TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE
16 mai 2005 fermé) dans E. En revanche B et C ne sont ni ouverts
Topologie 2- Licence maths
1.3 Ensembles ouverts et ensembles fermés . On notera que cette borne inférieure est bien définie car l'ensemble considéré n'est pas.
1 Lespace Rn
Il existe une sous-suite de (xk) convergeant dans Rn. 1.6 Ensembles compacts. Définition. X ? Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu
Topologie
Une intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert. Toute fonction continue sur un ensemble fermé borné non vide (d'un espace vectoriels de ...
Rappels sur R 1.1. Lensemble des nombres réels
Une intersection d'intervalles fermés bornés emboîtés non vides de R est un in- A est une réunion d'ensembles ouverts contenus dans A et c'est le plus ...
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28 sept. 2017 Un ensemble A dans Rn est dit ouvert si pour chaque u e A
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30 oct. 2013 nombre fini des demi-plans qui sont des ensembles convexes. a2 a1 0 1 2 ... Indiquer (sans justification) s'il est ouvert
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Aussi l'intersection (resp. l'union) finie d'ensembles ouverts (resp. fermés) est un ouvert (resp. fermé) de E. (
Chapitre 1 - Espaces topologiques
X = Rn avec T la famille des ensembles ouverts de Rn. Exemple 2. B(a r) étant un fermé borné
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Exercice 1 4 Soit (Ed) un espace métrique et A un ensemble de E (1) Supposons que A est ouvert ou fermé Montrer que la frontière ?A de A est nulle part
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Un ensemble A de Rn est : (i) ouvert si ?a ? A ?r > 0 tel que B(a r) ? A (ii) fermé si Ac est ouvert Proposition A est ouvert si et seulement si
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— On reprend l'ensemble S des matrices stochastiques de Mn(R) On sait que S est fermé Pour montrer que S est compact il suffit de montrer qu'il est borné car
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Dans tout le chapitre on considère X un espace metrique muni d'une distance d I Ouverts Soit O un sous ensemble de X On dit que O est ouvert lorsque ?a ?
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L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 12 [ 03021 ] [Correction] Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un
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3 sept 2020 · 1 3 Voisinages ensembles ouverts ensembles fermés On dit qu'un ensemble A est borné si et seulement s'il est contenu dans une boule
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L'erreur classique consiste à penser que fermé est le contraire d'ouvert Une partie peut être à la fois un ouvert et un fermé : c'est le cas de l'ensemble vide
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Un ensemble F ? X est fermé si son complémentaire Fc est ouvert Exemple 9 ? et X sont à la fois ouverts et fermés Proposition 1 a) Pour tout x ? X et
[PDF] Espaces topologiques
Un ensemble F ? X est fermé si son complémentaire Fc est ouvert c -à -d si Fc ? T Exemple 9 ? et X sont à la fois ouverts et fermés Proposition
Comment montrer qu'un ensemble est fermé ou ouvert ?
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n?1 ? X telle que xn ?? x ? O, il existe n0 tel que xn ? O pour tout n ? n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n?1 ? F on a limn?? xn ? F.3 sept. 2020Comment prouver qu'un ensemble est borné ?
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.Comment savoir si un ensemble est ouvert ?
Définition Un sous ensemble U de X sera dit ouvert si il est vide ou si pour tout élément x de cet ensemble on peut trouver une boule ouverte de rayon suffisamment petit en sorte qu'elle soit toute entière contenue dans U. de tous les ouverts de X s'appelle la topologie de X.- En topologie, un ouvert-fermé est un sous-ensemble d'un espace topologique X qui est à la fois ouvert et fermé. Il peut sembler contre-intuitif que de tels ensembles existent, puisqu'au sens usuel, « ouvert » et « fermé » sont antonymes.
TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE
P. Pansu
16 mai 2005
1 Qu"est-ce que la topologie?
C"est l"´etude des propri´et´es des objets qui sont conserv´ees par d´eformation continue.
Belle phrase, mais qui n´ecessite d"ˆetre pr´ecis´ee.1.1 Rappels
D´efinition 1Une partieU?Rest diteouvertesi pour toutx?U, il existe? >0tel que ]x-?,x+?[?U. Une partieF?Rest diteferm´eesi son compl´ementaireU=R\Fest ouvert. Exemple 2Un intervalle ouvert, comme]a,b[,]a,+∞[,]- ∞,b[,]- ∞,+∞[, est ouvert. Un intervalle ferm´e, comme{a},[a,b],[a,+∞[,]- ∞,b],]- ∞,+∞[, est ferm´e. Exemples extrˆemes :∅etRsont `a la fois ouverts et ferm´es. Proposition 3La r´eunion d"un nombre quelconque d"ouverts, l"intersection d"un nombre fini d"ouverts, sont ouvertes.La r´eunion d"un nombre fini de ferm´es, l"intersection d"un nombre quelconque de ferm´es, sont
ferm´ees. Proposition 4Une partieFdeRest ferm´ee si et seulement si pour toute suite convergente de pointsxn?F, la limitelimn→∞xnappartient `aF. Proposition 5Une fonctionf:R→Rest continue si et seulement si pour tout ouvertUdeR, f -1(U)est ouvert. On aimerait une caract´erisation analogue des fonctions continues sur un intervalle, ou plus g´en´eralement sur un sous-ensemble deR.1.2 Ouverts et ferm´es relatifs
D´efinition 6SoitEun sous-ensemble deR. Une partieA?Eest diteouverte dansEsi pour toutx?A, il existe? >0tel que]x-?,x+?[∩E?A. Une partieB?Eest diteferm´ee dansE si son compl´ementaireA=E\Best ouvert dansE. Exemple 7SoitE= [0,1[etA=]0,1[,B= [0,1/2[,C= [1/2,1[,D= [0,1/2]. AlorsAetB sont des ouverts deE, etCetDsont des ferm´es deE. Exemples extrˆemes :Eet∅sont `a la fois ouverts et ferm´es dansE. Remarquer queAest un ouvert deRetDest un ferm´e deR. Ils sonta fortioriouvert (resp. ferm´e) dansE. En revanche,BetCne sont ni ouverts, ni ferm´es dansR.Proposition 8SoitEun sous-ensemble deR.
Une partieA?Eest ouverte (resp. ferm´ee) dansEsi et seulement si il existe un ouvertU (resp. un ferm´eF) deRtel queA=E∩U(resp.A=E∩F). Une partieA?Eest ferm´ee dansEsi et seulement si pour toute suite(xn)d"´el´ements deA convergeant vers un pointxdeE,x?A. 1 Preuve.SiUest un ouvert deR,U∩Eest un ouvert deE. En effet, six?U∩E, il existe ? >0 tel que ]x-?,x+?[?U. Alors ]x-?,x+?[∩E?U∩E. R´eciproquement, soitAun ouvert deE. A chaquex?Acorrespond un intervalle ouvert I x=]x-?x,x+?x[ tel queIx∩E?A. PosonsU=? x?AI x. C"est une r´eunion d"ouverts deR, donc c"est un ouvert deR. Par construction,A=U∩E. Le cas des ferm´es se d´eduit de celui des ouverts (passer au compl´ementaire). SoitAun ferm´e deE,A=F∩Eo`uFest ferm´e dansR. Si (xn) est une suite d"´el´ements de Aqui converge vers un pointxdeE, alorsx?F(proposition 4), doncx?A. Inversement, supposons queA?Fn"est pas ferm´e. AlorsB=E\An"est pas un ouvert deE. Autrement dit, il existe un pointy?Btel que pour tout? >0 il existe un pointx?]y-?,y+?[∩E qui n"appartient pas `aB. On applique cette propri´et´e pour?= 1/n. On trouve un pointxn? E\B=Atel que|xn-y|<1/n. On a donc trouv´e une suite (xn) d"´el´ements deAqui convergevers un pointydeEqui n"appartient pas `aA. C"est la contrapos´ee de la propri´et´e de l"´enonc´e.D´efinition 9SoitEun sous-ensemble deR. SoitA?Eetx0?E. On dit queAest unvoisinage
dex0dansEs"il existe? >0tel que]x0-?,x0+?[∩E?A. Exemple 10A?Eest ouvert dansEsi et seulement siAest un voisinage de chacun de ses points. Par exemple, siE={0} ?[1,2[, alors{0}est un voisinage de 0 dansE, c"est un ouvert deE.1.3 Fonctions continues sur un sous-ensemble de R
D´efinition 11SoitEun sous-ensemble deR. Une fonctionf:E→Restcontinue surEsi pour toutx0?Eet tout? >0, il existeα >0tel que x?E,|x-x0|< α? |f(x)-f(x0)|< ?. Remarque 12SoitIun intervalle deR. Une fonctionf:I→Rest continue si et seulementsi elle est continue au sens usuel : continue en chaque point int´erieur, continue `a droite (resp. `a
gauche) aux bornes lorsqu"elles appartiennent `aI. Exemple 13SoitE= [0,1[. La fonctionfd´efinie surEparf(x) =1x-1est continue surE.La fonctiongd´efinie surEparg(x) =1x
pourx >0etg(0) = 0n"est pas continue surE. En revanche, les restrictions de ces fonctions `aE?={0}?[1/2,1[sont continues. SiEest un ensemble fini de points deR, toute fonction surEest continue. SiE=Z, toute fonction surEest continue. Proposition 14SoitEun sous-ensemble deR. Une fonctionf:E→Rest continue si et seulement si pour tout ouvertUdeE,f-1(U)est un ouvert deE. Preuve.Supposonsfcontinue surE. SoitUun ouvert deR. Soitx0?f-1(U), autrement dit,x0?Eety=f(x0)?U. CommeUest ouvert, il existe? >0 tel que ]y-?,y+?[?U. Par continu¨ıt´e def, il existeα >0 tel que x?E,|x-x0|< α? |f(x)-f(x0)|< ?. Alorsf(E∩]x0-α,x0+α[)?U, doncE∩]x0-α,x0+α[?f-1(U). Ceci prouve quef-1(U) est ouvert. Inversement, soitx0?Eet? >0. L"intervalle ]f(x0)-?,f(x0) +?[ est un ouvert deR. Alorsf-1(]f(x0)-?,f(x0) +?[) est ouvert. Il existe doncα >0 tel queE∩]x0-α,x0+α[? f -1(]f(x0)-?,f(x0) +?[). Six?Eet|x-x0|< α, alorsf(x)?]f(x0)-?,f(x0) +?[, donc|f(x)-f(x0)|< ?. Ceci prouve quefest continue enx0.Exercice 15SoitEun sous-ensemble deR. Soitf:E→Rune fonction d´efinie surE. Montrer
quefest continue si et seulement si pour toutx?Eet pour toute suite(xn)de points deE convergeant versx,limn→∞f(xn) =f(x). 2 Solution de l"exercice 15.Continu¨ıt´e et suites. Sens direct. Supposonsfcontinue surE. Soit (xn) une suite d"´el´ements deEqui converge vers x0?E. Fixons? >0. Par continu¨ıt´e def, il existeα >0 tel que
x?E,|x-x0|< α? |f(x)-f(x0)|< ?.Comme (xn) converge versx0, il existeNtel que
n≥N? |xn-x0|< α. Commexn?E, pourn≥N,|f(x)-f(x0)|< ?. Ceci prouve que limn→∞f(xn) =f(x). Inversement, supposons quefn"est pas continue surE. Alors il existe un pointx0?Eet un? >0 tels que pour toutα >0, il existex?Etel que|x-x0|< αet|f(x)-f(x0)| ≥?. On utilise cet ´enonc´e pour chaqueα= 1/n. On trouve, pour chaquen, un pointxn?Etel que |xn-x0|<1/net|f(xn)-f(x0)| ≥?. Alors la suitef(xn), qui ne s"approche pas def(x0), ne converge pas versf(x0).1.4 Objectif
On voit que les notions comme la continu¨ıt´e, la convergence de suites, les voisinages, les ouverts,
les ferm´es, ont un sens pour un sous-ensemble deR. Ils constituent le vocabulaire de la topologie.
L"objet de la suite du ce chapitre et de se familiariser avec les sous-ensembles deR, en accumulant des exemples instructifs d"ouverts, de ferm´es, de suites, de fonctions.2 Connexit´e
2.1 Peut-on ˆetre ouvert et ferm´e?
Exemple 16SoitE=R?=R\ {0}. SoitA=]- ∞,0[. AlorsAest `a la fois ouvert et ferm´e. En effet,Aest ouvert dansRdonca fortioridansE. Pour la mˆeme raison, son compl´ementaire B=E\A=]0,+∞[ est ouvert dansE, doncAest ferm´e dansE. Exercice 17SoitEun sous-ensemble deR. On suppose qu"il existe trois r´eelsa < c < btels que a?E,b?Emaisc /?E. Montrer qu"il existe une partieA?Equi est `a la fois ouverte et ferm´ee, mais qui n"est ni vide ni ´egale `aE. Solution de l"exercice 17.Ouverts et ferm´es `a la fois. On poseA=E∩]- ∞,c[ etB=E∩]0,+∞[. AlorsAetBsont ouverts dansEet sontcompl´ementaires l"un de l"autre (carc /?E), donc ils sont aussi ferm´es dansE. Par hypoth`ese,
A?=∅etB?=∅, doncA?=E.
D´efinition 18On dit qu"une partieEdeRestconnexesi on ne peut pas la diviser en deux ouverts disjoints et non vides. Autrement dit,Eest non connexe s"il existeAnon vide et distinct deE, tel queAsoit `a la fois ouvert et ferm´e dansE. Proposition 19Un sous-ensemble deRest connexe si et seulement si c"est un intervalle. Preuve.D"apr`es l"exercice 17, un sous ensemble connexeEdeRa la propri´et´e suivante : pour tousa,b?E, ]a,b[?E. Autrement dit, il estconvexe. D"apr`es la Proposition 21 du chapitre sur la borne sup´erieure, c"est un intervalle. Inversement, soitIun intervalle. SoientAetBdes parties non vides deI, disjointes, telles queA?B=I. Soita?Aetb?B. Quitte `a ´echangerAetB, on peut supposer quea < b. On 3borne sup´erieure (Proposition 15 du chapitre sur la borne sup´erieure), il r´esulte qu"il existe une
suite (xn) de points deAqui converge versc. D"autre part, ou bienc=b?B, ou bien l"intervalle ]c,b[ est enti`erement contenu dansB. Dans les deux cas, il existe une suite (yn) de points deBquiconverge versc. Par cons´equent, l"un des ensemblesAetBn"est pas ferm´e (Proposition 8).2.2 Connexit´e et valeurs interm´ediaires
Voici une seconde preuve de la connexit´e des intervalles. SoitIun intervalle. Supposons par l"absurde queI=A?Bo`uAetBsont deux ouverts non vides deI. D´efinissons une fonctionf surIen posantf(x) = 0 six?Aetf(x) = 1 six?B. Alorsfest continue surI. En effet, lacontinu¨ıt´e enx0ne d´epend que des valeurs de la fonction au voisinage dex0. Six0?A,f= 0 au
voisinage dex0, carAest ouvert, donc c"est un voisinage dex0. Six0?B,f= 1 au voisinage de x0carBest ouvert. Orfne prend que les valeurs 0 et 1, cela contredit le th´eor`eme des valeurs
interm´ediaires.3 Description des ouverts
3.1 Des exemples
Toute r´eunion d"intervalles ouverts est un ouvert. On peut par exemple prendre une r´eunion finie d"intervalles ouverts disjoints, comme U o`u une r´eunion infinie comme U2={x?R|cos(2πx)>0}=?
k?Z]k-14 ,k+14 On peut prendre des intervalles de plus en plus petits, comme U 3=? k?Z]k-3-|k|-1,k+ 3-|k|-1[. Bien qu"il y ait une infinit´e d"intervalles, la longueur totale deU3vaut 2 k?Z3 -|k|-1=23 + 2∞? k=13 -k-1= 1.Pour obtenir une famille d"intervalles ouverts disjoints qui contient tous les demi-entiers, il suffit
d"adjoindre `aU3l"ensemble V 3=? k?N]k+12 -3-|k|-2,k+12 + 3-|k|-2[ et son sym´etrique par rapport `a l"origine. Leur longueur totale n"exc`ede pas 29Pour couvrir tous les rationnels dont le d´enominateur est 4, il faut encore ajouter V 4=? k≥1]k2 +14 -3-|k|-3,k2 +14 + 3-|k|-3[ et son sym´etrique par rapport `a l"origine. Leur longueur totale n"excede pas 227
. A l"´etape suivante, il faut se m´efier, car 1/8 et 3/8 sont d´ej`a couverts par un intervalle deU3. Ca se complique vite, mais on con¸coit qu"on puisse fabriquer une famille d"intervalles ouverts deux `a deux disjoints qui contiennent tous les nombres rationnels dont le d´enominateur est une 4
puissance de 2, mais dont la longueur totale reste finie. Pourtant, le compl´ementaire de la r´eunion
de ces intervalles ne contient aucun intervalle!Question.Peut-on construire une r´eunion d"intervalles disjoints qui contient tous les rationnels,
mais dont la longueur totale reste finie?3.2 Composantes
L"ouvertU1est form´e de 3 morceaux, et chacun est un intervalle. Comment, dans un ouvert quelconque, reconnaˆıtre les morceaux? D´efinition 20SoitUun ouvert deR, etx?U. On appellecomposantedexdansUla r´eunion de tous les intervalles ouverts contenantxet contenus dansU. Exemple 21Dans l"ouvertU1, la composante de1/2est]0,1[. Proposition 22SoitUun ouvert deR. AlorsUest la r´eunion d"une famille d"intervalles ouverts deux `a deux disjointsU1,U2,...,Uk,..., en nombre fini ou infini. Preuve.Etant donn´e,x?U, notonsCxla composante dexdansU. C"est un intervalle ouvert. En effet, siyetzsont des points deCx, avecy < z, alors [y,z]?Cx. En effet, la r´eunion de deux intervalles contenantxest un intervalle contenantx. Or il existe des intervallesIcontenantxet yetJcontenantxetzqui sont contenus dansU. AlorsI?Jest un intervalle contenantxet contenu dansU, donc contenu dansCx. Comme il contientyetz, il contient [y,z]. Autrement dit,Cxestconvexe, c"est donc un intervalle. D"autre part,Cxest une r´eunion d"ouverts, donc un ouvert. Autrement dit,Cxest le plus grand intervalle ouvert contenantxet contenu dansU.Six?Uety?Cx, alorsx?Cy. En effet,
y?Cx?il existe un intervalleIcontenantxetyet contenu dansU?x?Cy, par sym´etrie. CommeCxest le plus grand intervalle ouvert contenantxet contenu dansU, et commeCyest un intervalle ouvert contenantxet contenu dansU,Cy?Cx. Par sym´etrie,Cx=Cy. Six,y?Uet siCx∩Cy?=∅, alorsCx=Cy. En effet, siz?Cx∩Cy, alorsCz=Cxet C z=Cy.On conclut que les composantes des ´el´ements deUforment une famille d"intervalles deux `a deux
disjoints, et dont la r´eunion estU, ce sont les composantes deU. Dans chaque composante, on peut choisir un nombre rationnel. On peut donc num´eroter les composantes par un sous-ensembleAdeQ. CommeQest d´enombrable,Al"est aussi. Ou bienAest fini, ou bien il peut ˆetre num´erot´e
par les entiers.Corollaire 23Soit? >0. Il existe une famille d"intervalles ouverts deux `a deux disjointsUk,
k= 1,2,...telle que - Tout nombre rationnel est contenu dans l"un desUk. - La longueur totale?∞ k=1long(Uk)< ?. Preuve.Soient (un)n?Nune suite de r´eels strictement positifs. Etant donn´es deux entiers p?Zetq≥1, soitIp,q=]pq -u|p|uq,pq +u|p|uq[. AlorsIp,qest un intervalle ouvert de longueur2u|p|uq. SoitU=?
p?Zq≥1Ip,q. AlorsUest un ouvert deRqui contient tous les rationnels. La somme des longueurs des intervallesIp,qvaut p≥0,q≥0u puq= 4(? p?Nu p)2. D"apr`es la proposition 22,Uest la r´eunion d"une famille d"intervalles ouverts deux `a deux disjointsUk. Montrons que la somme des longueurs desUkvaut au plus 4(? p?Nup)2. Pour chaque k, notonsJk={(p,q)|Ip,q?Uk}. Alors chaque couple (p,q) avecp?Zetq≥1 appartient `a un et 5 un seul desJk. En effet, commeIp,qest un intervalle ouvert contenu dansU, il rencontre une et une seule composante, dans laquelle il est enti`erement contenu. Remarquons queUk=? (p,q)?JkIp,q, donc (p,q)?Jk2u|p|uq, d"o`u k=1? (p,q)?Jk2u|p|uq p?Z,q≥12u|p|uq p?Nu p)2.On choisitun=?1/22-n-2, de sorte que?
p?Nup=12 ?1/2.3.3 Hom´eomorphismes D´efinition 24SoientEetE?deux sous-ensembles deR. Unhom´eomorphismedeEsurE?est une fonction bijectivef:E→E?telle quefetf-1soient continues. S"il existe un hom´eomorphisme deEsurE?, on dit queEetE?sonthom´eomorphes. Exemple 25La fonctionfd´efinie sur]0,1]parf(x) = 1/xest un hom´eomorphisme de]0,1]sur [1,+∞[. Exercice 26Montrer que deux intervalles ouverts sont toujours hom´eomorphes. Montrer que deux intervalles ferm´es born´es de longueurs non nulles sont toujours hom´eomorphes. Solution de l"exercice 26.Intervalles hom´eomorphes.SoitI=]a,b[ (resp. ]- ∞,b[, resp. ]a,+∞[) un intervalle ouvert. Soitfla fonction d´efinie sur
Rparf(x) =ae-x+bexe
-x+ex(resp.b-ex, resp.a+ex). Alorsfest un hom´eomorphisme deRsurI. En effet,fest continue etf-1, donn´ee par la formule f -1(y) =12 ?n(y-ab-y),resp.f-1(y) =-?n(b-y),resp.f-1(y) =?n(y-a), est continue. SoitI= [a,b] aveca < b. Soitfla fonction d´efinie sur [0,1] parf(x) =a(1-x) +bx. Alors fest un hom´eomorphisme de [0,1] surI. En effet,fest continue etf-1, donn´ee par la formule f -1(y) =y-ab-a, est continue. Exercice 27Montrer que si un sous-ensembleEdeRest hom´eomorphe `a un intervalle ouvert, alorsEest lui-mˆeme un intervalle ouvert. Solution de l"exercice 27.Ensembles hom´eomorphes `a un intervalle ouvert. Soitf:]0,1[→Eun hom´eomorphisme. D"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires,E=f(]0,1[) est un intervalle. Supposons queEest un intervalle ferm´e born´e. D"apr`es le th´eor`eme de
la borne atteinte appliqu´e `af-1, ]0,1[=f-1(E) est ferm´e born´e, contradiction. Supposons queE
est semi-ferm´e, de la forme [a,b[ ou [a,+∞[. Alors ]0,1[\{f-1(a)}est hom´eomorphe `a l"int´erieur
deEdonc est connexe, cela contredit l"exercice 17. On conclut queEest un intervalle ouvert. Th´eor`eme 1Deux ouverts deRsont hom´eomorphes si et seulement si ils ont le mˆeme nombre (fini ou infini) de composantes. 6 Preuve.SoientUetVdes ouverts deR. Soitf:U→Vun hom´eomorphisme. Alorsfenvoie chaque composante deUsur une composante deV. En effet, d"apr`es l"exercice 27, siCxest une composante deU,f(Cx) est un intervalle ouvert contenu dansV, doncf(Cx)?Cf(x). De mˆeme, f -1(Cf(x))?Cx, doncf(Cx) =Cf(x). Commefest bijective, siUancomposantes,Ven an aussi. SiUa une infinit´e de composantes,Ven a aussi une infinit´e. R´eciproquement, soientUetVdes ouverts ayant le mˆeme nombrende composantes. Num´erotons les composantes deUet deV: on obtient des intervalles ouvertsU1,...,Un,V1,...,Vn. D"apr`esl"exercice 26, il existe un hom´eomorphismefi:Ui→Vi. La fonction obtenue en juxtaposant lesfi
est un hom´eomorphisme deUsurV. SoientUetVdes ouverts ayant chacun une infinit´e de composantes. On peut num´eroter les composantes deUpar des entiers,U1,U2,...,Uk,..., et de mˆeme pour les composantes deV, V1,V2,...,Vk,.... De nouveau, on juxtapose des hom´eomorphismesfi:Ui→Vi. L"applicationf
obtenue est un hom´eomorphisme deUsurV. En effet, la continu¨ıt´e defen un pointxde?Ui ne d´epend que des valeurs defau voisinage dex. Or la composanteUi=Cxest un tel voisinage,sur lequelf=fi, doncfest continue. Le mˆeme argument s"applique `a la r´eciproquef-1.4 Un exemple de compact : l"ensemble de Cantor
SoitFun ferm´e deR. Son compl´ementaire est la r´eunion d"une famille d´enombrable d"inter-
valles ]an,bn[ deux `a deux disjoints. Supposons queFne contienne aucun intervalle ouvert. On a l"impression queF={an|n?N}?{bn|n?N}est d´enombrable. Il n"en est rien. L"objet de cette section est de pr´esenter un contre-exemple.4.1 D´efinition
On part de l"intervalleC0= [0,1]. On lui retire son tiers du milieu. On obtientC1= [0,1/3]? [2/3,1]. On recommence : on retire `a chacun des deux intervalles constituantC1son tiers du milieu. On obtientC2= [0,1/9]?[2/9,1/3]?[2/3,7/9]?[8/9,1]. Et on recommence...On peut d´efinir les ensemblesCn, r´eunions de 2nintervalles ferm´es de mˆeme longueur, par
r´ecurrence surn:Cn+1s"obtient en retirant son tiers du milieu `a chacun des intervalles constituant
C n. D´efinition 28On appelleensemble de Cantorl"ensemble C=? n?NC n.4.2 Lien avec le d´eveloppement en base 3
Le lemme suivant rappelle des propri´et´es du d´eveloppement en base 3. Lemme 29Tout r´eel positif ou nulxpeut s"´ecrire sous la forme x= 3mbm+ 3m-1bm-1+···+b0+ 3-1a1+ 3-2a2+···, o`u lesbiet lesajprennent les valeurs 0, 1 ou 2. Cette ´ecriture est unique sauf pour l"ensemble(d´enombrable) des rationnels dont le d´enominateur est une puissance de 3. Un tel nombre poss`ede
exactement deux d´eveloppements en base 3, l"un (qu"on baptise premier d´eveloppement dex) pour
lequelan?= 2,2 =an+1=an+2=···, l"autre qui ne diff`ere du premier qu"`a partir dun-`eme chiffre apr`es la virgule, avecanremplac´e paran+ 1et0 =an+1=an+2=···.Preuve.Exactement comme pour la base 10.On peut d´ecrire directement les ensemblesCn, grˆace au d´eveloppement en base 3 :Cns"obtient
en gardant certains intervalles de la subdivision de [0,1] en 3nintervalles ´egaux. Sixest l"origine
d"un intervalle deCn+1, alors 7 - ou bienx=x+ 0.3-n-1est d´ej`a l"origine d"un intervalle deCn+1, - ou bienx=y+ 2.3-n-1o`uyest l"origine d"un intervalle deCn+1.Par cons´equent, un r´eelxest l"origine d"un intervalle deCnsi et seulement si il est de la forme
m3-no`umest un entier qui s"´ecrit en base 3 sous la formem=b0+3b1+32b2+···+3n-1bn-1, et lesbivalent 0 ou 2 mais jamais 1. Autrement dit,xs"´ecritx= 0.bn-1bn-2...b0en base 3, avec b i?= 1 etb0= 2. Lemme 30Cnest l"ensemble des r´eelsx?[0,1]tels que dans au moins un des d´eveloppements dexen base 3, lesnpremiers chiffres apr`es la virgule sont diff´erents de 1. Cest l"ensemble des r´eels compris entre 0 et 1 dont au moins un d´eveloppement en base 3 ne comporte pas de 1, seulement des 0 et des 2. Exemple 31Par exemple,1 = 0.222...,1/3 = 0.1000...= 0.0222...et2/3 = 0.1222...=0.2000...sont des ´el´ements deA, mais pas4/9 = 0.10222...= 0.11000....
Preuve.Un r´eelxappartient `aCnsi et seulement si il est compris entre un r´eel de la forme y= 0.bn-1bn-2...b0ety+ 3-n, avecbi?= 1 etb0= 2. Autrement dit, six?=y+ 3-n, le second d´eveloppement en base 3 dexcommence par 0.bn-1bn-2...b0, avecbi?= 1. Six=y+ 3-n, alors le premier d´eveloppement en base 3 dexest 0.bn-1bn-2...b02222..., avecbi?= 1. Soitx?[0,1] un nombre qui n"est pas un rationnel dont le d´enominateur est une puissance de3. Soitx= 0.a1a2...son unique d´eveloppement en base 3. Alorsx?Cnsi et seulement si lesn
premiers chiffresa1,...ansont diff´erents de 1.x?Csi et seulement si ceci est vrai pour toutn, i.e. tous les chiffresaisont diff´erents de 1. Enfin, soitx?[0,1] un rationnel dont le d´enominateur est une puissance de 3. Si son premierd´eveloppementx=a1a2...am22222...ne comporte pas de 1, alorsxest l"extr´emit´e (droite) d"un
intervalle deCnpour toutn > m, doncx?C. Si son second d´eveloppementx=a1a2...am00000... ne comporte pas de 1, alorsxest l"origine d"un intervalle deCnpour toutn > m, doncx?C.R´eciproquement, si aucun des deux d´eveloppements dexn"est sans 1, alors le second d´eveloppement
dexcomporte un 1 `a lan-`eme place qui n"est pas suivi d"une infinit´e de 0, etxest contenu dansun tiers du milieu d"intervalle retir´e deCn-1pour obtenirCn, doncx /?C.4.3 Propri´et´es imm´ediates
1.Cest ferm´e (car c"est une intersection de ferm´es).
2.Cest born´e (il est contenu dans [0,1]).
3.Cest compact (r´esulte des deux propri´et´es pr´ec´edentes).
4.Cest non d´enombrable.
Le dernier point r´esulte du lemme 30, voir la preuve du th´eor`eme de Cantor sur la non d´enombrabilit´e deR.4.4 Int´erieur
D´efinition 32SoitA?R. L"int´erieurdeAest l"ensemble des pointsx?Atels queAsoit un voisinage dex. Autrement dit,xest un point int´erieur deAs"il existe? >0tel que]x-?,x+?[?A. Exemple 33Un ensembleAest ouvert si et seulement si l"int´erieur deA, c"estAtout entier.L"int´erieur de[0,1]est]0,1[.
Lemme 34L"ensemble de CantorCest d"int´erieur vide. Preuve.Par l"absurde. Soitx= 0.a1a2...un point int´erieur deC. Soitntel que [x,x+3-n[? A. Alorsy= 0.a1a2...an11111... < x+ 3-n, doncy?A. Oryposs`ede un seul d´eveloppement, qui comporte des 1, contradiction.84.5 Longueur
Lemme 35SoitU= [0,1]\C. Alors la longueur deU(longueur cumul´ee des intervalles disjoints composantU) vaut 1. Preuve.Soit?nla longueur deUn= [0,1]\Cn. CommeCncomporte 2nintervalles de longueur 3 -n,?n= 1-(23 )ntend vers 1. L"ouvertUnest compos´e de 2n-1 intervalles.Un+1s"obtient en ajoutant `aUndes intervalles disjoints entre eux et disjoints deUn. OrUest la r´eunion croissante desUn, donc l"ensemble de ses composantes et la r´eunion des ensembles de composantes desUn. Par cons´equent, sa longueur totale est lim?n= 1.4.6 Points isol´es, points d"accumulation D´efinition 36SoitA?R. Un pointadeAest ditisol´es"il existe? >0tel que]a-?,a+?[∩A= {a}. Un point qui n"est pas isol´e est appel´epoint d"accumulationdeA. Exemple 37SiAest un ensemble fini, alors tout point deAest isol´e. SoitB={1n |n?N}. Alors tout point deBest isol´e. En revanche, dansA={0} ?B, les points deBsont isol´es mais0 ne l"est pas.
Lemme 38Tout point deCest un point d"accumulation. Preuve.Soitxun point deA, soitx= 0.a1a2...un d´eveloppement en base 3 dexqui ne comporte pas de 1. Si lesaine valent pas tous 0 `a partir d"un certain rang. Par cons´equent, lasuiteaiprend une infinit´e de fois la valeur 2, en des places not´eesφ(n),n?N. Soitxnle nombre
obtenu en rempla¸cantaφ(n)par 0. Si tous lesaisont diff´erents de 1, alorsxn?A, lesxnsont tous
distincts et convergent versx, doncxn"est pas isol´e dansA. Sinon, lesaine valent pas tous 2 `a partir d"un certain rang, on peut donc approcherxpar des points deAobtenus en changeant un0 en 2 de plus en plus loin dans le d´eveloppement.9
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