Thème 16: La croissance dune fonction

Axe de symétrie dune parabole (1)

Ce minimum vaut alors -4 . Exercices. Déterminer l'extremum de la fonction f définie par : 1. ( )= -.

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. III. Extremum. La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie.

SECOND DEGRÉ (Partie 1)

polynôme de degré 2 est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole

Thème 16: La croissance dune fonction - Introduction

Définition : Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans son ensemble Le sommet d'une parabole va correspondre à un extremum de la.

Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c

Caractéristiques de la fonction du deuxième degré : zéro ; signe ; croissance/décroissance ; extrémum. • Caractéristiques d'une parabole d'axe vertical

Improved first-order second moment method for uncertainty

Cette linéarisation peut poser des problèmes si la valeur moyenne d'une des variables d'entrée est proche d'un extremum de la fonction. En effet la dérivée de

SECOND DEGRÉ (Partie 2)

Dans ce cas l'équation ax2 +bx + c = 0 admet une unique solution donc la parabole admet son extremum sur l'axe des abscisses. Selon le signe de a

I – Fonction et polynôme de degré 2 1) Définition Une fonction

Tous les polynômes ont une courbe représentative formant une parabole. L'extremum d'une fonction polynôme de la forme f(x)= ax² + bx + c est atteint ...

1 Forme canonique 2 Calcul des coordonnées du sommet et

Tableau de variation : La courbe représentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite d'équation x = ?b. 2a pour axe de symétrie.

1ère S Fonctions polynômes du second degré (variations

La courbe ? de la fonction carrée a pour équation. 2. y x. = . C'est une parabole de sommet O. Dans les exemples on observe chaque courbe sur calculatrice

Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c

Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c Résous les équations suivantes par la méthode des carrés parfaits a) x2+ 14x – 32 = 0 b) x2+ 6x – 16 = 0 c) y = x2– 4x + 3 d) y = 3x2– 12x + 9 4TQ 6/7 Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c Résolution d’équations du second degré

CHAPITRE 1 : Fonctions du second degré

est une parabole de sommet S(? ;?) avec =? 2 et ? = f(?) Elle admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=? 2 2 Variation et extremum Si >0 la parabole est tournée vers le haut donc f est strictement décroissante sur ]? ? ; [ et strictement croissante sur [ ; +?[ f admet un minimum en ? égal à ?

Leçon 18 Extrêmums d’une fonction exponentielle

Exemple 1 : Soit une fonction yt 9 9 3 3 5; 3 3x x x x x x 22 a Écrire la fonction f en fonction de t b Montre que la fonction admet un minimum c Trouver la valeur de ce minimum Solution a y 9 9 3 3 5 3 3 9 3 9 3 5x x x x x x x x 22 22 y 3 3 2 9 3 9 3 x 2 3 y 3 3

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Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L

Quels sont les extremums d’une fonction ?

Extremums d’une fonction | Lelivrescolaire.fr Soient I un intervalle ouvert et c un réel de I.

Quel est l'axe de symétrie de la parabole?

Le graphique de la fonction f(x) = ax² + bx + c (avec a ? 0) est une parabole. Cette parabole : ?Possède un axe de symétrie: droite parallèle à y, d’équation x = ?b 2.a ?Possède un sommet: point d’intersection de la parabole avec l’axe de symétrie S ( ?b 2.a ; f ( ?b 2.a ) )

Comment déterminer les valeurs de X pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux ?

1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux. 2. a. Vérifier que la dérivée de f s'écrit sous la forme f ?(x) = ?1,5(x +1)(x? 2). b. Étudier les variations de f, dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1. .

Comment calculer un extremum local ?

1. Si f (c) est un extremum local de f, alors f ?(c)= 0. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. 2. Si f ? s'annule en c en changeant de signe, alors f (c) est un extremum local de f.

LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 29

3C - JtJ 2016

Thème 16: La croissance d'une fonction

Introduction :

Dans ce chapitre, nous allons utiliser des renseignements fournis par la dérivée d'une fonction afin de dégager le comportement de la fonction sur un intervalle déterminé. Nous nous efforcerons en particulier de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante et d'en calculer les points dont la 2

ème

coordonnée est maximum ou minimum.

16.1 La croissance d'une fonction

Définition

Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans son ensemble de définition.

La fonction

f est dite croissante sur I si elle prend des valeurs de plus en plus grandes lorsque x croît. Elle est dite décroissante sur I si elle prend des valeurs de plus en plus petites lorsque x croît.

Modèle 1 :

Le tableau de signes,

le tableau de croissance: Considérons la fonction représentée ci-dessous : a) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est croissante. b) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est décroissante.

Nous coderons ceci sous la forme d'un

tableau de croissance Ce dernier tableau ne doit pas être confondu avec le tableau de signes de la fonction f :

30 THÈME 16

3C - JtJ 2016

Exercice 16.1:

On considère les fonctions

f représentées sur les 2 graphiques ci- dessous. a) b)

Dans chacun des cas :

1) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f. 2) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.

Modèle 2 :

Le tableau de signes,

le tableau de croissance: Considérons la fonction représentée ci-dessous : a) Déterminer graphiquement l'E D de f b) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f. c) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f. -8-6-4-2 2 4 6 -4-22 4

LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 31

3C - JtJ 2016

Exercice 16.2:

On considère les fonctions

f représentées sur les 2 graphiques ci- dessous. a) b)

Dans chacun des cas :

Déterminer l'E

D de f 2) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f. 3) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.

Définition

• Une fonction définie sur un intervalle [ a b ] admet un maximum local en un point c si pour tout voisin x de c, f x f c • Elle admet un minimum local en c' si pour tout voisin x de c', f x f c

Maximum local Minimum local

Modèle 3 :

Les extremums locaux

d'une fonction: Considérons la fonction représentée ci-dessous : Déterminer graphiquement les coordonnées des minimums et maximums locaux de f. -8-6-4-2 2 4 6 -4-22 4

32 THÈME 16

3C - JtJ 2016

Exercice 16.3:

On considère les fonctions

f représentées sur les 2 graphiques ci- dessous : a) b)

Dans chacun des cas :

Déterminer graphiquement les zéros de f.

2) Déterminer graphiquement les coordonnées des extremums de f. 3) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction es t croissante.

Exercice 16.4:

Un appareil de mesure a permis de relever la température de 6 heures à 24 heures pendant une même journée. La courbe ci- dessous représente la température f (t) relevée en fonction de l'heure t a)

Quelle est la température à 8 heures ?

Déterminer f(8) ?

c) À quelle(s) heure(s) la température est-elle de 4°C. d)

Résoudre graphiquement f(t)=4.

e) Quelles sont les températures maximales et minimales ? f) Sur quelle plage horaire, la température augmente-t-elle ? g) Aux environs de quelle heure, la température a-t-elle le plus augmenté ? h) À quoi correspond, dans cet exemple, la dérivée de la fonction f(t) représentée ? i)

Résoudre graphiquement f (t) > 0.

-8-6-4-2 2 4 6 -4-22 4 6

LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 33

3C - JtJ 2016

16.2 Relation entre croissance et dérivée

Considérons la courbe suivante :

On constate:

• En tout point de [ a ; b [, la pente de la tangente est positive. Donc f (x)>0 pour tout x [ a ; b [. • En tout point de ] b ; c [, la pente de la tangente est négative. Donc f (x)<0 pour tout x ] b ; c [. • En tout point de ] c ; d ], la pente de la tangente est positive. Donc f (x)>0 pour tout x ] c ; d ]. Ce résultat se généralise en un théorème sur tout interva lle I :

Théorème

f est croissante sur I f '(x) > 0 pour tout x I f est décroissante sur I f '(x) < 0 pour tout x I Déterminons maintenant une condition sur f(x)=0 pour chercher les extremums (minimums ou maximums) à l'aide des 3 exemples suivants:

On constate que si c est un maximum,

f (c)=0, f (x)>0 avant c et f (x)<0 après c.

De même, si c est un minimum, f (c)=0,

f (x)<0 avant c et f (x)>0 après c.

MAIS la seule condition

f (c)=0 n'im- plique pas que l'on ait un extremum, en effet, ce 3

ème

exemple admet une pente de tangente nulle en c sans que l'on ait un extremum. On constate que cet exemple diffère également des 2 autres, car le signe de f (x) est le même à gauche et à droite de c a cb acb a cb

34 THÈME 16

3C - JtJ 2016

Théorème :

Soit f une fonction dérivable sur [a ; b]. Les extremums locaux de f sur [a ; b] sont: • les points où la dérivée s'annule et change de signe ; • les bords de l'intervalle a et b.

Remarque

Parmi tous les minimums locaux, nous appellerons minimum absolu , le plus petit des minimums de f sur [a ; b]. Idem pour le maximum absolu.

Exercice 16.5:

Soit la fonction f(x)=x

3 4x 2 +4x représentée ci-dessous : a)

Résoudre graphiquement f(x)=0, f(x)=0.

Résoudre graphiquement f(x)>0, f(x)>0.

Résoudre graphiquement f(x)<0, f (x)<0.

d) Sur l'intervalle [-1 ; 3], déterminer les coordonnées de tous les min et max locaux. e) Sur l'intervalle [-1 ; 3], déterminer les coordonnées de tous les min et max absolus. f)

Déterminer le tableau de croissance de f.

http://www.javmath.ch a b y x

LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 35

3C - JtJ 2016

16.3 Étude de la croissance d'une fonction grâce à la dérivé

Modèle 4 :

L'étude de la croissance:

Étudier la croissance de f(x) = 2x

3 + 4 x 2 - 8x + 7.

Exercice 16.6:

Étudier la croissance des fonctions suivantes:

a) f x ) = -x 2 + 3 x - 2 b) f (x) = x 3 - 8x 2 + 5 x - 1 c) f x x 4 - 8x 2 + 1 d) f (x) = x 3 x - 1) 2 e) f x ) = (x 2 - 10x) 4 f) f (x) = 2x + 4 x g) f x 2x3 x+5 h) f (x) = x1 2 x+2

Exercice 16.7:

La fonction N(t)=t

4 +8t 2 +10 (0 t 3), dans laquelle t est le temps en semaines depuis le début d'une épidémie, repré sente le nombre de milliers de personnes atteintes d'un certain virus. Déterminer l'intervalle de temps durant lequel le nombre de malades augmente.

36 THÈME 16

3C - JtJ 2016

Exercice 16.8:

Une campagne publicitaire génère le profit

P(x)=4x

3 48x
2 +144x
dans lequel x représente les frais de publicité, (0 x 4). Sur quel intervalle de x, le profit décroît-il ?

Exercice 16.9:

La taille d'un enfant (en cm) de moins de 10 ans peut être modélisée par la fonction t(x)=182,88x+508 x+10 où x représente son âge (en année). 1

ère

partie : a) Calculer t(5) et donner sa signification concrète. b)

Calculer t (x).

ème

partie : c)

En se rappelant que t'(x)=t(x+x)t(x)

x (lorsque x 0), montrer que l'unité de t (x) correspond à des cm/année. d) En déduire à quoi correspond concrètement t (x). e) Calculer la vitesse de croissance d'un enfant de 5 ans.

Exercice 16.10:

Un centre de ski a observé que sa clientèle C lors de la x

ème

journée de la saison est donnée par la fonction

C(x)=6000x

x 2 +6400
a)

Combien y a-t-il de clients durant la 20

ème

journée ? Est-il exact que le nombre de clients va encore augmenter durant la 21

ème

journée ? b)

Combien y a-t-il de clients durant la 100

ème

journée ? Est-il exact que le nombre de clients va encore augmenter durant la 101

ème

journée ? c) Sur quel intervalle, la clientèle est-elle croissante ? d) Après combien de jours, le centre de ski admettra-t-il un maximum de clients ? e) Lequel de ces 2 graphes représente la fonction C(x) ?

LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 37

3C - JtJ 2016

Modèle 5 :

Sur l'intervalle [-3 ; 3], étudier les extremums locaux et absolus de f x ) = 2quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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[PDF] Thème 16: La croissance dune fonction - Introduction

Quels sont les extremums d’une fonction ?

Quel est l'axe de symétrie de la parabole?

Comment déterminer les valeurs de X pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux ?

Comment calculer un extremum local ?

LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 29

Thème 16: La croissance d'une fonction

Introduction :

ème

16.1 La croissance d'une fonction

Définition

La fonction

Modèle 1 :

Le tableau de signes,

Nous coderons ceci sous la forme d'un

30 THÈME 16

Exercice 16.1:

On considère les fonctions

Dans chacun des cas :

Modèle 2 :

Le tableau de signes,

LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 31

Exercice 16.2:

On considère les fonctions

Dans chacun des cas :

Déterminer l'E

Définition

Maximum local Minimum local

Modèle 3 :

Les extremums locaux

32 THÈME 16

Exercice 16.3:

On considère les fonctions

Dans chacun des cas :

Déterminer graphiquement les zéros de f.

Exercice 16.4:

Quelle est la température à 8 heures ?

Déterminer f(8) ?

Résoudre graphiquement f(t)=4.

Résoudre graphiquement f (t) > 0.

LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 33

16.2 Relation entre croissance et dérivée

Considérons la courbe suivante :

On constate:

Théorème

On constate que si c est un maximum,

De même, si c est un minimum, f (c)=0,

MAIS la seule condition

ème

34 THÈME 16

Théorème :

Remarque

Exercice 16.5:

Soit la fonction f(x)=x

Résoudre graphiquement f(x)=0, f(x)=0.

Résoudre graphiquement f(x)>0, f(x)>0.

Résoudre graphiquement f(x)<0, f (x)<0.

Déterminer le tableau de croissance de f.

LA CROISSANCE D'UNE FONCTION 35

16.3 Étude de la croissance d'une fonction grâce à la dérivé

Modèle 4 :

L'étude de la croissance:

Étudier la croissance de f(x) = 2x

Exercice 16.6:

Étudier la croissance des fonctions suivantes:

Exercice 16.7:

La fonction N(t)=t

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Exercice 16.8:

Une campagne publicitaire génère le profit

P(x)=4x

Exercice 16.9:

ère

Calculer t (x).

ème

En se rappelant que t'(x)=t(x+x)t(x)

Exercice 16.10:

ème

C(x)=6000x

Combien y a-t-il de clients durant la 20