[PDF] Espaces métriques compacts
Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses Cette caractérisation sert `a la définition d'un espace compact dans
[PDF] Chapitre 4 Compacité
Définition 4 1 5 Une partie A d'un espace topologique est quasi-compacte si et seule- ment si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement
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dénombrable quelconque ) Définition On dira que (X ) est un espace topologique séparé si pour tout x et
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Notation I désignera un ensemble quelconque (fini dénombrable ou indénom- Définition On dira que (Xd) est un espace métrique compact si il vérifie: De
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Si A est une partie compacte de E A est fermée et bornée Prop 10 [2] Un espace compact est complet Prop 11 [2] Si X est compact et si (xn)
[PDF] Compacité - Licence de mathématiques Lyon 1
Soit (X d) un espace métrique et A un sous-ensemble compact de X définition d'une borne supérieure il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que
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Définition Un espace est dit localement compact s'il est séparé et si tout point de cet espace poss`ede un voisinage ouvert `a clôture compacte
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Définition Une partie A d'un espace métrique (Ed) est dite compacte si de toute suite de A on peut extraire une sous-
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Définition (plan dans R3) 1 6 Ensembles compacts Définition X ? Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X
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Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N qui est compact Si de plus X est fermé c'est un fermé dans un
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Définition 3 1 1 On dit qe (Ed) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (Ed) admet une suite extraite convergeant vers un point de E Une
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Définition 4 1 3 Une partie A d'un espace métrique est compacte si et seulement si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement fini
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Définition On dit d'un sous ensemble de (X ) qu'il est compact s'il est compact pour la topologie induite de celle de X
Compacité (mathématiques) - Wikipédia
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée possède au moins une valeur d'adhérence autrement dit une sous-suite
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De plus le pavé [?aa]N est un compact comme produit d'espaces compacts Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N
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Alors l'ensemble {xnn ? N}?{l} est compact Ex 3 [2] • Tout espace métrique fini est compact • R n'est pas compact On peut prendre par exemple le
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A Définition et propriétés générales Définition Une partie A d'un espace métrique (Ed) est dite compacte si de toute suite de A
[PDF] Chapitre 4: Espaces compacts et espaces con- nexes
D'o`u un sous recouvrement fini de notre recouvrement initial Espaces localement compacts 5 Page 6 Définition Un espace topologique E est localement compact
Quand Dit-on qu'un ensemble est compact ?
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée poss? au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.C'est quoi une partie compacte ?
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.Qu'est-ce qu'une fonction compacte ?
On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X. Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.- Définition 3.1.1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E. Une partie A de E est dite compacte si le sous-espace métrique (A, d) est compact.
Espacesmétriquescompacts
1Introduction
d'intervallesfermésetbornésdeIR.2Notionsdebase
?désignerales brable).DéfinitionSoit
?Ui ?i?I???(X).Ondiraque?Ui ?i?Iestunrecouvrementouvert deXsi ?i?I?Ui? ?etque X i?IU i direquesixetyOyetOx
petitautourdexetdey). X i?IU i alorsilexisteI0 ?Idecardinalfiniettelque X i?I0U iOnaladefinitionéquivalentesuivante:
1 toutfamille ?Fi ?i?Idefermévérifiant i?IF i ?/0 I 0 ?Idecardinalfiniettelque i?I0F i ?/0DémonstrationSoit?Fi
i?IF i ?c i?IFci ?/0c?X Fci mentfini.SoitdoncI0 ?Idecardinalfinitelque i?I0F ci ?X i?I0F i ?/0CorollaireSi?Fn
pactalors n?INF n ?/0 ?Fn ?n?INdefermé,ona pourtoutepartiefiniI0deIN: i?I0F i ?/0 (cequiestvraiicicar ?Fn ?n?INestdécroissanteet i?I0F i ?Fi0 oui0=sup ?i?I0 ?)alorsona i?INF i ?/0 topologiedéfinieparlavaleurabsolue. 23Suitesdansunespacemétriquecompact
sèdeunpointd'accumulation. sembledespointsd'accumulationd'unesuite ?xn ?n?INestdonnépar¥ i?0 ?xn;n?iPosons
F i ????xn;n?i ???i?IN? ?xn ?n?INestparconséquent nonvide.Cqfd. laforme: ?xn ?n?INdeX possèdeunesous-suiteconvergente. unesoussuiteconvergente. -(X,d)estcompact.Lemme1Pourtoute
rayone ?0.DémonstrationSupposonsqu'ilexistee
?0telquecenesoitpaspossible.Choisis- sonsalorsx1dansX.B ?x1?e ?nerecouvrepasX.Onpeutdonctrouverx2dansX n'appartenantpasàB ?x1?e ?.Supposonsconstruitunefamille?xi ?i???1??ndepointdeX telquen i?1B ?xi?e 3 nerecouvrepasX.Onpeutalorstrouverxn ettelquelafamille(B ?xi?e suite ?xn ?n?INdeXtelque,pourtouti,jLemme2Donnonsnousunrecouvrementouvert
?Ui ?i?IdeX.Ilexister>0tel que ?x?X???ix?I?B?x?r ???Uix. r>0,ilexistexr ?XtelqueB?xr?r ?xn?1n ?n'estinclusedansaucundes U ioùi ?I.Cettesuite?xn gente ?xf ?n? ?n?IN.Notonsx ?xn ?n?IN).Maiscomme ?Ui ?Itelque x pourtoute ?0,ilexisteN?e ?INtelque?xf ?n?;n?N?e ???estinclusdansB?x?e ?x?e ?soitcontenue dansUi0.Soiteainsichoisis.Sin ?N?e ?xn?B?x?e ?.Deplus,sinestassezgrand,on amême:B ?xn?1n ???B?x?e ment ?Ui pourtoutx,B ?x?r e ?i?1??ndepointsdeXtelsque ?B?xi?r ?ItelqueB?xk?r ???Uik.Lafamille
?Uik recouvrementfini. ?Ui ?i?I.4Sousespacesmétriquecompacts
DéfinitionOnditd'unsousensemblede(X,
?)qu'ilestcompacts'ilestcompact pourlamétriqueinduitedecelledeX. caractérisationsuivante:PropositionOnaéquivalenceentre:
-KestunsousespacecompactdeX. -Pourtoutefamille ?Ui ?i?Id'ouvertsdeXtelque K iinIU i 4 ilexisteI0 ?Idecardinalfinitelque K iinI0U iDémonstrationSi?Ui
?i?Iestunefamilled'ouvertsdeX,alors ?Ui ?K ?i?Iestune ?Ui ?K etonauranécessairement K i?I0U i ?Ui ?i?I vérifiant K iinIU i duite.ThéorèmeToutcompactestfermé.
estouvert.SiKc ?ycontenantxetun ouvertOycontenantytelqueOx ?y?Oy?/0.Maisonal'inclusion K y?KO yLafamille?Oy
peutextraireunrecouvrementfini ?Oyi ?i?1??n.Posant O n i?1O x ?yi ?UiK.Lafamille
?Fc ?Un;n?IN ?estunrecouvrementouvertdeK.Onpeutdoncen extraireunrecouvrementfinideK ?Ui ?i?I0ouI0estunepartiefiniedeI.Maisalors F i?I0U i 5 etFestcompactCqfd.ThéorèmeToutcompactestborné.
unélémentdeK.Pourtoutn sembleB ?x0?n?1 ???B?x0?n ?1Proposition
Démonstration
-Soit ?Ki desélémentsdecettefamilleet ?Uj ?j?JunrecouvrementouvertdeK.Pourtout i=1...n, ?Uj ?Ki K ?Uj ?Ki ?j?Ji0.Maisla famille ?Uj;j?Ji0;i0?1 ?????n ?estfinie,extraitedelafamille?Uj ?j?Jetrecouvre aainsibienmontréqueKestcompact. -Soit ?Ki .C'estdoncunespacecompact.5Continuitéetcompacité
compacte. X ?i?Iunrecouvrementouvertde f ?K ?(pourlamétriqueinduitesurf?K ?...).Onadonc f ?K i?IU i f ?1 ?A ?B ???f?1 ?A ???f?1 ?B 6 Alors K ?f?1 ?f?K ?????f?1 i?IU i i?If ?1 ?UiMaisfétantcontinue,chaquef?1
?Ui ?f?1 ?Ui ???K ?i?Iun recouvrementfinideK ?f?1 ?Ui ???K alors,comme f ?A ???f?B ?f?A ?B f?K ???f??? i?I0f ?1 ?Ui ???K i?I0f ?f?1 ?Ui ???K i?I0f ?f?1 ?Ui i?I0U iEtdonc,durecouvrementinitialdef?K
?,onaextraitunrecouvrementfini,cequi prouvequef ?K ?estcompact. ???IRuneapplication ?K ?estbornéedansIRetf atteindsesbornessurK. ?K ?estcompact decetespacemétrique,onendéduitquef ?K ?estbornédansIR.Maistoutensemble sup.Onpeutalorsécrire:quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] ensemble ouvert et fermé ? la fois
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