[PDF] Espaces métriques compacts
Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses Cette caractérisation sert `a la définition d'un espace compact dans
[PDF] Chapitre 4 Compacité
Définition 4 1 5 Une partie A d'un espace topologique est quasi-compacte si et seule- ment si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement
[PDF] Espaces topologiques compacts
dénombrable quelconque ) Définition On dira que (X ) est un espace topologique séparé si pour tout x et
[PDF] Espaces métriques compacts
Notation I désignera un ensemble quelconque (fini dénombrable ou indénom- Définition On dira que (Xd) est un espace métrique compact si il vérifie: De
[PDF] I - Définition et premières propriétés - Agreg-mathsfr
Si A est une partie compacte de E A est fermée et bornée Prop 10 [2] Un espace compact est complet Prop 11 [2] Si X est compact et si (xn)
[PDF] Compacité - Licence de mathématiques Lyon 1
Soit (X d) un espace métrique et A un sous-ensemble compact de X définition d'une borne supérieure il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que
[PDF] compacite-localepdf
Définition Un espace est dit localement compact s'il est séparé et si tout point de cet espace poss`ede un voisinage ouvert `a clôture compacte
[PDF] 8 Parties et espaces compacts
Définition Une partie A d'un espace métrique (Ed) est dite compacte si de toute suite de A on peut extraire une sous-
[PDF] 1 Lespace Rn
Définition (plan dans R3) 1 6 Ensembles compacts Définition X ? Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X
[PDF] Cours 2 : compacité complétude connexité - Bertrand Rémy
Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N qui est compact Si de plus X est fermé c'est un fermé dans un
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Définition 3 1 1 On dit qe (Ed) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (Ed) admet une suite extraite convergeant vers un point de E Une
[PDF] Chapitre 4 Compacité
Définition 4 1 3 Une partie A d'un espace métrique est compacte si et seulement si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement fini
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Définition On dit d'un sous ensemble de (X ) qu'il est compact s'il est compact pour la topologie induite de celle de X
Compacité (mathématiques) - Wikipédia
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée possède au moins une valeur d'adhérence autrement dit une sous-suite
[PDF] MAT311 Cours 2 : Compacité complétude connexité 1
De plus le pavé [?aa]N est un compact comme produit d'espaces compacts Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N
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Alors l'ensemble {xnn ? N}?{l} est compact Ex 3 [2] • Tout espace métrique fini est compact • R n'est pas compact On peut prendre par exemple le
[PDF] 8 Parties et espaces compacts
A Définition et propriétés générales Définition Une partie A d'un espace métrique (Ed) est dite compacte si de toute suite de A
[PDF] Chapitre 4: Espaces compacts et espaces con- nexes
D'o`u un sous recouvrement fini de notre recouvrement initial Espaces localement compacts 5 Page 6 Définition Un espace topologique E est localement compact
Quand Dit-on qu'un ensemble est compact ?
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée poss? au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.C'est quoi une partie compacte ?
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.Qu'est-ce qu'une fonction compacte ?
On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X. Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.- Définition 3.1.1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E. Une partie A de E est dite compacte si le sous-espace métrique (A, d) est compact.
1 L"espaceRn
1.1 Produit scalaire, norme et distance dansRn
D´efinition
Six= (x1...xn) ety= (y1...yn) sont deux vecteurs deRn, on d´efinit leurproduit scalairepar : ?x,y?=x1y1+···+xnynD´efinition
On appellenormedex(ou longueur)?x?=?x,x?1/2et ladistanceentre deux vecteursd(x, y) =?x-y?.Proposition
On a les propri´et´es suivantes :
(1)?x,y?=?y,x? (2)?x,y+z?=?x,y?+?x,z? (3)?αx,y?=α?x,y? (4)?x,x??0 avec?x,x?= 0 si et seulement six= 0Th´eor`eme
Le produit scalaire v´erifie l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz?x,y?2??x?2?y?2avec ´egalit´e si et seulement si
xetysont colin´eaires.Th´eor`eme
La norme d´efinie pr´ec´edemment s"appellenorme euclidienneet v´erifie : (i)?x?= 0 si et seulement six= 0 (ii)?x?>0 six?= 0 (iii)?αx?=|α| ?x? (iv)?x+y???x?+?y?D´efinition
L"angleentre deux vecteurs non nuls estθ?[0, π] v´erifiant cosθ=?x,y??x? ?y?.D´efinition
xetydeRnsont ditsorthogonauxsi et seulement si?x,y?= 0.D´efinition(plan dansR3)
SoientA= (x0, y0, z0) un point deR3etN= (a, b, c) un vecteur non nul. Le plan passant parAet orthogonal `aNestP={x?R3/(x-A)·N= 0}.1.2 Produit vectoriel dansR3
D´efinition
Six= (x1, x2, x3) ety= (y1, y2, y3) sont deux vecteurs deR3, on d´efinit leproduit vectorieldexet dey
par :x?y= (x2y3-x3y2, x3y1-x1y3, x1y2-y1x2). 1Aide m´emoire : cela "vaut"det(
(i j k x 1x2x3 y1y2y3)
Th´eor`eme
On a les propri´et´es suivantes :
(1)x?y=-y?x (2)x?(y+z) =x?y+x?z (3)αx?y=x?αy=α(x?y) (4)x·(x?y) = 0 ety·(x?y) = 0 (5)?x?y?2=?x?2?y?2-(x·y)2(identit´e de Lagrange)Interpr´etation g´eom´etrique dex?y
?x?y?=?x? ?y?sinθest l"aire du parall´elogrammeengendr´e parxety.1.3 Coordonn´ees polaires, cylindriques, sph´eriques
Plutˆot que de rep´erer un point (x,y) du planR2par ses coordonn´ees cart´esiennes dans le rep`ere orthonorm´e
form´e par la base canonique, on peut le faire au moyen de sa distance `a l"origine et de l"angle form´e par le
premier vecteur de la base canonique et le vecteur (x,y). La distance `a l"origine est d´efinie au moyen du produit
scalaire comme ci-dessus. L"angle n"est pas d´etermin´e de mani`ere unique. Plusieurs choix sont possibles. On
peut ainsi d´efinir les coordonn´ees polaires d"un point du plan au moyen de l"application suivante :
On aurait pu choisir (le choix est tout aussi bon) de faire varierθdans [-π,π[. On n"attribue g´en´eralement pas
de coordonn´ees polaires au point origine : il est facile de d´efinir sa distance `a l"origine, l"angle n"aurait pas de
sens. DansR3on d´efinit les coordonn´ees sph´eriques d"un point au moyen de l"application]0,+∞[×[0,2π[×]0,π[→R3(ρ,θ,φ)?→(ρcosθsinφ,ρsinθsinφ,ρcosφ).Le couple (ρ,θ) forme les coordonn´ees polaires de la projection du point sur le plan d"´equationz= 0. L`a encore
on aurait pu choisir d"autres intervalles pour domaines deθetφ. En g´eographie par exemple la latitude qui
correspond `aφvarie de-90 `a 90 degr´es et c"est l"angle avec le plan de l"´equateur qui la d´efinit (pas l"angle
avec l"axe pˆole sud pˆole nord). Pour une illustration tr`es parlante des coordonn´ees polaires on pourra regarder
le premier chapitre du film dimensions 11 http://www.dimensions-math.org/Dimfr.htm 21.4 Topologie deRn
D´efinition
Soienta?Rnetr >0.
On appelleB(a, r) ={x?Rn/?x-a?< r}laboule ouvertede centreaet de rayonr.Exemple
DansR,R2ouR3on retrouve les intervalles, les disques, les boules ouvertes.Proposition
SoientA?Rn, a?Rn.
Alors une des trois conditions suivantes est v´erifi´ee : (i)?r >0 tel queB(a, r)?A (ii)?r >0 tel queB(a, r)?Aco`uAc=Rn\A (iii)?r >0, B(a, r) contient des points deAet deAc.D´efinition
L"int´erieurdeA(not´e int(A) ou◦A) est l"ensemble des points deRnv´erifiant (i). L"ext´erieurdeA(not´e extA) est l"ensemble des points deRnv´erifiant la condition (ii). Lafronti`eredeA(not´ee∂A) est l"ensemble des points deRnv´erifiant la condition (iii). LafermeturedeA(not´eeA) est la r´eunion deAet de∂A.Exemples dansR2
A={x?R2/?x?<1}
A={(n,0)/n?Z}
D´efinition
Un ensembleAdeRnest :
(i)ouvertsi?a?A,?r >0 tel queB(a, r)?A (ii)ferm´esiAcest ouvert.Proposition
Aest ouvert si et seulement si◦A=A.
Aest ferm´e si et seulement siA=A.
Exemples
A1={(x, y)/x2+y2<1}est ouvert.
A2={(x, y)/x2+y2?1}est ferm´e.
A3=A1? {(1,0)}n"est ni ouvert ni ferm´e.
]0,1[?Rest ouvert dansR. ]0,1[×{0} ?R2n"est ni ouvert ni ferm´e. [0,1]?Rest ferm´e dansR. [0,1]× {0} ?R2est ferm´e dansR2.Proposition
1.Rnet?sont ouverts (et donc aussi ferm´es).
2. Toute r´eunion d"ouverts est un ouvert.
3. Toute intersection finied"ouverts est un ouvert.
31.5 Suites dansRn
D´efinition
Une suite dansRnest une famille de vecteursxk= (x(k)1,...,x(k)n) index´ee par l"ensemble des entiers naturels
(xk)k?N. Chaque terme de la suitexkest un vecteur avec sesncoordonn´ees.D´efinition
Une suite (xk)k?NconvergedansRnversb?Rnsi?ε >0,?N?Ntel quek?Nentraˆıne?xk-b?< ε.De mani`ere ´equivalente on peut d´efinir la convergence d"une suite de vecteurs (xk) par la convergence de chacune
des suites r´eelles donn´ees par les coordonn´eesx(k) i,iallant de 1 `an,kvariant dansN(les suites des coordonn´ees sont index´ees par k et il y en an: (x(k) i)k?N).Une autre fa¸con de dire que la suite (xk) tend versbest de dire que la suite r´eelle de nombre positifs ou nuls
(d(xk,b))k?Ntend vers 0.Remarques
1. On dit quebestla limitede la suite (xk) et on notexk→b.
2.xk→bsi et seulement si?ε >0 la bouleB(b, ε) contient toute la suite sauf un nombre fini dexk.
Proposition
Aest ferm´e si et seulement si pour toute suite convergente contenue dansAet convergente, la limite est
dansA.Cette proposition fournit un crit`ere pour d´emontrer qu"un ensembleAn"est pas ferm´e : il suffit de trouver une
suite de points deAconvergeant vers un point n"appartenant pas `aA.Th´eor`eme
Soit (xk) une suite born´ee. Il existe une sous-suite de (xk) convergeant dansRn.1.6 Ensembles compacts
D´efinition
X?Rnest compact siXest ferm´e et born´e (born´e veut dire qu"il existeR >0 tel queX?B(0, R)).
Exemples
[0,23] est un compact dansR. [2,3]×[1,3]×[5,7] est un compact dansR3.Th´eor`eme(Bolzano-Weierstrass)
SoitX?Rncompact.
Alors toute suite (xk)?Xcontient une sous-suite (xlk) qui converge vers un point deX. 4quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] ensemble ouvert et fermé ? la fois
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