[PDF] cours de Francis Clarke Analyse III Fonctions de plusieurs variables

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cours de

Francis Clarke

Analyse III

Fonctions de plusieurs variables

MAT2019L séquence 4

automne 2017 CM3

Analyse III Calendrier 2017 (les mercredi)

13 septembre cours

20 septembre cours TD

27 septembre cours TD

4 octobre cours TD

11 octobre cours TD

18 octobre cours TD

25 octobre cours TD

1 novembre

8 novembre cours TD

15 novembre cours TD

22 novembre cours TD

29 novembre cours TD

6 décembre cours TD

13 décembre cours TD

CT final : entre le 7 et le 17 janvier 2018 (2h)

Deuxième session : entre le 25 juin et le 6 juillet

Partiel (90 min) Le partiel sera en amphi et les DSTD en TD ; les dates sont à confirmerDSTD-3 Note finale :

20% partiel, 15% trois DSTD,

15% colles, et 50% CT

DSTD-1 DSTD-2

12

Mais en une seule dimension

EnL1vou savez rencontr´e :

•ladroit eetleth´eor`eme deBolzan o-Weie rstrass •laconve rgencedessuites •laconti nuit´edesfonctions •leth´e or`emedesvaleursinterm´ediai res •lesfonction s´el´ementaires •lad´ eriv´ee •leth´e or`emedesaccroissementsfinis •lesd´eve loppementslimit´es •l'int´egrale f(x)dx Beaucoup de phénomènes physiques dépendent de la position du système dans l'espace. Par exemple: la géolocalisation, le positionnement d'un satellite en orbite, les courants dans l'océan...

Autre exemple (calcul de la note finale)(c'est une fonction que l'on a intérêt à maximiser)Les fonctions de plusieurs variables

Lanotefi naleFducours :

F(x,y,z,p,u,v,t,r):R

8 →[0,20], o`u(x,y,z)son tlestrois notesdeDS, planoted u partiel,uetvdesdeuxc olles,tducontr ˆoleterminal, etrdurattr apage. 34
Exemple:designd'uncaniveau largeurdumat´eriau (`apli er)=? x?-2x

θxθxMaissurque l

domaine? lafonct ionf(x,θ)`amaxim iserairedelacou petrans versal e =xsinθ[?-2x+xcosθ] Eng´en ´eral,lafonctionfestd´efi nieseulement surunepart ieD?R n

L'ensembleD,qu iestsouve ntd´efini

implicitement,estledomainedef.

Exemple

f(x,y)=ln(1-x 2 -y 2

Ilfaut

1-x 2 -y 2 >0 ??x 2 +y 2 <1

DoncDiciserait labouleunit´eouve rtedans R

2 56

L'espace R

n et sa topologie Dansl'´etu dedesfonctionsdenvariables,l'espaceR n estlecont extesou s-jacent. Pourn>1,de sdomainesp luscompliqu´esquede simples intervallesdansladroiteentrenten jeu.

Ilfautu nvocabulai readapt´ e,etquelquesoutils

topologiquesetg´eom´etriques . R n estunespacevectoriel(onpeut formerdescomb inaisons lin´eaires,multiplierun´el´eme ntparunscalaireetc.). Sadimensionestn:c' estlenombred'´e l´emen tsdanstoutebase. Labasecanoniqueestconsti tu´eedesn´el´ements {e 1 ,e 2 ,...,e n o`ue 1 =(1,0,...,0),e 2 =(0,1,0...,0),etc. R n ={x=(x 1 ,x 2 ,...,x n )?R×R···×R}R 2 ={(x,y)?R×R}R 3 ={(x,y,z)?R×R×R}L'espaceR n

Saufpourn=1,R

n n'estpasuncorps (onn'ap asdedivisi on). 78

Lesnormess urR

n

Unenormeveutdireune fonction?·?:R

n →[0,∞[ ayantlespropr i´et´essu ivantes: •?u?>0pou rtoutu?=0,e t?0?=0 (d´efiniepositive); •?λu?=|λ|?u?pourtoutsc alaireλ?Retu?R n (positivementhomog`ene); n (in´egalit´edutriangle). Unenormec orrespond`aune fa¸condemesurerlataille d'un´el´eme ntdansR n .Il yainfi nim ent denormes diff´ere nt es. notation Labouleunit´eferm´e e(quicorrespond `aunecertaine norme)veutdirel' ensemble

B=B(0,1)=B

(0,1):= {u?R n

Labouleunit´eouver teveutdirel' ensemble

B =B (0,1)=B (0,1):= {u?R n :?u?<1}. Defa¸con plusg´en´er aleond´efinitle sboulesferm´eeset ouvertesdecentrewetdera yonr>0:

B(w,r)=B

(w,r):={u?R n B (w,r)=B (w,r):={u?R n :?u-w? yx

O`uestsit u´elepoint

1 2 x+ 1 2 y? z 1 z 2 =a x 1 x 2 +b y 1 y 2 (n=2)

Unecombinaisonlin´eairededeux pointsxety

dansR n veutdireu n´el´ementz?R n delafor me z=ax+by o`ulescoefficientsa,bdelacom binaison lin´eaire sontdesnom bresr´eel s.

Quandx?=y,l'ensembledes

combinaisonslin´eaires z=x+t(y-x)=(1-t)x+ty (o`utvariedansR)d´ecritla droited´etermin´eeparxety.

Unecombinaisonconvexededeux pointsxety

dansR n veutdireu n´el´ementz?R n delafor me z=(1-t)x+ty o`uler´eeltappartient`a[0,1].

Ils'agit doncd'unecombi naisonlin´ eairedexety

o`ulesdeuxco efficientssontpositifsou nulsetde somme1. 1112

D´efinitions:intervalledansR

n ;par tieconvexe

Soientxetydeuxpointsdan sR

n .Le segmen t (oul'in tervalle)ferm´e[x,y]es td´efinipar [x,y]={z?R n :z=(1-t)x+ty:t?[0,1]}.

Pourl'int ervalleouvert]x,y[,om ett re

t=0ett=1.

Onditq u'uneparti eUdansR

n estconvexesi x?U,y ?U=?[x,y]?U. xyyxxy pas convexe

D´efinition.UnepartieCdansR

n estditeconvexelorsque x,y?C,t?[0,1]=?(1-t)x+ty?C. Sensg´eom´etr ique:silapartieCcontientdeuxpoints, ellecontient aussilesegmententreles deuxpoints.

EnTD,onm ontrer a:

Proposition.Soit?·?unenormes urR

n .Al orssa bouleunit´e( ouverteouferm´ee)est convexe. 1314
norme euclidienne, p-norme, norme l p

Lanormeeuclidi ennedeR

n estd´efin iepar ?x? 2 x 2 1 +x 2 2 +···+x 2 n 1/2 ,x?R n

Doncladis tanceeu clidienneentredeuxpoi nts

(a,b)et(c,d)dan sR 2 estdonn´e epar ?(a,b)-(c,d)? 2 (a-c) 2 +(b-d) 2 1/2

LanormeinfinideR

n estd´efin iepar ?x? :=max i=1,2,...,n |x i |,x?R n Defa¸con plusg´en´eral e,pourchaquen ombrer´eel p?[1,∞[,ond´e fin itlap-normesurR n par ?x? p |x 1 p +|x 2 p +···+|x n p 1/p ,x?R n

Illustrations of unit

circles in different p- norms (every vector from the origin to the unit circle has a length of one, the length being calculated with length- formula of the corresponding p).

Unit circle (superellipse) in p =

3 2 norm

For a real number p ! 1, the p-norm or L

p -norm of x is defined by The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2-norm, and the 1-norm is the norm that corresponds to the Manhattan distance. The L -norm or maximum norm (or uniform norm) is the limit of the L p norms for p " #. It turns out that this limit is equivalent to the following definition: For all p ! 1, the p-norms and maximum norm as defined above indeed satisfy the properties of a "length function" (or norm), which are that: only the zero vector has zero length, the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar, and

the length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (triangle inequality).

Abstractly speaking, this means that R

n together with the p-norm is a Banach space. This Banach space is the L p space over R n

Relations between p-norms

The grid distance ("Manhattan distance") between two points is never shorter than the length of the line segment

between them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of any

vector is bounded by its 1-norm: This fact generalizes to p-norms in that the p-norm ||x|| p of any given vector x does not grow with p: ||x|| p+a $ ||x|| p

for any vector x and real numbers p ! 1 and a ! 0. (In fact this remains true for 0 < p < 1 and a ! 0.)

For the opposite direction, the following relation between the 1-norm and the 2-norm is known:

This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy-Schwarz inequality.

In general, for vectors in C

n where 0 < r < p:

When 0 < p < 1

In R n for n > 1, the formula defines an absolutely homogeneous function of degree 1 for 0 < p < 1; however, the resulting function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In R n for n > 1, the formula for

0 < p < 1

defines a subadditive function, which does define an F-norm. This F-norm is homogeneous of degree quelques boules unité dans R 2 ?(x,y)? 2 x 2 +y 2 1/2 ,(x,y)?R 2 .?(x,y)? 1 :=|x|+|y|,(x,y)?R 2 .?(x,y)? :=max{|x|,|y|},(x,y)?R 2 Laboule unit´eferm´ eedelanormeeuclidi ennesurR 2 B 2 (0,1):= (x,y)?R 2 :(xquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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