de l’offre sont égaux pd = p o

LA DEMANDE : ANALYSE MICROÉCONOMIQUE APPLIQUÉE - Free

La demande est un thème majeur de l'analyse microéconomique traditionnelle et constitue à ce titre un moment important du programme d'économie générale des classes préparatoires "tertiaires" : les classes préparatoires économiques et commerciales option technologique et les classes préparatoires "ENS-Cachan"

COURS DE MICROECONOMIE

LA THEORIE DE LA DEMANDE Section 1 La fonction de la demande A Définition et propriétés B Les courbes de consommatio-revenu et de consommation-prix C La courbe d‘Engel D Le surplus du consommateur Section 2 Effet de substitution et effet de revenu A Analyse de l‘effet de substitution et de l‘effet de revenu

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§ 2 La fonction de production La fonction de production est une relation qui indique le niveau maximal de production qui peut être obtenu par les différentes combinaisons de facteurs pour une technologie donnée ????=????( ) Est une fonction à une seule variable par exemple le travail C’est une fonction à dérivée

Qu'est-ce que la fonction de demande?

A- La définition de la fonction de demande . La théorie microéconomique traditionnelle définit la fonction de demande comme étant la relation entre la quantité optimale demandée d'un bien et les valeurs possibles des variables qui la déterminent.

Qu'est-ce que la microéconomie ?

Introduction à la microéconomie, fonction de demande, fonction d'offre, le mécanisme des prix. L'offre et demande en économie c'est une multitude d'exemple au quotidien. Ex : les régions viticoles connaissent un record de pluviométrie. La quantité de raisin nécessaire à la fabrication du vin va être plus faible. Donc augmentation des prix.

Qu'est-ce que l'offre et la demande en économie ?

L'offre et demande en économie c'est une multitude d'exemple au quotidien. Ex : les régions viticoles connaissent un record de pluviométrie. La quantité de raisin nécessaire à la fabrication du vin va être plus faible. Donc augmentation des prix. Ex2 : un pétrolier l’Erica s'est échouée sur nos côtes. Apparition d'une marée noire.

Quels sont les déterminants de la loi de la demandé ?

1er déterminant : le prix. La loi de la demande = plus le prix d'un bien est élevé plus la quantité de bien demandé est faible. 2eme déterminant : le revenu. Si hausse du revenu la demande d'un bien peut varier de 3 manières : - la demande d'un bien augmente moins vite que le revenu. (Bien inférieur) ex : les produits alimentaires.

Marianne Tenand

marianne.tenand@ens.fr

Microéconomie 1

GpSMUPHPHQP G·pŃRQRPLH (16

2016 -2017

Théorie du consommateur (2):

Résolution analytique de la

demande 1

Questions fondamentales

Nous avons vu comment résoudre graphiquement le

SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp SMU OH

consommateur et en déduire la demande marshallienne

Objectif du cours :

Déterminer de manière analytique la demande

Solutions intérieures et solutions en coin

Applications numériques

Caractériser certaines propriétés de la fonction de demande marshallienne Déterminer les relations entre demande hicksienneet demande marshallienne 2

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Def:6RLP XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp 8 XQ HQVHPNOH GHV RNÓHPV

X, un vecteur de prix p> 0 et un niveau de revenu

individuel Ri> 0. Le SURJUMPPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp sous contrainte budgétaire V·pŃULP maxx Ui(x) s.c.p.x" 5iet[ 0 On note xi(p,Ri) la solutionG·XQ PHO SURJUMPPH HP RQ définit xi(p,R) la fonction de demande marshallienne : xi (p,R) = {arg[ 0 [ B(p,R) [max Ui(x)], p > 0, R 0 } 3

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Def: Dans le cadre du problème précédent, on appelle Lagrangien la fonction, notée L(.), définie comme suit:

L([zź) = U(x) ²zp.x²R) + źB[

Où zHP ź VRQP MSSHOpV OHV multiplicateurs de Lagrange associés respectivement aux contraintes: p.x" 5HP [ 0 Intuition : le multiplicateur de Lagrange représente la variation marginalede la valeur atteinte par la fonction objectif U suite à un desserrement marginal de la contrainte auquel il est associé Il est parfois appelé prix implicite de la contrainte 4

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Def: Les conditions de Kuhn et Tuckerassociées au Lagrangien L(x z ź) défini précédemment sont les suivantes :

1.I[zźC[ 0

2.I[zź)/z 0

etI[zź)/ź 0

3.z 0

etź 0

4.z(p.x²R) = 0

et źB[= 0 5

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

On peut réécrire les conditions de Kuhn et Tucker ainsi :

1.I[ z źC[ 0Ù8[C[ ²zSĄ ź 0

2.I[ z źCz 0Ùp.x" 5 (contrainte n°1 =

contrainte budgétaire) etI[ z źCź 0Ùx 0 (contraintes n°2 = contraintes de non-négativité)

3.z 0

etź 0

4.z(p.x²R) = 0

et źB[= 0 6

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

1ercas possible :

1) Solutions intérieures : cas où x > 0 ; alors la condition [4] implique : ź 0 Rappel :lorsque x est de dimension k, ieque x=(x1, x2 " xk), x > 0 ÙSRXU PRXP Ó 1" N xj> 0

La condition [1] peut se réécrire :

U(x)/[ = zBS

AEComme x et p sont des vecteursGH GLPHQVLRQ N1 HP z est un scalaire, la condition [1] se réécrit comme : pour tout j = 1,.., k, 8[Cxj= zSj 7

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Solutions intérieures : ex. avec ŃMV G·XQ HQVHPNOH G·RNÓHPV avec deux biens seulement, xiet xj.

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

8[C[i= zSi

8[Cxj= zSj

Donc :

L 8[Cxi] / pi z L 8[Cxj] / pj

G·RZ

TMSij= L U(x)/[i] / L U(x)/xj] = pi/pj $ O·RSPLPXP OH 706 HQPUH OHV GHX[ NLHQV GRLP rPUH pJMO MX rapport de leurs prix

Rings a bell?

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

2ème cas possible :

2) Solutions en coins : cas où pour un certain j, xj= 0 ;

en revanche on ne peut pas neutraliser źj

Rappel ź HVP XQ vecteurde dimension (1,k)

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP MORUV

8[Cxj= zSj²źj

AEComme x et p sont des vecteursGH GLPHQVLRQ N1 HP z est scalaire, la condition [1] implique que : et8[Cxj൑zSj(car źj൒0) 9

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Solutions en coins : ex. avec cas G·XQ HVSMŃH G·RNÓHPV avec deux biens seulement, x1et x2, avec x1= 0.

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

U(x)/x2= zS2

8[C[1= zS1-ź1

GMQV OH ŃMV RZ RQ M ź1> 0 ("vraie» solution en coin, et pas tangence de la courbe G·XPLOLPp j OM GURLPH GH NXGJHP VXU XQ GHV M[HV

Ou encore :

L 8ݔכ)/x1] / p1 Interprétation pPMQP GRQQpV OHV SUL[ GHV NLHQV O·XPLOLPp PMUJLQMOH SMU HXUR dépensé pour le bien 1 est plus faible TXH O·XPLOLPp PMUJLQMOH SMU HXUR GpSHQVp pour le bien 2, de sorte que le consommateur serait prêt à échanger GMYMQPMJH GX NLHQ 1 SRXU MYRLU GMYMQPMJH GH NLHQ 2" Mais il ne peut plus ! 10
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Signification du multiplicateur de Lagrange (solution intérieure) 3RXU XQ ŃRQVRPPMPHXU OH PXOPLSOLŃMPHXU UHSUpVHQPH O·MXJPHQPMPLRQ PMUJLQMOH GH O·XPLOLPp LQGXLPH SMU OH UHOkŃOHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH SMU H[B XQH augmentation marginale du revenu) On peut le voir en définissant Vla IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH, qui pour tout YHŃPHXU GH SUL[ S HP QLYHMX GH UHYHQX 5 GRQQH OH QLYHMX G·XPLOLPp GRQQp SMU OH panier optimal (compte tenu de p et de R) : v(p,R) = U(x) = U(x(p,R)) $ORUV HQ XPLOLVMQP OHV F32 GX SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp HP OM ORL GH
Walras, on peut montrer que :

Yp,RC5 z
NB :GqV ORUV TXH OM ORL GH JMOUMV Q·HVP SMV UHVSHŃPpH GRQŃ TXH 8B Q·HVP SMV PRQRPRQH OH GHVVHUUHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH Q·MSSRUPH MXŃXQ VXSSOpPHQP G·XPLOLPp SXLVTXH OM ŃRQPUMLQPH Q·pPMLP SMV UpHOOHPHQP ŃRQPUMLJQMQPH RX ©binding»). Comme O·LQGLTXHQP OHV ŃRQGLPLRQV GH .XOQ HP 7XŃNHU RQ HVP NLHQ GMQV OH ŃMV RZ z 0 11
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (1)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV XQH ŃRQPUMLQPH G·pJMOLPp maxU(x1" xk)s.c.g(x1" xk) = c La contrainte peut être une contrainte budgétaire, une contrainte de temps, etc. IH IMJUMQJLHQ V·pŃULP L(x,z 8[ ²z(g(x) ²c)
Conditions de premier ordre (CPO) :

1.3RXU PRXP Ó 1" N L(x,z)Cxj= 0 ÙU(x)Cxj= z J[Cxj

2.L(x,z)Cz= 0 Ùg(x) = c (on retrouve la contrainte)
Exemple :6RLP O OH QRPNUH G·OHXUHV PUMYMLOOpHV SMU ÓRXU O OH QRPNUH G·OHXUHV GH ORLVLUV G OH QRPNUH G·OHXUHV GH VRPPHLOB 2Q VXSSRVH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp TXL GpSHQG GH O O HP G 8 Ih,l,d). Alors le pbde PM[LPLVMPLRQ SHXP V·pŃULUH Max U(h,l,d) s.c. h + l + d = 24 12
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (2)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ sous P ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk) = ci pour i = 1,.., m ziest appelé le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte i
Conditions de premier ordre (CPO) :

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,zCzi= 0 Ùgi (x) = ci(on retrouve les m
contraintes) Exemple :FRQVLGpURQV OH ŃMV G·XQH YLHLOOH GMPH ULŃOH VMQV GHVŃHQGMQŃH TXL GRLP décider de la transmission de sa fortune, notée F. Son utilité dépendra des sommes
w, x, y et z versées à quatre fondations. Elle a juré à son défunt mari de léguer un
PLHUV GH OHXUV NLHQV MX[ GHX[ SUHPLqUHV IRQGMPLRQVB FRPPHQP V·pŃULP OH SURNOqPH de maximisation de Madame ? 13
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (3)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV m ŃRQPUMLQPHV G·inégalité : maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk " Ńi pour i = 1,.., m FRPPH SUpŃpGHPPHQP OH IMJUMQJLHQ V·pŃULP :
Conditions de premier ordre (CPO) :

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,z)/zi 0 Ùgi(x) "ci(on retrouve les m
contraintes) Exemple :Soit un individu qui arbitre entre sa consommation c et son temps de ORLVLU I PRLQV LO SMVVH GH PHPSV j PUMYMLOOHU PRLQV LO M G·MUJHQP SRXU ŃRQVRPPHUB Chaque heure de travail est rémunérée à un salaire horaire net de 9 euros, et O·LQGLYLGX GRLP HIIHŃPXHU MX PLQLPXP 7 OCÓRXUB 6MŃOMQP TXH OM GXUpH G·XQH ÓRXUQpH
HVP GH 24O HP TX·LO M XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp 8 8c,L ŃRPPHQP V·pŃULP HP VH UpVRXP OH
pbG·RSPLPLVMPLRQ GH O·LQGLYLGX VMŃOMQP TX·LO PUMYMLOOH " 14
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (4)
Vous pouvez imaginer toutes les combinaisons possibles : m contraintes de non-QpJMPLYLPp Q ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp N
ŃRQPUMLQPHV G·LQpJMOLPp HPŃB
Vous devez être capable de résoudre les différents types de
SURNOqPHV G·RSPLPLVMPLRQ
Et au préalable, vous devez savoir poser le problème (!)
Pour vous aider :
4XHOTXHV VOLGHV GH V\QPOqVH VXU O·Optimisation statique VademecumVXU O·RSPLPLVMPLRQ VRXV ŃRQPUMLQPHV pŃULP SMU
Julien Grenet
Le cours de Mathématiques pour économistes 15
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
([HPSOH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp FRNN-Douglas En posant les conditions de K-T, déterminer la demande marshallienne associée aux préférences représentées par la
IRQŃPLRQ G·XPLOLPp VXLYMQPH

U(x1,x2) = x1ǂx2ǃ

Sachant que:
-LH ŃRQVRPPMPHXU QH SHXP ŃRQVRPPHU TX·XQH TXMQPLPp SRVLPLYH ou nulle des deux biens -Le revenu du consommateur est égal à 20 -Le prix du bien 1 est égal à 2 euros, et le prix du bien 2 à 3 euros La loi de Walras est-elle vérifiée ? La demande marshallienne est- elle homogène de degré 0 ? 16
2. Minimisation de la dépense et
dualité Le problème de minimisation de la dépense (PMD) F·HVP OH SURNOqPH V\PpPULTXH GH ŃHOXL GH OM PM[LPLVMPLRQ GH
O·XPLOLPp 308

On parle de dualitédu PMD et du PMU
Def: Etant donné une fonction U, un ensemble de ŃRQVRPPMPLRQ ; XQ YHŃPHXU GH SUL[ S ! 0 HP XQ QLYHMX G·XPLOLPp
ŃRQPUMLQPH G·XPLOLPp V·pŃULP

Minxp.x
s.c.8[ ഥܷ 17 Def: le Lagrangienassociée au PMD est la fonction, notée L, définie comme suit : I[ z ź -S[ Ą z8[ ²ഥࢁ) + źB[
2Z z HP ź VRQP MSSHOpV OHV multiplicateurs de Lagrange associés
respectivement aux contraintes :
8[ ഥܷ
Les conditions de Kuhn et Tucker se posent de la même manière que pour le PMU Rappel : minimiserune fonction f revient à maximiserla fonction (²f)
2. Minimisation de la dépense et
dualité 18 Def:On note h(p, ഥܷ OM VROXPLRQ G·XQ PHO SURJUMPPH RZ OS ഥܷ est la fonction de demande hicksienne h(p, ഥܷ
S[ 8[ Ö` [min p.x]
Propriétés : VRLP 8 XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp ŃRQPLQXH UHSUpVHQPMQP GHV préférences monotones. Alors pour tout p > 0, ഥܷ de demande hicksienneh(p, ഥܷ
h(p, ഥܷ

Homogénéité de degré 0 en p

Pour tout x
h(p, Ù), U(x) = ഥࢁSMV G·©excèsª G·XPLOLPp Si les préférences sont strictement convexes alors h(p, ഥܷ ŃRQVPLPXp G·XQ uniqueélément pour p et ഥܷ
2. Minimisation de la dépense et
dualité 19 Def:La fonction de dépense, notée e(p, ഥࢁ) est la grandeur p.x, où x* est une solution du programme de minimisation de la dépense (PMD) Equivalent dans le PMU : la IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH v(p,R) Si les préférences sont monotones et continues, la fonction de dépense est :
Homogène de degré 1en p

Strictement croissante en ഥܷ

Non-décroissante enpjpour tout j

Concaveen p

Continueen pet en ഥܷ

2. Minimisation de la dépense et
dualité 20
La dualité
On peut montrer que, si U représente des préférences monotones et continues, on a les propriétéssuivantes : Si x* est solution au PMU (avec R > 0), alorsx* est solution au
30G ORUVTXH OH QLYHMX G·XPLOLPp j MPPHLQGUHഥܷ
De plus, le niveau de dépenses (minimum) atteint par le
PMD est exactement égal à R : e(x) = R

Si x est solution au PMD (avec ഥܷ
au PMU lorsque le revenu R est égal à p.x* GH SOXV OH QLYHMX G·XPLOLPp PM[LPXP MPPHLQP GpŃRXOMQP GX PMU est exactement égal à ഥܷ: v(x*) = ഥܷ
GpPRQVPUMPLRQ SMU O·MNVXUGH

2. Minimisation de la dépense et
dualité 21
La dualité implique plusieurs propriétés : Si les préférences sont continues et monotones, alors : Pour les fonctions de demande hicksienneet marshallienne : h(p, ഥࢁ) = x(p, e(p, ഥࢁ))(AEfonction de demande compensée)
x(p,R) = h(p, v(p,R))
Pour les fonctions de GpSHQVH HP G·XPLOLPp LQGLUHŃPH:
e(p, v(p,R)) = R

v(p,e(p, ഥࢁ)) = ഥࢁ

2. Minimisation de la dépense et
dualité 22
Relations entre demandes hicksienneet marshallienne Propriétés : Soit un niveau de revenu R > 0 etഥܷ Les fonctions de demande hicksienneet de demande marshallienne QH VH ŃURLVHQP TX·HQ XQ VHXO SRLQP, le point x tq x(p,R) = h(p,ഥܷ) avec R = e(p,ഥܷ IRUVTX·RQ UHSUpVHQPH OHV IRQŃPLRQV GH GHPMQGH hicksienneet marshallienne dans le plan (p,x), la fonction de demande hicksienneest plus "pentue» que la fonction de demande marshallienne lorsque x est un bien normal F·HVP O·LQYHUVH lorsque x est un bien inférieur Loi de la demande compensée :On suppose que h(p,ഥܷ pour tout p > 0. Alors la fonction de demande hicksiennevérifie :
3RXU PRXP S· S·· ! 0S··-S·BLOS··ࢁ) ²OS·ࢁ@ " 0

2. Minimisation de la dépense et
dualité 23

Identité de Roy

3RXU PRXP Ó 1"N xj(p,R) = -LYp,RCpj@CLYp,R)/R]

Lemme de Shepard

3RXU PRXP Ó 1"N Hp,u0)Cpj= hj(p,u0)

Equation de Slutsky
[i(p,RCpj= LOi(p, u0)/pj]²xj(p,R)Lxi(p,R)/5@
Effet de substitution : toujours négatif

Effet-revenu : bien normal ou inférieur ?

3. Propriétés et théorèmes
importantsquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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[PDF] Marianne Tenand marianne.tenand@ens.fr

Qu'est-ce que la fonction de demande?

Qu'est-ce que la microéconomie ?

Qu'est-ce que l'offre et la demande en économie ?

Quels sont les déterminants de la loi de la demandé ?

Marianne Tenand

Microéconomie 1

GpSMUPHPHQP G·pŃRQRPLH (16

2016 -2017

Théorie du consommateur (2):

Résolution analytique de la

Questions fondamentales

SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp SMU OH

Objectif du cours :

Solutions intérieures et solutions en coin

Applications numériques

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

X, un vecteur de prix p> 0 et un niveau de revenu

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

L([zź) = U(x) ²zp.x²R) + źB[

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

1.I[zźC[ 0

2.I[zź)/z  0

3.z 0

4.z(p.x²R) = 0

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

1.I[ z źC[ 0Ù8[C[ ²zSĄ ź 0

2.I[ z źCz  0Ùp.x" 5 (contrainte n°1 =

3.z  0

4.z(p.x²R) = 0

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

1ercas possible :

La condition [1] peut se réécrire :

U(x)/[ = zBS

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

8[C[i= zSi

8[Cxj= zSj

Donc :

L 8[Cxi] / pi z L 8[Cxj] / pj

G·RZ

Rings a bell?

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

2ème cas possible :

en revanche on ne peut pas neutraliser źj

Rappel ź HVP XQ vecteurde dimension (1,k)

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP MORUV

8[Cxj= zSj²źj

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

U(x)/x2= zS2

8[C[1= zS1-ź1

Ou encore :

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Walras, on peut montrer que :

Yp,RC5 z

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (1)

Conditions de premier ordre (CPO) :

1.3RXU PRXP Ó 1" N L(x,z)Cxj= 0 ÙU(x)Cxj= z J[Cxj

2.L(x,z)Cz= 0 Ùg(x) = c (on retrouve la contrainte)

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (2)

Conditions de premier ordre (CPO) :

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,zCzi= 0 Ùgi (x) = ci(on retrouve les m

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (3)

Conditions de premier ordre (CPO) :

Objectif du cours :

Solutions intérieures et solutions en coin

Applications numériques

1.I[zźC[ 0

2.I[zź)/z 0

3.z 0

1.I[ z źC[ 0Ù8[C[ ²zSĄ ź 0

2.I[ z źCz 0Ùp.x" 5 (contrainte n°1 =

3.z 0

1ercas possible :

La condition [1] peut se réécrire :

U(x)/[ = zBS

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

8[C[i= zSi

8[Cxj= zSj

L 8[Cxi] / pi z L 8[Cxj] / pj

Rings a bell?

2ème cas possible :

en revanche on ne peut pas neutraliser źj

Rappel ź HVP XQ vecteurde dimension (1,k)

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP MORUV

8[Cxj= zSj²źj

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

U(x)/x2= zS2

8[C[1= zS1-ź1

Ou encore :

Yp,RC5 z

Généralisation (1)

1.3RXU PRXP Ó 1" N L(x,z)Cxj= 0 ÙU(x)Cxj= z J[Cxj

2.L(x,z)Cz= 0 Ùg(x) = c (on retrouve la contrainte)

Généralisation (2)

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,zCzi= 0 Ùgi (x) = ci(on retrouve les m

Généralisation (3)

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,z)/zi 0 Ùgi(x) "ci(on retrouve les m

Généralisation (4)

Pour vous aider :

On parle de dualitédu PMD et du PMU

8[ ഥܷ

S[ 8[ Ö` [min p.x]

h(p, ഥܷ

Homogénéité de degré 0 en p

Pour tout x

Homogène de degré 1en p

Strictement croissante en ഥܷ

Non-décroissante enpjpour tout j

Concaveen p

Continueen pet en ഥܷ

La dualité

Si x* est solution au PMD (avec ഥܷ

x(p,R) = h(p, v(p,R))

e(p, v(p,R)) = R

v(p,e(p, ഥࢁ)) = ഥࢁ

Identité de Roy

3RXU PRXP Ó 1"N xj(p,R) = -LYp,RCpj@CLYp,R)/R]

Lemme de Shepard

3RXU PRXP Ó 1"N Hp,u0)Cpj= hj(p,u0)

Equation de Slutsky

Effet de substitution : toujours négatif

Effet-revenu : bien normal ou inférieur ?