Exercices corrigés
Donner les extrema locaux de g et préciser s'ils sont globaux. Corrigé : 1. La fonction f est définie sur R2. 2. Pour tout (x y) ∈ R2
TD4 – Extrema libres Exercice 1. Trouver les points critiques et
Si on etude le signe de g (r) pour r ≥ 0 on trouve que r = 0 est un minimum local pour g et r = 1 est un maximum local pour g. Donc les points Phk sont des
Exercices 9 - Extrema fonctions plusieurs variables.pdf
Les extre- mums locaux sont-ils des extremums absolus ? Exercice 9.2.— (M) Mêmes questions pour la fonction définie par f(x) = x3 (1 − 3.
Extremums locaux gradient
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00065.pdf
Première S - Extremums dune fonction
e) La fonction admet-elle des extremums sur I ? En quels points ? f) La fonction admet-elle un extremum local en = 1 ? g) Donner une équation des tangentes
TD 6 – EXTREMA LOCAUX
Exercice 31 – Rappel : extrema locaux de fonctions d'une variable réelle Ensuite déteminer le signe de f2 dans les points critiques : la fonction admet-elle ...
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Ainsi si f admet un extremum local alors celui-ci se trouve en (0; 0). Nous Extrema d'une fonction de deux variables. 4.3 Exercices du TD. Exercice 1 ...
Cours et exercices corrigés
2.3 Extremum local d'une fonction de deux variables . 2.8 Exercices corrigés .
Optimisation 1 Extrema
3 Exercices. Exercice 1. Étudier les extremums des fonctions suivantes : f(x) En étudiant le signe de f(x 0)
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
f n'a donc pas d'extremum local sur Df . 6. On a vu que le cercle de centre (−1 −1) et de rayon. √. 2 (privé
Exercices corrigés
La fonction g n'a donc pas de points critiques et pas d'extrema locaux sur Dg. Optimisation de g sous contrainte explicite. Pour tout (x
Extremums locaux gradient
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00065.pdf
Première S - Extremums dune fonction
On appelle extremum de sur D son maximum ou son minimum. (s'il existe). D on dit que ou est un extremum local de sur D. Exemples.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la 4.2 Extrémum local d'une fonction de plusieurs variables .
TD4 – Extrema libres Exercice 1. Trouver les points critiques et
Donc les points Phk sont des points de maximum local pour f. f) f(x
ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE
doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice sans avoir préalablement essayé Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes sur R2.
M0SE 1003 Feuille 6 : Corrigé (tr`es) détaillé de lexercice 3
Feuille 6 : Corrigé (tr`es) détaillé de l'exercice 3. Exercice 3 des exercices en contrôle et au DS: ... Ces points sont donc des extrêma locaux.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche [005557]. Exercice 6 **T. Trouver les extrema locaux de ... Correction de l'exercice 1 ?.
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
f n'a donc pas d'extremum local sur Df . 6. On a vu que le cercle de centre (?1 ?1) et de rayon. ?. 2 (privé
Topologie et Calcul Différentiel 2MA216
5.1 Extremum local et extremum global . 5.2 Points critiques et extrema . ... Ce polycopié est parsemé d'exercices dont les corrigés sont fournis en ...
Feuille d’exercices 9 - Université Sorbonne Paris Nord
Feuille d’exercices 9 Points critiques et extrema des fonctions de deux variables 1 Extremums des fonctions d’une variable Exercice 9 1 — Soit la fonction d’une variable d´e?nie par f(x) = 3x4 ?2x6 1 Trouver les points critiques de f 2 Calculer les DLs a l’ordre 2 en chacun de ces points (Question facultative : pouvez-vous
Différentielles secondes extremums - e Math
Exercice 1 Calculez D2 f(x) dans les cas suivants: 1 f 2L(E;G) continue 2 f : E F !G bilinéaire continue 3 f : M n(R)!M n(R) f(A)=A2 Correction H [002553] Exercice 2 Etudier les extrémas locaux et globaux des fonctions suivantes: 1 f(x;y)=x2 +xy+y2 + 1 4 x 3 2 f(x;y)=x2y x2=2 y2 3 f(x;y)=x4 +y4 2(x y)2 4 f(x;y)=sin2 x sh2 y 5 f(x;y
Comment calculer un extrémum local ?
un extrémum local si elle présente en a un maximum local ou un minimum local. On suppose dans la suite que f est une fonction de classe C^1 sur un ouvert U de mtr^2, et soit ain U . Montrer que si f présente un extremum en a, alors les dérivées partielles de f en a sont nulles.
Quels sont les extremums d’une fonction ?
Extremums d’une fonction | Lelivrescolaire.fr Soient I un intervalle ouvert et c un réel de I.
Comment déterminer les valeurs de X pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux ?
1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux. 2. a. Vérifier que la dérivée de f s'écrit sous la forme f ?(x) = ?1,5(x +1)(x? 2). b. Étudier les variations de f, dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1. .
Comment calculer les extrema locaux et globaux ?
Étudier les extrema locaux et globaux dans R2 de la fonction f(x, y) = x2y2(1 + x + 2y). Exercice 8 - En détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit f(x, y) = y2 ? x2y + x2 et D = {(x, y) ? R2; x2 ? 1 ? y ? 1 ? x2}. Représenter D et trouver une paramétrisation de ?, le bord de D .
Universit´e de Paris XI L1 - Calculus Math 151
Math´ematiques 1er semestre 2009-10Feuille d"exercices 9 Points critiques et extrema des fonctions de deux variables1. Extremums des fonctions d"une variable Exercice 9.1.-Soit la fonction d"une variable d´efinie par f(x) = 3x4-2x6.1.Trouver les points critiques def.
2.Calculer les DLs `a l"ordre 2 en chacun de ces points. (Question facultative : pouvez-vous calculer
ces DLs sans utiliser la formule de Taylor?)3.On dit qu"un point critiquex0estd´eg´en´er´esif??(x0) = 0. Lesquels de ces points critiques sont
d´eg´en´er´es?4.Pour chacun des points critiques non d´eg´en´er´es, dire s"il s"agit d"un maximum ou d"un minimum
local.5.Le point critique d´eg´en´er´e est-il un maximum local, ou un minimum local, ou ni l"un ni l"autre?
6.Tracer le tableau de variation def. Est-il coh´erent avec vos r´eponses pr´ec´edentes? Les extre-
mums locaux sont-ils des extremums absolus?Exercice 9.2.-(M) Mˆemes questions pour la fonction d´efinie parf(x) =x3?1-35
x2?.2. Recherche de points critiques Exercice 9.3.-Trouver les points critiques des fonctions suivantes.1.f1(x,y) = 1 +x+y+x2-xy+y2.
2.f2(x,y) =x3+ 3x2y-15x-12y.
3.(plus difficile)f3(x,y) = (1-x)(1-y)(x+y-1).
4.f4(x,y) = cos(x) + cos(y).
5.(M)g1(x,y) = (1+x)(1+y);g2(x,y) =xy-y2+x2+3x-y;g3(x,y) =x2(2-y)+y3-3y;
g4(x,y) =?1 +y2?exp?-x2?.Exercice 9.4.-On consid`ere la fonction d´efinie par
f(x,y) =xy+2x +2y1.Quel est le domaine de d´efinition def? Faire un dessin.
2.Trouver les points critiques def.
3.(optionnelle) On consid`ere une boˆıte en carton de volume 1sans couvercle, dont la base a
pour dimensionsx×y.a.Montrer que la surface des parois de la boite est donn´ee parf(x,y).b.Montrer qu"il existe de telles boˆıtes (de volume 1 et sans couvercle) avec une surface aussi
grande qu"on veut (les dessiner!).c.Pensez-vous alors que le point critique defest un minimum ou un maximum (local ou absolu?), ou ni l"un ni l"autre?3. Signe des formes quadratiques
Exercice 9.5.-Pour chacune des formes quadratiques suivantes,a.utiliser la m´ethode deGauss pour obtenir une forme canonique,b.dire si la forme est d´eg´en´er´ee ou non,c.dans
les cas non d´eg´en´er´es dire si (0,0) est un maximum, un minimum, ou un point selle.1.q1(x,y) =x2-2xy+ 2y2;
2.q2(x,y) = 4x2-12xy+ 9y2;
3.q3(x,y) =-4x2-12xy;
4.q4(x,y) = 4xy;
5.q5(x,y) =-2x2+xy;
6.q6(x,y) =xy+y2.
7.(M)p1(x,y) =x2+xy+10y2;p2(x,y) =x2+10xy+y2;p3(x,y) = 10x2+xy+y2;p4(x,y) =
xy+ 10y2;p5(x,y) = 100xy;p6(x,y) = 10x2+ 100y2.Exercice 9.6.-1.Soitq1(x,y) = (x+ 2y)2. Il est clair queq1(x,y)≥0 pour tout point (x,y). Quels sont les
points (x,y) tels queq1(x,y)>0?2.Mˆeme question pour la forme quadratiqueq2(x,y) = (x+y)2+y2.4. Formule de Taylor `a l"ordre2
Exercice 9.7.-On consid`ere la fonctionf1de l"exercice 8.3.1.Calculer les d´eriv´ees partielles
d"ordre 1 et d"ordre 2 en un point (x,y) quelconque.2.´Ecrire la formule de Taylor `a l"ordre 2 au point (1,2).3.Mˆeme question au point (0,0); que constate-t-on?4.Mˆeme question en un point (x0,y0) quelconque.Exercice 9.8.-1.Soit la fonction de deux variables polynomiale suivante :
f1(x,y) = 7 + 5x2-3y2+ 10x2y+ 15x3+ 1000x3y.
a.Ecrire les DLs defau point (0,0) `a l"ordre 1, puis `a l"ordre 2.b.Le point (0,0) est-il un point critique? Si oui, est-il d´eg´en´er´e? Est-ce un minimum ou un
maximum local, ou un point selle?2.Mˆemes questions avec
f2(x,y) =x+x2+y2.
3.(plus difficile) Mˆemes questions avec
f3(x,y) = 1 +x2+x3+y3.
4.(M) Mˆemes questions avecg1(x,y) = (1-x)(-2 +y);g2(x,y) = 2-3x2-4y2+ 100x2y3;
(difficile)g3(x,y) =-1 + (x-y)2+x3.Exercice 9.9.-Pour chacune des fonctions de l"exercice 8.3, donner la nature (d´eg´en´er´e, maxi-
mum local, minimum local ou point selle) de chacun des points critiques. Exercice 9.10.-La surfaceS(x,y) d"un container en carton de volume 1m3dont la base a pour dimensionx,yest la fonctionS(x,y) = 2xy+2x
+2y (cf. exercice 7.3) On consid`ere le container de volume 1m3dont la base a les dimensionsx= 1met y= 1m(c"est donc un cube). On veut estimer la variation de surface lorsque le cˆot´exaugmente de 5cm, et le cˆot´eydiminue de 10cm.1.Ecrire la formule de Taylor `a l"ordre 1 au point (1,1). Peut-on en d´eduire une estimation de la
variation?2.R´epondre au probl`eme en utilisant la formule de Taylor `a l"ordre 2, et en supposant que le reste
est n´egligeable devant les autres termes.3.Calculer la variation `a la calculatrice, et comparer avec votre estimation.Exercice 9.11.-On consid`ere la fonction d´efinie parf(x,y) = (x2-y)(2x2-y). On voudrait
savoir si (0,0) est un extremum local.1.Montrer que (0,0) est un point critique.
2. ´Ecrire la formule de Taylor `a l"ordre 2 au point (0,0) : quelle est la nature du point critique (0,0)? Que peut-on en d´eduire pour notre probl`eme? 3. ´Etudier le signe def(x,y) en fonction dexety: faire un dessin dans le plan (Oxy) enindiquant les r´egions o`uf >0,f= 0,f <0. R´epondre `a la question initiale : le point (0,0) est-il
un maximum ou un minimum local?Exercices suppl´ementaires
Exercice 9.12.-Le but de cet exercice est de r´epondre `a la question suivante :Parmi tous les triangles de p´erim`etre fix´e, quels sont ceux qui ont une aire maximale?1. Premi`ere partieOn cherche d"abord le maximum, pourxetycompris entre 0 et 1, de la
fonctionf(x,y) = (1-x)(1-y)(x+y-1). a.Dessiner l"ensemble des points (x,y) tels que 0< x <1 et 0< y <1. D´eterminer et repr´esenter le signe defsur cet ensemble. b.Trouver le(s) point(s) critique(s) defdans cet ensemble. On voudrait maintenant v´erifier que le point critique trouv´e correspond bien au maximum de la fonctionf. c.Pouryfix´e (entre 0 et 1), trouver la valeur maximale def(x,y) lorsquexvarie entre 0 et 1.On note cette valeurm(y).
d.Trouver la valeur maximale dem(y) pouryvariant entre 0 et 1. Conclure.2. Seconde partieOn donne laformule de H´eron1: l"aire d"un triangle de cˆot´esa,b,cest donn´ee
parA=?p(p-A)(p-b)(p-c)
o`upest le demi-p´erim`etre du triangle,p=12 (a+b+c). a.Dessiner quelques triangles de p´erim`etre 2 (par exemple avec 1 unit´e = 10cm.). Avez-vous une id´ee de la r´eponse `a la question : comment obtenir un triangle avec la plus grande aire
possible? b.Pour simplifier, on consi`ere les triangles de p´erim`etre 2 (c-`a-dp= 1). Exprimer l"aire comme une fonctionFdes deux longueursaetb. c.Dessiner le domaine de d´efinition de la fonctionF. D´eterminer la partie du domaine de d´efinition qui correspond aux valeurs positives dea,betc. d.`A l"aide de la premi`ere partie, trouver les longueurs deaetbcorrespondant aux trianglesd"aire maximale.Exercice 9.13.-Le but de cet exercice est de comprendre comment obtenir des DLs de fonctions
de deux variables `a partir de DLs de fonctions d"une variable. a.que la quantit´ex?(x,y)?est born´ee; b.que la quantit´exy?(x,y)?tend vers 0 lorsque (x,y) tend vers (0,0); c.que la quantit´ex2?(x,y)?tend vers 0 lorsque (x,y) tend vers (0,0).2.Soit la fonctionf(x,y) =ex-y. On veut ´ecrire le DL defen (0,0) `a l"ordre 1 en utilisant la
formule de Taylor de la fonction exponentielle : e u= 1 +u+uε(u), o`uεest une fonction telle que limu→0ε(u) = 0. a.On pose1(x,y) =x-y?(x,y)?ε(x-y).
Montrer queε1(x,y) tend vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0). b.En d´eduire le d´eveloppement limit´e defen (0,0) `a l"ordre 1 (en rempla¸cantuparx-y dans la formule de Taylor de exponentielle).3.En s"inspirant de la question pr´ec´edente, calculer le DL des fonctions suivantes `a partir des DLs
classiques des fonctions d"une variable. f1(x,y) = (1 +x)⎷1 +yen (0,0) `a l"ordre 1;f2(x,y) =1+x1+yen (0,0) `a l"ordre 1;f3(x,y) =
sin(x-y) en (0,0) `a l"ordre 2;f4(x,y) =ex2-y2en (0,0) `a l"ordre 2.1 H´eron d"Alexandrie, premier si`ecle apr`es J.-C.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13[PDF] exercice microeconomie corrigé pdf
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