Statistiques dordre
COMPLÉMENT II. Statistiques d'ordre. (Biblio : Cottrell p. 53) On considère n variables aléatoires (X1
Statistiques dordre supérieur pour le traitement du signal
15 mars 2008 complément aux statistiques d'ordre 2. Elles donnent une description plus compl`ete des données et de leurs propriétés.
Compléments de probabilités et Statistique Inférentielle
2.1 Échantillon et statistique de l'échantillon . 2.1.3 Statistiques d'ordre . ... Chapitre A -Compléments sur les vecteurs aléatoires.
Compléments en ligne
L'enquête Emploi de l'Insee est la seule source statistique permettant économiques qui découlent des conditions d'ordre contractuel ou autre dans ...
Premi`eres notions de statistique statistiques descriptives
Quantiles. Mod`eles. Estimation. IC. Compléments. La fonction de répartition empirique. • On appelle statistiques d'ordre de l'échantillon (x1
Note de référence pour la réponse à lenquête statistique mensuelle
Cette enquête mensuelle statistique sur les échanges de biens intra-UE suit En cours d'année un complément de l'échantillon sera sélectionné afin de ...
NOMENCLATURE DES PROFESSIONS ET CATEGORIES
responsabilité de l'Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques (I.N.S.E.E.) de manière accessoire en complément d'une activité.
1. Statistiques descritptives
La médiane est le quantile d'ordre 0.5 et le deuxième quartile. Page 4. COMPLÉMENTS DE STATISTISTIQUES. 4. 1.6.4. Moyenne.
GUIDE DUTILISATION DES NOMENCLATURES DACTIVITES ET
d'ordre juridique ou institutionnels sont écartés en tant que tels dans la Il se décline en Europe par la Nomenclature Combinée (NC) statistique et ...
![Compléments de probabilités et Statistique Inférentielle Compléments de probabilités et Statistique Inférentielle](https://pdfprof.com/Listes/16/25449-16L2-AD1-poly-1819.pdf.pdf.jpg)
Année 2018-2019
L2 ÉCONOMIEMODULE2 - OUTILSQUANTITATIFS
STATISTIQUES ETANALYSE DEDONNÉES1
Compléments de probabilités
et Statistique InférentielleJulie SchollerTable des matières
1.1 Cadre et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Loi jointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Cas à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Caractérisations dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.3 Caractérisations dans le cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Vecteurs aléatoires à valeurs dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Loi jointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.4 Espérance et variance d"une somme de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.5 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 Échantillon et statistique de l"échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Moyenne et variance empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Statistiques d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Cas particulier : loi mère gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Variance empirique corrigée et loi du Khi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Lien entre la moyenne empirique et la variance empirique . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Loi mère quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Application fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Application à une loi mère de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Une approche intuitive : la méthode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Qualités d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Biais d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Erreur quadratique moyenne d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.3 Estimateur convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Choix d"un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.1 Estimateur admissible au sens de l"erreur quadratique moyenne . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.2 Choix parmi les estimateurs sans biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Discussion autour de l"extension à un paramètre de dimensionk >1. . . . . . . . . . . . . . 42
1TABLE DES MATIÈRES
A.1 Notation matricielle des vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.2 Loi de Gauss multivariée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2irons un peu plus loin dans l"étude simultanée de deux variables aléatoires, nous considèrerons également
le cas de variables aléatoires à densité et nous finirons par une généralisation aux vecteurs oun-uplets de
variables aléatoires. Ce sera l"occasion de revoir les règles de manipulation des espérances, des variances et
des covariances.Toute situation probabiliste commence par une expérience aléatoire. Suite à une expérience aléatoire, on
note : •Ω: univers, ensemble de toutes les issues possibles; E : ensemble de tous les événements découlant deΩ; •P:E →R: loi de probabilité définie sur(Ω,E). Le triplet(Ω,E,P)est appelé espace probabilisé.Sur un espace probabilisé, on peut définir des variables aléatoires réelles, c"est-à-dire des fonctions qui, à une
issue, associent un nombre réel.SoitXune variable aléatoire réelle définie sur l"universΩmuni de la probabilitéP. On appelle support ou
univers image l"ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoireXet on note cet ensembleX(Ω).
•SiXest une variable aléatoire discrète, alors sa loi est donnée par l"applicationfX:X(Ω)→Rdéfinie
par : ?x?X(Ω), fX(x) :=P? [X=x]? =P(X=x).SiXest une variable aléatoire à densité (ou continue), alors sa loi est donnée par sa densité que nous
Uncouple de variables aléatoiressur(Ω,E,P)est un couple(X,Y), oùXetYsont des variables aléatoires réelles sur(Ω,E,P).Dans ce qui suit on désignera de façon générale par(X,Y)un couple de variables aléatoires. On ne considèrera
que des couples où les deux variables sont de même nature, discrètes ou continues, et on ne s"intéressera pas
au cas mixte. 1.On lance deux dés à 6 faces (un jaune et un rouge). On considère les deux variables aléatoiresXetY
représentant respectivement le plus petit résultat et le plus grand résultat. Alors(X,Y)est un couple
fini tel queX(Ω) =J1;6KetY(Ω) =J1;6K. 2.On choisit un étudiant de l"université de Tours au hasard. On considère les deux variables aléatoiresX
etYreprésentant respectivement sa taille et son poids. Alors(X,Y)est un couple de variables aléatoires
continues. On considère queX(Ω) =Y(Ω) =R?+. 3 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES {X=x} ∩ {Y=y}. Attention, cet événement peut être vide.En effet, dans le premier exemple avec les dés, l"événement{X= 4,Y= 3}est impossible, même si les
On appellesupportouunivers imagedu couple(X,Y), noté(X,Y)(Ω), l"ensemble des valeurs prises par(X,Y): (X,Y)(Ω) :=??X(ω),Y(ω)?
.Le support d"un couple peut être difficile à déterminer. Cependant il est inclus dansX(Ω)×Y(Ω). En effet on a : (X,Y)(Ω) :=??X(ω),Y(ω)?
X(ω),Y(ω?)?
= (X×Y)(Ω) =X(Ω)×Y(Ω).On se contentera donc de déterminerX(Ω)×Y(Ω)et de tenir compte des événements impossibles.
1.Minimum et maximum de deux dés. On aX(Ω)×Y(Ω) =J1;6K2. Cependant l"ensemble des événements
qui peuvent se réaliser est(X,Y)(Ω) =? (i,j)?J1;6K2, i6j? 2.T ailleet p oidsd"un étudian t.A priori il n"y a pas de restriction (X,Y)(Ω) =X(Ω)×Y(Ω) =?R?+?
2.La fonction de répartition jointe est un instrument fondamental pour donner la probabilité d"une région
Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires. On appellefonction de répartition jointede(X,Y), notéeF(X,Y)ouFX,Y, la fonction définie surR2par : Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes. On appelleloi du couple(X,Y)ouloi jointe des variables aléatoiresX etY, et on notef(X,Y), l"applicationf(X,Y):X(Ω)×Y(Ω)→[0,1] définie par ?x?X(Ω),?y?Y(Ω), f(X,Y)(x,y) =P? (X,Y) = (x,y)? =P? [X=x]∩[Y=y]? =P(X=x,Y=y).4 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRESXetYdésignent le plus petit et le plus grand résultat lors du lancer de deux dés équilibrés à6faces.
Par équiprobabilité, pour tous entiersietjdansJ1;6K, on a {X=i,Y=j}=? ?????sii > j ?(i,i)?sii=j ?(i,j),(j,i)?sii < jce qui entraîneP(X=i,Y=j) =? ??????0sii > j 136sii=j 236
Donner la loi d"un couple(X,Y), c"est
•donnerX(Ω)×Y(Ω)(ou les valeurs(X,Y)(Ω)prises par(X,Y)); •puis pour tout couple(x,y)dansX(Ω)×Y(Ω)(ou(X,Y)(Ω)), donner la probabilité Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes. Alors 1 = (x,y)?(X,Y)(Ω)f (X,Y)(x,y) =? x?X(Ω),y?Y(Ω)P(X=x,Y=y) =? x?X(Ω)? y?Y(Ω)P(X=x,Y=y).Vérifions cette formule dans l"exemple précédent du minimum et maximum de deux dés équilibrés lancés
successivement. (i,j)?J1,6K2P(X=i,Y=j) =6? i=113616i = 6×136 + 15×236 Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires à densité. On appellefonction de densité de proba-
bilité jointela fonction positive ou nulle définie surR2notéef(X,Y)telle que F (X,Y)(x,y) =? y ?x -∞f(X,Y)(u,v) du? dv. Lorsque l"on parlera d"un couple de variables aléatoires à densité, on supposera l"existence de cette fonction.
Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires à densité. 1 = (x,y)?(X,Y)(Ω)f(X,Y)(x,y) dxdy=? -∞f(X,Y)(x,y) dx? dy 5 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES On va s"intéresser au couple de variables aléatoires à densité(X,Y)dont la fonction de densité jointe est :
f(x,y) =1e-2yexy×1]0:1[2(x,y) =? ?1e-2yexysi0< x <1et0< y <1, 0sinon.
On a :
]0:1[ 2yexydxdy=?
1 0y?1y exy?1 0 dy=? 1 0(ey-1) dy= [ey-y]1
0= (e-1)-(1-0) =e-2
Donc [0;1] 21e-2yexydxdy= 1.
Là où la fonction de répartitionF(X,Y)estC2, on af(X,Y)(x,y) =∂2F∂x∂y (x,y). ???? ??? ???????Si l"on s"intéresse à un événement surXquelle que soit la valeur prise parY, on retombe sur la loi de la
variable aléatoireXqui, dans le contexte du couple, est appelée loi marginale deX. Pour tout couple(X,Y)de variables aléatoires discrètes sur(Ω,E,P), on appelle 1.première loi marginale du couple(X,Y)l"applicationfX:X(Ω)→[0;1]définie par
?x?X(Ω), fX(x) =P(X=x). 2.deuxième loi marginale du couple(X,Y)l"applicationfY:Y(Ω)→[0;1]définie par
Les lois marginales du couple(X,Y)sont exactement les lois des variables aléatoiresXetY. Pour tout couple(X,Y)de variables aléatoires discrètes sur(Ω,E,P), 1. la première loi marginale du couple (X,Y)vérifie, pour toutxdansX(Ω), P(X=x) =?
y?Y(Ω)P? [X=x]∩[Y=y]? y?Y(Ω)P? (X,Y) = (x,y)? 2. la deuxième loi marginale du c ouple(X,Y)vérifie, pour toutydansY(Ω), P(Y=y) =?
x?X(Ω)P? [X=x]∩[Y=y]? x?X(Ω)P? (X,Y) = (x,y)? .6 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES Reprenons l"exemple des minimumXet maximumYlors du lancer de deux dés à6faces. ?i?J1;6K,P(X=i) =6? j=1P(X=i,Y=j) =P(X=i,Y=i) +6? j=i+1P(X=i,Y=j) 136
+6? j=i+1236 =1 + 2(6-i)36 On en déduit queP(X=i) =136
+6? j=i+1236 =13-2i36 la ligneX=iet à la colonneY=jestP(X=i,Y=j). Pour obtenir la loi deX(respectivement deY), on fait la somme sur chaque ligne (respectivement colonne).
On considère une urne contenant une boule noire et deux boules blanches. On tire successivement deux boules dans cette urne, soit avec remise, ce qui constituera un premier mode de
tirage, soit sans remise, ce qui constituera un deuxième mode de tirage. On noteXla variable aléatoire égale à 0 si la première boule tirée est noire et à 1 si elle est blanche.
On noteYla variable aléatoire égale à 0 si la deuxième boule tirée est noire et à 1 si elle est blanche.
La loi du couple(X,Y)est donnée par le tableau suivant. Tirage avec remiseH
HHHHHXY01loi deX01
92
91
3 12 94
92
3 loi deY1 32
31Tirage sans remise
H HHHHHXY01loi deX001
31
3 11 31
32
3 loi deY1 32
31
On remarque que les lois marginales sont égales mais que la loi du couple est différente. Il n"est pas possible d"obtenir la loi d"un couple à partir de ses marginales. Il manque la connaissance des lois
conditionnelles qui donnent des informations sur les dépendances entre les variablesXetY. Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires réelles à densité sur(Ω,E,P). On appellefonctions de
densité marginalesdes variablesXetY, notéesfXetfY, les fonctions deRdansRdéfinies par : f X(x) =?
-∞f(X,Y)(x,y) dyetfY(y) =? -∞f(X,Y)(x,y) dx.7 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES la loi marginale deYen calculant sa densité marginale. Soity?]0;1[.
On afY(y) =?
-∞1e-2yexy×1]0:1[2(x,y) dx=? 1 01e-2yexydx=1e-2y?1y
exy?1 0 =1e-2(ey-1).quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires à densité. On appellefonction de densité de proba-
bilité jointela fonction positive ou nulle définie surR2notéef(X,Y)telle que F (X,Y)(x,y) =? y ?x -∞f(X,Y)(u,v) du? dv.Lorsque l"on parlera d"un couple de variables aléatoires à densité, on supposera l"existence de cette fonction.
Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires à densité. 1 = (x,y)?(X,Y)(Ω)f(X,Y)(x,y) dxdy=? -∞f(X,Y)(x,y) dx? dy 5 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRESOn va s"intéresser au couple de variables aléatoires à densité(X,Y)dont la fonction de densité jointe est :
f(x,y) =1e-2yexy×1]0:1[2(x,y) =? ?1e-2yexysi0< x <1et0< y <1,0sinon.
On a :
]0:1[2yexydxdy=?
1 0y?1y exy?1 0 dy=? 10(ey-1) dy= [ey-y]1
0= (e-1)-(1-0) =e-2
Donc [0;1]21e-2yexydxdy= 1.
Là où la fonction de répartitionF(X,Y)estC2, on af(X,Y)(x,y) =∂2F∂x∂y (x,y).???? ??? ???????Si l"on s"intéresse à un événement surXquelle que soit la valeur prise parY, on retombe sur la loi de la
variable aléatoireXqui, dans le contexte du couple, est appelée loi marginale deX. Pour tout couple(X,Y)de variables aléatoires discrètes sur(Ω,E,P), on appelle1.première loi marginale du couple(X,Y)l"applicationfX:X(Ω)→[0;1]définie par
?x?X(Ω), fX(x) =P(X=x).2.deuxième loi marginale du couple(X,Y)l"applicationfY:Y(Ω)→[0;1]définie par
Les lois marginales du couple(X,Y)sont exactement les lois des variables aléatoiresXetY. Pour tout couple(X,Y)de variables aléatoires discrètes sur(Ω,E,P), 1. la première loi marginale du couple (X,Y)vérifie, pour toutxdansX(Ω),P(X=x) =?
y?Y(Ω)P? [X=x]∩[Y=y]? y?Y(Ω)P? (X,Y) = (x,y)? 2. la deuxième loi marginale du c ouple(X,Y)vérifie, pour toutydansY(Ω),P(Y=y) =?
x?X(Ω)P? [X=x]∩[Y=y]? x?X(Ω)P? (X,Y) = (x,y)? .6 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES Reprenons l"exemple des minimumXet maximumYlors du lancer de deux dés à6faces. ?i?J1;6K,P(X=i) =6? j=1P(X=i,Y=j) =P(X=i,Y=i) +6? j=i+1P(X=i,Y=j) 136+6? j=i+1236 =1 + 2(6-i)36
On en déduit queP(X=i) =136
+6? j=i+1236 =13-2i36 la ligneX=iet à la colonneY=jestP(X=i,Y=j).Pour obtenir la loi deX(respectivement deY), on fait la somme sur chaque ligne (respectivement colonne).
On considère une urne contenant une boule noire et deux boules blanches.On tire successivement deux boules dans cette urne, soit avec remise, ce qui constituera un premier mode de
tirage, soit sans remise, ce qui constituera un deuxième mode de tirage.On noteXla variable aléatoire égale à 0 si la première boule tirée est noire et à 1 si elle est blanche.
On noteYla variable aléatoire égale à 0 si la deuxième boule tirée est noire et à 1 si elle est blanche.
La loi du couple(X,Y)est donnée par le tableau suivant.Tirage avec remiseH
HHHHHXY01loi deX01
9291
3 12 94
92
3 loi deY1 32
31Tirage sans remise
HHHHHHXY01loi deX001
313 11 31
32
3 loi deY1 32
31
On remarque que les lois marginales sont égales mais que la loi du couple est différente.
Il n"est pas possible d"obtenir la loi d"un couple à partir de ses marginales. Il manque la connaissance des lois
conditionnelles qui donnent des informations sur les dépendances entre les variablesXetY.Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires réelles à densité sur(Ω,E,P). On appellefonctions de
densité marginalesdes variablesXetY, notéesfXetfY, les fonctions deRdansRdéfinies par : fX(x) =?
-∞f(X,Y)(x,y) dyetfY(y) =? -∞f(X,Y)(x,y) dx.7 CHAPITRE 1. COUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES la loi marginale deYen calculant sa densité marginale.Soity?]0;1[.
On afY(y) =?
-∞1e-2yexy×1]0:1[2(x,y) dx=? 101e-2yexydx=1e-2y?1y
exy?1 0 =1e-2(ey-1).quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] Loi de probabilité `a densité : Exercices Corrigés en vidéo avec le
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