Exercices corrigés
Donner les extrema locaux de g et préciser s'ils sont globaux. Corrigé : 1. La fonction f est définie sur R2. 2. Pour tout (x y) ∈ R2
Exercices 9 - Extrema fonctions plusieurs variables.pdf
Les extre- mums locaux sont-ils des extremums absolus ? Exercice 9.2.— (M) Mêmes questions pour la fonction définie par f(x) = x3 (1 − 3.
Extremums locaux gradient
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00065.pdf
Première S - Extremums dune fonction
e) La fonction admet-elle des extremums sur I ? En quels points ? f) La fonction admet-elle un extremum local en = 1 ? g) Donner une équation des tangentes
TD 6 – EXTREMA LOCAUX
Exercice 31 – Rappel : extrema locaux de fonctions d'une variable réelle Ensuite déteminer le signe de f2 dans les points critiques : la fonction admet-elle ...
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Ainsi si f admet un extremum local alors celui-ci se trouve en (0; 0). Nous Extrema d'une fonction de deux variables. 4.3 Exercices du TD. Exercice 1 ...
Cours et exercices corrigés
2.3 Extremum local d'une fonction de deux variables . 2.8 Exercices corrigés .
Optimisation 1 Extrema
3 Exercices. Exercice 1. Étudier les extremums des fonctions suivantes : f(x) En étudiant le signe de f(x 0)
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
f n'a donc pas d'extremum local sur Df . 6. On a vu que le cercle de centre (−1 −1) et de rayon. √. 2 (privé
Exercices corrigés
La fonction g n'a donc pas de points critiques et pas d'extrema locaux sur Dg. Optimisation de g sous contrainte explicite. Pour tout (x
Extremums locaux gradient
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00065.pdf
Première S - Extremums dune fonction
On appelle extremum de sur D son maximum ou son minimum. (s'il existe). D on dit que ou est un extremum local de sur D. Exemples.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la 4.2 Extrémum local d'une fonction de plusieurs variables .
TD4 – Extrema libres Exercice 1. Trouver les points critiques et
Donc les points Phk sont des points de maximum local pour f. f) f(x
ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE
doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice sans avoir préalablement essayé Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes sur R2.
M0SE 1003 Feuille 6 : Corrigé (tr`es) détaillé de lexercice 3
Feuille 6 : Corrigé (tr`es) détaillé de l'exercice 3. Exercice 3 des exercices en contrôle et au DS: ... Ces points sont donc des extrêma locaux.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche [005557]. Exercice 6 **T. Trouver les extrema locaux de ... Correction de l'exercice 1 ?.
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
f n'a donc pas d'extremum local sur Df . 6. On a vu que le cercle de centre (?1 ?1) et de rayon. ?. 2 (privé
Topologie et Calcul Différentiel 2MA216
5.1 Extremum local et extremum global . 5.2 Points critiques et extrema . ... Ce polycopié est parsemé d'exercices dont les corrigés sont fournis en ...
Feuille d’exercices 9 - Université Sorbonne Paris Nord
Feuille d’exercices 9 Points critiques et extrema des fonctions de deux variables 1 Extremums des fonctions d’une variable Exercice 9 1 — Soit la fonction d’une variable d´e?nie par f(x) = 3x4 ?2x6 1 Trouver les points critiques de f 2 Calculer les DLs a l’ordre 2 en chacun de ces points (Question facultative : pouvez-vous
Différentielles secondes extremums - e Math
Exercice 1 Calculez D2 f(x) dans les cas suivants: 1 f 2L(E;G) continue 2 f : E F !G bilinéaire continue 3 f : M n(R)!M n(R) f(A)=A2 Correction H [002553] Exercice 2 Etudier les extrémas locaux et globaux des fonctions suivantes: 1 f(x;y)=x2 +xy+y2 + 1 4 x 3 2 f(x;y)=x2y x2=2 y2 3 f(x;y)=x4 +y4 2(x y)2 4 f(x;y)=sin2 x sh2 y 5 f(x;y
Comment calculer un extrémum local ?
un extrémum local si elle présente en a un maximum local ou un minimum local. On suppose dans la suite que f est une fonction de classe C^1 sur un ouvert U de mtr^2, et soit ain U . Montrer que si f présente un extremum en a, alors les dérivées partielles de f en a sont nulles.
Quels sont les extremums d’une fonction ?
Extremums d’une fonction | Lelivrescolaire.fr Soient I un intervalle ouvert et c un réel de I.
Comment déterminer les valeurs de X pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux ?
1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux. 2. a. Vérifier que la dérivée de f s'écrit sous la forme f ?(x) = ?1,5(x +1)(x? 2). b. Étudier les variations de f, dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1. .
Comment calculer les extrema locaux et globaux ?
Étudier les extrema locaux et globaux dans R2 de la fonction f(x, y) = x2y2(1 + x + 2y). Exercice 8 - En détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit f(x, y) = y2 ? x2y + x2 et D = {(x, y) ? R2; x2 ? 1 ? y ? 1 ? x2}. Représenter D et trouver une paramétrisation de ?, le bord de D .
Polytech" Paris - UPMC Agral 3, 2016 - 2017
TD4 - Extrema libres
Exercice 1.Trouver les points critiques et discuter leur nature pourf:R2→R a)f(x,y) = (x-1)2+ 2y2 b)f(x,y) = 2x3-6xy+ 3y2 c)f(x,y) =ex-y(x2-2y2) d)f(x,y) =x3y+x3-x2y e)f(x,y) = (x2+y2)e-(x2+y2) f)f(x,y) =x2-cos(y) g)f(x,y) =x3+y3-3cxy. h)f(x,y) =x2y3. Solution. Toutes les fonctionsa),···,h)sont de classeC2dansR2parce que elles sont compo- sition de fonctionsC2ou des polynômes. a)f(x,y) = (x-1)2+ 2y2On calcule le gradient : ?f(x,y) = (2x-2,4y). On cherche les points critiques comme solutions du système :¨∂xf(x,y) = 0
yf(x,y) = 0¨2x-2 = 0
4y= 0 La seule solution du système est donnée par le pointP= (1,0).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =2 00 4
La matrice hessienne est constante :
H f(1,0) =2 00 4
On calcule le déterminant et la trace de l"hessienne : detHf(1,0) = 8>0, tr(Hf(1,0)) = 6>0 Dès que les déterminant ( resp. la trace ) est le produit (resp. la somme) des deux valeurs propres deHf(1,0), on peut conclure que les valeurs propres deHf(1,0)sont strictement positives. Cela c"est equivalent à dire queHf(1,0)est semi-définie positive.Par consequence P est un point de minimum pourf.
1 b)f(x,y) = 2x3-6xy+ 3y2On calcule le gradient :
?f(x,y) = (6x2-6y,-6x+ 6y) On cherche les points critiques comme solutions du système :¨6x2-6y= 0
-6x+ 6y= 0 Les deux points critiques sontP1= (1,1)etP0= (0,0).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =12x-6 -6 6PourP0on trouve :
H f(0,0) =0-6 -6 6On calcule le déterminant :
detHf(0,0) =-36<0, Dès que les déterminant est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont non nulles,l"une négative et l"autre positive. Cela suffit à dire que l"hessienne n"est pas définie (ni
négative ni positive) et doncP0est un point -selle.PourP1on trouve :
H f(1,1) =12-6 -6 6On calcule le déterminant et la trace :
detHf(1,1) = 36>0, tr(Hf(1,1)) = 18>0 Dès que les déterminant et la trace sont>0les deux valeurs propres de l"hessienne sont strictement positives. DoncP1est un point de minimum pourf. c)f(x,y) =ex-y(x2-2y2)On calcule le gradient :
?f(x,y) =ex-y(x2-2y2+ 2x),ex-y(-x2+ 2y2-4y) Puisque l"exponentielle est strictement>0on cherche les points critiques comme solutions du système :¨x2-2y2+ 2x= 0 -x2+ 2y2-4y= 0 Les deux points critiques sontP1= (-4,-2)etP0= (0,0).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =ex-y(x2-2y2+ 4x+ 2)ex-y(-x2+ 2y2-2x-4y) e x-y(-x2+ 2y2-2x-4y)ex-y(x2-2y2+ 8y-4)PourP0on trouve :
H f(0,0) =2 00-4
On calcule le déterminant :
detHf(0,0) =-8<0, 2 Dès que les déterminant est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont non nulles,l"une négative et l"autre positive. Cela suffit à dire que l"hessienne n"est pas définie (ni
négative ni positive) et doncP0est un point -selle. PourP1on trouve : H f(-4,-2) =-6e-28e-28e-2-12e-2
On calcule le déterminant et la trace :
detHf(-4,-2) = 8e-4>0, tr(Hf(-4,-2)) =-18e-2<0 Dès que les déterminant est>0et la trace est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont strictement négatives. DoncP1est un point de maximum pourf. d)f(x,y) =x3y+x3-x2yOn calcule le gradient :
?f(x,y) = (3x2y+ 3x2-2xy,x3-x2) Les points critiques sont solutions du système :¨3x2y+ 3x2-2xy= 0
x3-x2= 0
Les points critiques sontP0= (0,0),Pk= (0,k),k?= 0,P1= (1,-3).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =6xy+ 6x-2y3x2-2x3x2-2x0
PourP1l"on trouve :
H f(1,-3) =-6 11 0
On calcule le déterminant :
detHf(1,-3) =-1>0, tr(Hf(-4,-2)) =-18e-2<0 Dès que les déterminant est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont non nulles,l"une négative et l"autre positive. Cela suffit à dire que l"hessienne n"est pas définie (ni
négative ni positive) et doncP1est un point -selle.PourP0on trouve :
H f(0,0) =0 00 0
et donc on peut rien déduire sur la nature du point critique. On regardefle long des directiony=xety=-x: g(x) =f(x,x) =x4 h(x) =f(x,-x) =-x4+ 2x3 On peut facilement vérifier que g(x) admet un minimum pourx= 0ethadmet un flex (point critique qui est ni minimum ni maximum) pourx= 0. Comme la fonction admet des comportement différentes le long des deux directions,P0ne peut pas être ni un maxi- mum ni un minimum pourf. Il est un point-selle. Le cask?= 0conduit à un calcul plus fastidieux et on le traite pas ici. 3 e)f(x,y) = (x2+y2)e-(x2+y2)On calcule le gradient :
?f(x,y) =e-x2-y22x(1-x2-y2),e-x2-y22y(1-x2-y2) Puisque l"exponentielle est strictement>0on cherche les points critiques comme solutions du système :¨2x(1-x2-y2) = 02y(1-x2-y2) = 0
Les points critiques sontP0= (0,0)et toutes points de la formePh,k= (h,k)telles que h2+k2= 1.
On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =e-x2-y2((2-4x2)(1-x2-y2)-4x2)e-x2-y2(-4xy(1-x2-y2)-4xy) eOn peut vérifier que :
detHf(P0) = detHf(Ph,k) = 0, et donc on ne peut rien conclure sur la nature des points critiques à l"aide du signe de l"hessienne.Les pointP0est un point de minimum car :
f(x,y)≥0?(x,y)?R2 etf(x,y) = 0si et seulement si(x,y) = (0,0). Donc dans le voisinage du point critique P0on a :
f(x,y)≥0 =f(0,0) et cela est la définition de minimum local. On peut voir facilement que les points critiques P h,ksont des points de maximum local. La fonctionf(x,y)est une fonction à symétrie radiale. Cela veut dire que si nous écrivonsfen cordonnées polaires(r,θ)nous trouverons que elle ne depend que par le rayonr. Il existe une fonction d"une variableg:R+?→R telle que : f(rcosθ,rsinθ) =g(r) =r2e-r2.On calcule la dérivée de la fonctiong:
g?(r) = 2re-r2(1-r2). La fonctiongadmet deux points critiques :r= 0(correspondant àP0) etr= 1(corres- pondant aux pointsPh,k). Si on etude le signe deg?(r)pourr≥0on trouve quer= 0 est un minimum local pourgetr= 1est un maximum local pourg. Donc les pointsPh,k sont des points de maximum local pourf. f)f(x,y) =x2-cos(y)On calcule le gradient :
?f(x,y) =2x,siny On cherche les points critiques comme solutions du système :¨2x= 0
siny= 0 Les points critiques sont toutes points de la formePk= (0,kπ),k?Z.On calcule la matrice hessienne :
4 H f(x,y) =2 00 cosy
H f(0,kπ) =2 00 coskπ
On calcule le déterminant :
detHf(0,kπ) = 2cos(kπ) Le termecos(kπ)vaut-1sikest impair et1si k est pair. Donc sikest impair ou trouve detHf(0,kπ)<0et le pointPkest un point-selle. Sikest pair on trouvedetHf(0,kπ)>0 ettrHf(0,kπ)>0et le point critique est un point de minimum. g)f(x,y) =x3+y3-3cxyOn se pose dans le cadrec?= 0.On calcule le gradient :
?f(x,y) =3x2-3cy,3y2-3cx On cherche les points critiques comme solutions du système :¨3x2-3cy= 0
3y2-3cx= 0
Les points critiques sontP0= (0,0)etPc= (c,c).
On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =6x-3c -3c6yPourP0l"on trouve :
H f(0,0) =0-3c -3c0On calcule le déterminant :
detHf(0,0) =-9c2<0, Dès que les déterminant est<0les deux valeurs propres de l"hessienne sont non nulles,l"une négative et l"autre positive. Cela suffit à dire que l"hessienne n"est pas définie (ni
négative ni positive) et doncP1est un point -selle.PourPcl"on trouve :
H f(c,c) =6c-3c -3c6cOn calcule le déterminant :
detHf(c,c) = 27c2>0 Dès que les déterminant est>0le point critique peut être ou un point de minimum ou un point de maximum. Sic >0on trouve : tr(Hf(c,c)) = 12c >0, et donc le point critique est un point de minimum. Sic <0on trouve : tr(Hf(c,c)) = 12c <0, et le point critique est un point de maximum. 5 h)f(x,y) =x2y3.On calcule le gradient :
?f(x,y) =2xy3,3x2y2 On cherche les points critiques comme solutions du système :¨2xy3= 0
3x2y2= 0
Les points critiques sont de la formePh= (0,h)etPk= (k,0).On calcule la matrice hessienne :
H f(x,y) =2y36xy26xy26x2y
On calcule le déterminant :
detHf(x,y) =-24x2y4 Toutes les points critiques annulent le déterminant , donc on ne peut pas conclure de façon générale. Plaçons nous au point critique(0,0). Pourε >0petit on a : f(ε,-ε) =-?5<0 f(ε,ε) =?5>0 ce qui permet d"affirmer que(0,0)est un point-selle. 6quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] exercice microeconomie corrigé pdf
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