Axe de symétrie dune parabole (1)
Ce minimum vaut alors -4 . Exercices. Déterminer l'extremum de la fonction f définie par : 1. ( )= -.
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. III. Extremum. La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie.
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
polynôme de degré 2 est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole
Thème 16: La croissance dune fonction - Introduction
Définition : Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans son ensemble Le sommet d'une parabole va correspondre à un extremum de la.
Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c
Caractéristiques de la fonction du deuxième degré : zéro ; signe ; croissance/décroissance ; extrémum. • Caractéristiques d'une parabole d'axe vertical
Improved first-order second moment method for uncertainty
Cette linéarisation peut poser des problèmes si la valeur moyenne d'une des variables d'entrée est proche d'un extremum de la fonction. En effet la dérivée de
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
Dans ce cas l'équation ax2 +bx + c = 0 admet une unique solution donc la parabole admet son extremum sur l'axe des abscisses. Selon le signe de a
I – Fonction et polynôme de degré 2 1) Définition Une fonction
Tous les polynômes ont une courbe représentative formant une parabole. L'extremum d'une fonction polynôme de la forme f(x)= ax² + bx + c est atteint ...
1 Forme canonique 2 Calcul des coordonnées du sommet et
Tableau de variation : La courbe représentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite d'équation x = ?b. 2a pour axe de symétrie.
1ère S Fonctions polynômes du second degré (variations
La courbe ? de la fonction carrée a pour équation. 2. y x. = . C'est une parabole de sommet O. Dans les exemples on observe chaque courbe sur calculatrice
Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c
Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c Résous les équations suivantes par la méthode des carrés parfaits a) x2+ 14x – 32 = 0 b) x2+ 6x – 16 = 0 c) y = x2– 4x + 3 d) y = 3x2– 12x + 9 4TQ 6/7 Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c Résolution d’équations du second degré
CHAPITRE 1 : Fonctions du second degré
est une parabole de sommet S(? ;?) avec =? 2 et ? = f(?) Elle admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=? 2 2 Variation et extremum Si >0 la parabole est tournée vers le haut donc f est strictement décroissante sur ]? ? ; [ et strictement croissante sur [ ; +?[ f admet un minimum en ? égal à ?
Leçon 18 Extrêmums d’une fonction exponentielle
Exemple 1 : Soit une fonction yt 9 9 3 3 5; 3 3x x x x x x 22 a Écrire la fonction f en fonction de t b Montre que la fonction admet un minimum c Trouver la valeur de ce minimum Solution a y 9 9 3 3 5 3 3 9 3 9 3 5x x x x x x x x 22 22 y 3 3 2 9 3 9 3 x 2 3 y 3 3
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Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L
Quels sont les extremums d’une fonction ?
Extremums d’une fonction | Lelivrescolaire.fr Soient I un intervalle ouvert et c un réel de I.
Quel est l'axe de symétrie de la parabole?
Le graphique de la fonction f(x) = ax² + bx + c (avec a ? 0) est une parabole. Cette parabole : ?Possède un axe de symétrie: droite parallèle à y, d’équation x = ?b 2.a ?Possède un sommet: point d’intersection de la parabole avec l’axe de symétrie S ( ?b 2.a ; f ( ?b 2.a ) )
Comment déterminer les valeurs de X pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux ?
1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux. 2. a. Vérifier que la dérivée de f s'écrit sous la forme f ?(x) = ?1,5(x +1)(x? 2). b. Étudier les variations de f, dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1. .
Comment calculer un extremum local ?
1. Si f (c) est un extremum local de f, alors f ?(c)= 0. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. 2. Si f ? s'annule en c en changeant de signe, alors f (c) est un extremum local de f.
1 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I. Définition Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par
f(x)=ax 2 +bx+c , où a, b et c sont des nombres réels donnés et a ≠ 0. Exemples : - 2 ()54 9fxxx =-+ . On a : a = 5, b = -4 et c = 9. - 2 ()4gxxx =-+. On a : a = -1, b = 4 et c = 0. - La fonction carré est une fonction polynôme particulière telle que : a = 1, b = 0 et c = 0. - ()()
()31 2hxxx =+- . En effet : 22 ()36 235 2hxxx xxx =-+-=--. On a : a = 3, b = -5 et c = -2. On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'une parabole. " Jesus dit à ses disciples y2 = 2px. Ils ne comprirent pas, c'était une parabole. » Citation apocryphe Le mot vient du grec " parabolê » qui signifiait l'action de jeter à côté : " para » pour à côté et " bolein » pour jeter.
2 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr II. Variations Propriétés : Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que2
()fxax bxc=++. - Si a est positif, f est d'abord décroissante, puis croissante. - Si a est négatif, f est d'abord croissante, puis décroissante. a > 0 a < 0 Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 1 à 3 (page5) p117 n°1, 3 p120 n°31 Ex 4 à 11 (page5 et 6) p117 n°12, 14, 13* ; p118 n°18* p121 n°40* Tableaux de var. de fonctions du second degré données. Ex 1 à 3 (page5) p134 n°1 à 3 p136 n°32 Ex 4 à 11 (page5 et 6) p138 n°42, 44, 43* p138 n°48* p140 n°63* Tableaux de var. de fonctions du second degré données. ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
3 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr III. Extremum La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées. Définition : Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole. Exemple : La fonction f définie sur ℝ par 2
()4fxxx =-+admet un maximum. En effet, le coefficient devant x2 est négatif, f est d'abord croissante, puis décroissante. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que2
()fxax bxc=++ . Alors f admet un extremum pour x=- b 2a. Méthode : Déterminer les coordonnées de l'extremum d'une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/KgsQI1ksdbA Soit la fonction f définie sur ℝ par 2
()21 223 fxxx =-+. a) Quelle est la nature de l'extremum de la fonction f ? b) Déterminer les coordonnées de cet extremum. c) Construire le tableau de variations de f, puis vérifier en traçant sa courbe représentative à l'aide de la calculatrice. a) Le coefficient devant x2 est positif, f admet donc un minimum. b) Le minimum est atteint en 12
3 222b x a Or 2 (3)23123235 f=×-× += donc f admet un minimum égal à 5 pour 3x= . Les coordonnées du minimum sont (3 ; 5). c)
4 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr On pourra tracer la parabole à l'aide d'une calculatrice graphique pour vérifier. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 12 à 18 (page6) p117 n°5* Ex 19 et 20 (page6) Ex 12 à 18 (page6) p136 n°33 p138 n°39* Ex 19 et 20 (page6) ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 TP conseillé TP conseillé TP Tice1 p110 : Différentes paraboles p129 TP1 : Différentes paraboles ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
5 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercice 1 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions du second degré ? f(x)=3x2-3x+2 g(x)=-4x2+1 h(x)=-3x+9 i(x)=x-3()x+2() j(x)=5x-x2-8 k(x)=9x2 l(x)=1x2-3x+2 m(x)=x3x-6() Exercice 2 Justifier que chacune des fonctions suivantes est une fonction du second degré : f(x)=2x-1()5-x() g(x)=3xx-5()+3 h(x)=1-x()3+x() i(x)=2-x()2 Exercice 3 A l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère chaque fonction de l'exercice 2. Exercice 4 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont d'abord croissantes puis décroissantes ? f(x)=x2-2x+4 g(x)=-x2-7x+2 h(x)=5x2-3x+9 i(x)=3x-x2+1 j(x)=-9x2+2 k(x)=x+3()-x+2() l(x)=-2x1-2x() m(x)=-x+1()2 Exercice 5 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=2x2-4x+5. 1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. 2) En déduire le tableau de variations de f. Exercice 6 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=-3x2-12x+1. 1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. 2) En déduire le tableau de variations de f. Exercice 7 Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations correspondent au tableau de variations ci-contre : f(x)=-x2+2x+2 g(x)=x2-3x+5 h(x)=-2x2+x+2 i(x)=-2x
2 +4x+1 j(x)=1-x()2-x() k(x)=2x-1 4+xExercice 8 Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations correspondent au tableau de variations suivant : f(x)=x2+2x-2 g(x)=-x2+5x-3 h(x)=x
2 -2x+5 i(x)=x 2 -8x+17 j(x)=x-4 2 +1 k(x)=2x-7 x+3Exercice 9 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=3x2-3x-2. 1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. 2) Conjecturer le nombre de solutions de l'équation 3x2-3x-2=0 et une valeur approchée des solutions éventuelles.
6 sur 6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercice 10 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=-2x2+3x+4. 1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation graphique de la fonction f. 2) Conjecturer le nombre de solutions de l'équation -2x2+3x+4=0 et une valeur approchée des solutions éventuelles. Exercice 11 Conjecturer le nombre de solutions de l'équation -2x2+x-5=0 et une valeur approchée des solutions éventuelles. Exercice 12 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un minimum ? f(x)=-2x2+x+2 g(x)=-x2-4x+1 h(x)=-x2+7x+9 i(x)=3x2-2x+6 j(x)=5-x()4-x() k(x)=3x-5 Exercice 13 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un maximum ? f(x)=-x2+6x g(x)=5x2-2x+9 h(x)=-4x2+x+1 i(x)=x2+7 j(x)=x-1()8-4x() k(x)=-x-2 Exercice 14 À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de l'extremum de chaque fonction en précisant s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. f(x)=x2+2x+1 g(x)=-2x2+8x-2 h(x)=x2-2x+3 i(x)=-x2+6x+5 j(x)=3x2+3x k(x)=-x2-3x-2 Exercice 15 À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de l'extremum de chaque fonction en précisant s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. f(x)=10x2+3x+1 g(x)=-8x2+x-5 h(x)=50x2-6 Exercice 16 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x2-2x+4. 1) Quelle est la nature de l'extremum de f (minimum ou maximum) ? Justifier. 2) Pour quelle valeur de x est-il atteint ? Calculer cet extremum. 3) Construire le tableau de variations de f, puis vérifier en traçant sa courbe représentative à l'aide de la calculatrice. 4) Reproduire la courbe dans un repère. Exercice 17 Même exercice avec la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x2-4x-1. Exercice 18 Même exercice avec la fonction f définie sur ℝ par f(x)=-x2+6x-8. Exercice 19 Même exercice avec la fonction f définie sur ℝ par f(x)=-4x2+4x-4. Exercice 20 Même exercice avec la fonction f définie sur ℝ par f(x)=9x2-36x+32. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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