Statistiques dordre
COMPLÉMENT II. Statistiques d'ordre. (Biblio : Cottrell p. 53) On considère n variables aléatoires (X1
Statistiques dordre supérieur pour le traitement du signal
15 mars 2008 complément aux statistiques d'ordre 2. Elles donnent une description plus compl`ete des données et de leurs propriétés.
Compléments de probabilités et Statistique Inférentielle
2.1 Échantillon et statistique de l'échantillon . 2.1.3 Statistiques d'ordre . ... Chapitre A -Compléments sur les vecteurs aléatoires.
Compléments en ligne
L'enquête Emploi de l'Insee est la seule source statistique permettant économiques qui découlent des conditions d'ordre contractuel ou autre dans ...
Premi`eres notions de statistique statistiques descriptives
Quantiles. Mod`eles. Estimation. IC. Compléments. La fonction de répartition empirique. • On appelle statistiques d'ordre de l'échantillon (x1
Note de référence pour la réponse à lenquête statistique mensuelle
Cette enquête mensuelle statistique sur les échanges de biens intra-UE suit En cours d'année un complément de l'échantillon sera sélectionné afin de ...
NOMENCLATURE DES PROFESSIONS ET CATEGORIES
responsabilité de l'Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques (I.N.S.E.E.) de manière accessoire en complément d'une activité.
1. Statistiques descritptives
La médiane est le quantile d'ordre 0.5 et le deuxième quartile. Page 4. COMPLÉMENTS DE STATISTISTIQUES. 4. 1.6.4. Moyenne.
GUIDE DUTILISATION DES NOMENCLATURES DACTIVITES ET
d'ordre juridique ou institutionnels sont écartés en tant que tels dans la Il se décline en Europe par la Nomenclature Combinée (NC) statistique et ...
COMPLÉMENT II
Statistiques d"ordre
(Biblio : Cottrell p. 53) On considèrenvariables aléatoires(X1;:::;Xn)indépendantes de même loi de
densitéfsurR, de fonction de répartitionF.Proposition 1.Les(Xi)1insont presque sûrement tous distincts.Démonstration.En effet soiti6=j.P(Xi=Xj) =R
R210(xy)f(x)f(y)dxdy=R
Rf(x)(R
R1x(y)f(y)dy)dx
d"après Fubini. La deuxième intégrale est nulle car le singletonfxgest de mesure de Lebesgue nulle. On
en déduitP(9(i6=j);Xi=Xj) =P([i6=j(Xi=Xj))P
i6=jP(Xi=Xj) = 0 Par conséquent on peut définir pour presque tout!2 la permutation(!)telle que X (!)(1)(!)< X(!)(2)(!)<< X(!)(n)(!).Proposition 2.est une variable aléatoire à valeurs dans l"ensemble des permutationsSn, de loi uniforme
surSn.Démonstration.On commence par montrer queest bien une variable aléatoire : puisqueSnest un ensemble fini, il suffit de montrer que siest une permutation,1(fg)est mesurable. Or1(fg) =f!2
;X(1)(!)< X(2)(!)< :::X(n)(!)g=f!2 ;(X1;:::;Xn)2B(!)g, où B =f(x1;x2;:::;xn)2Rn;x(1)< x(2)<< x(n)g.Best bien un borélien deRn, par conséquent f!2 ;(X1;:::;Xn)2Bgest bien mesurable etest donc bien une variable aléatoire. Pour vérifier quea bien une loi uniforme, on va montrer que siest une permutation quelconque de S n,P(=)ne dépend pas de. En effetP(=) =P(f!2
;X(1)(!)< X(2)(!)< :::X(n)!g). Or la densité dun-uplet(X1;:::;Xn)est f(x1):::f(xn): elle est invariante par permutation des coordonnées, et len-uplet(X(1);:::;X(n))a donc même loi que(X1;:::;Xn). Par conséquent, P(f!2 ;X(1)(!)< X(2)(!)< :::X(n)!g) =P(f!2 ;X1(!)< X2(!)< :::Xn(!)g) ne dépend pas de.On note souvent pour simplifier les notationsX(i)(!) =X(!)(i).X(i)est appelé statistique d"ordre de
rangide l"échantillon(X1;:::;Xn). En particulier,X(1)= min(Xi)etX(n)= max(Xi). Égalementsouvent étudiée, sinest impair,X(n+1)=2est la médiane desXi. Il est facile de déterminer la loi deX(1)
et celle deX(n). Le résultat se généralise :Proposition 3.
L en-uplet(X(1);X(2);:::;X(n))a pour densitén!1x12Complément II. Statistiques d"ordre
Démonstration.-En effet, si Best un borélien deRn,P((X(1);X(2);:::;X(n))2B) =P
2SnP((X(1);X(2);:::;X(n))2Bet=)
=P2SnP((X(1);X(2);:::;X(n))2Bet(X(1)< X(2)< X(n)))
Or siest une permutation deSn,(X(1)< X(2)< X(n))a même loi que(X1;:::;Xn). Ainsi chacun desn!événements de la somme a la même probabilitéP((X1;X2;:::;Xn)2Bet(X1< X2<< Xn)) =R
B1x1 densité de(X(1);X(2);:::;X(n)est donc bienn!1x1Une fois qu"on a la densité du n-uplet, on pourrait trouver la densité d"une coordonnée en intégrant sur les autres : ainsi si1in, la densité deX(i)est : n!R R Néanmoins il est plus simple de s"inspirer du calcul classique dans les cas particuliersi= 1oui=n et de calculer la fonction de répartition deX(i): six2R, l"événementfX(i)xgest la réunion
(disjointe) pour tous leskides événements "Il y a exactementkéléments du n-uplets inférieurs àx
etnksupérieurs strictement àx". De plus, siK f1;:::;ngvérifiejKj=k, P(8j2K;Xjxet8j =2K;Xj> x) =F(x)k(1F(x))nkne dépend pas deK, mais uniquement de son cardinalk. Puisqu"il y an k parties de cardinalk, on a finalement P(X(i)x) =Pn
k=in k F(x)k(1F(x))nk)
Pour trouver la densité, il ne reste plus qu"à dériver par rapport àx: f X(i)(x) =f(x)Pn
k=ikn k F(x)k1(1F(x))nk)f(x)Pn
k=i(nk)n k F(x)k(1F(x))nk1)
En utilisant les égalitéskn
k =nn1 k1 et(nk)n k =nn1 k il vient f X(i)(x) =nf(x)Pn
k=in1 k1 F(x)k1(1F(x))nk)nf(x)Pn
k=in1 k F(x)k(1F(x))nk1)
Il reste à effectuer un changement de variable dans la première sommej=k1et à simplifier pour
obtenir enfin : f X(i)(x) =nf(x)n1
i1 F(x)i1(1F(x))ni=in
i f(x)F(x)i1(1F(x))ni. Deux cas particuliers sont souvent regardés :
(1) Cas où les Xisont uniformes sur[0;1]. La densité dun-uplet(X(1);X(2);:::;X(n))est alors n!10Rappels
quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30et de calculer la fonction de répartition deX(i): six2R, l"événementfX(i)xgest la réunion
(disjointe) pour tous leskides événements "Il y a exactementkéléments du n-uplets inférieurs àx
etnksupérieurs strictement àx". De plus, siK f1;:::;ngvérifiejKj=k, P(8j2K;Xjxet8j =2K;Xj> x) =F(x)k(1F(x))nkne dépend pas deK, mais uniquement de son cardinalk. Puisqu"il y an k parties de cardinalk, on a finalementP(X(i)x) =Pn
k=in kF(x)k(1F(x))nk)
Pour trouver la densité, il ne reste plus qu"à dériver par rapport àx: fX(i)(x) =f(x)Pn
k=ikn kF(x)k1(1F(x))nk)f(x)Pn
k=i(nk)n kF(x)k(1F(x))nk1)
En utilisant les égalitéskn
k =nn1 k1 et(nk)n k =nn1 k il vient fX(i)(x) =nf(x)Pn
k=in1 k1F(x)k1(1F(x))nk)nf(x)Pn
k=in1 kF(x)k(1F(x))nk1)
Il reste à effectuer un changement de variable dans la première sommej=k1et à simplifier pour
obtenir enfin : fX(i)(x) =nf(x)n1
i1F(x)i1(1F(x))ni=in
i f(x)F(x)i1(1F(x))ni.Deux cas particuliers sont souvent regardés :
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