Cours de Mathématiques

Dérivées des fonctions usuelles. Fonction. Dérivée. Ensemble de définition. Ensemble de dérivabilité k ? IR (constante).

Fonctions dune variable réelle

2.2 Limites des fonctions usuelles . 2.3 Opérations sur les limites . ... Une fonction affine est dérivable sur IR de dérivée f?(x) = a.

Dérivation des fonctions - XyMaths

Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/1STI/ Dérivées des fonctions usuelles ... Opérations sur les dérivées. Fonction. Dérivée ku k ? IR.

Développements limités

sorte que leurs dérivées en 0 coïncident avec celles de la fonction Nous verrons que toutes les fonctions usuelles admettent un développement limité.

Initiation et travaux pratiques en Matlab

lookfor mot cle lance une recherche sur toutes les fonctions Matlab et retourne toutes opérations usuelles sur les variables ou valeurs numériques.

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11 Dérivée d'une fonction . Dérivées. Trigonométrie. Fonctions usuelles. Développements limités ... Les nombres complexes définitions et opérations.

PROGRAMME DE MATHEMATIQUES DES BREVETS DE

VU l'avis de la commission professionnelle consultative « bois et dérivés » en fonctions de référence par opérations ... fonctions causales usuelles.

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11 janv. 2021 7.3.6 Fonctions usuelles . ... 13.7 Tangentes en un point et fonctions dérivées . ... L'espace usuel entre deux paragraphes est contenu.

LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)

On dit que la fonction f admet pour limite L en +? si tout intervalle ouvert contenant 3) Limites des fonctions usuelles ... Opérations sur les limites.

Cours de Mathématiques - Sup MPSI PCSI PTSI TSI En partenariat

23 mars 2011 12.1 Dérivée en un point fonction dérivée . ... 14.2 Développementlimité des fonctions usuelles .

Sup MPSI PCSI PTSI TSI

En partenariat avec l'association Sésamath http://www.sesamath.net et le site http://www.les-mathematiques.net

Document en cours de relecture

Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron

23 mars 2011

Table des matières1 Nombres complexes19

1.1 Le corpsCdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20

1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.2 Construction deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.3 Propriétés des opérations surC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Représentation géométrique des complexes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Représentation d'Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Module d'un nombre complexe, inégalités triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1 GroupeUdes nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.1 Argument d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Racinesn-ièmes de l'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 33

1.8 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8.1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 37

1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 37

1.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 38

1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.1 Translations, homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 38

1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.11.2 Polynômes, équations, racines de l'unité . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.11.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2 Géométrie élémentaire du plan62

2.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.2 Produit d'un vecteur et d'un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 64

2.2 Modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.1 Repères Cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 67

Équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 68

2.2.3 Repères polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 69

Équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 70

2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 70

2.3.2 Interprétation en terme de projection . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 72

2.4.2 Interprétation en terme d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4.3 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4.5 Applicationdudéterminant: résolutiond'unsystèmelinéairede Cramer dedeuxéquationsà deux

inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 74

2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.2 Lignes de niveau deMu.AM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.3 Lignes de niveau deMdet

u,AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5.4 Représentation paramétrique d'une droite . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5.5 Équation cartésienne d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.8 Distance d'un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.9 Équation normale d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.5.10 Équation polaire d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 81

2.6.2 Équation cartésienne d'un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.3 Représentation paramétrique d'un cercle . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.6.4 Équation polaire d'un cercle passant par l'origine d'un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6.5 Caractérisation d'un cercle par l'équationMA.MB0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6.6 Intersection d'un cercle et d'une droite . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.7.1 Produit scalaire et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.7.2 Coordonnées cartésiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.7.3 Géométrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 99

2.7.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.7.6 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 111

3 Géométrie élémentaire de l'espace113

3.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.1.1 Combinaisons linéaires de vecteurs, droites et plansdans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.1.2 Vecteurs coplanaires, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.1.3 Orientation de l'espace, base orthonormale directe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.2 Mode de repérage dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.2.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 116

Calcul algébrique avec les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 116

Norme d'un vecteur, distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . 117

3.2.2 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 119

3.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.4.1 Définition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.4.2 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.4.3 Propriétés du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 122

Quelques exemples d'applications linéaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . 123

3.4.4 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.5 Déterminant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 124

3.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.5.3 Propriétés du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.5.4 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.6 Plans dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.6.1 Représentation paramétrique des plans . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.6.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Interprétation géométrique de l'équation normale . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 129

3.6.3 Distance d'un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Deux méthodes de calcul de la distance d'un point à un plan . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.7 Droites dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.7.1 Représentation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.7.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.7.3 Distance d'un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.7.4 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.8 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 134

3.8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 134

3.8.2 Sphères et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 135

3.8.3 Sphères et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.9.2 Coordonnées cartésiennes dans l'espace . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.9.3 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 147

4 Fonctions usuelles151

4.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.2 Exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.1.3 Logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.1.4 Exponentielle de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.2.1 Rappels succincts sur les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.2.4 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 166

Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 168

4.3.2 Formulaire de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.3.3 Fonctions hyperboliquesinverses . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Fonction argument sinus hyperboliqueargsh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Fonction Argument cosinus hyperboliqueargch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Fonction Argument tangente hyperboliqueargth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.5 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.6.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4.6.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5 Equations différentielles linéaires198

5.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2 Deux caractérisations de la fonction exponentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2.1 Caractérisation par une équation différentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2.2 Caractérisation par une équation fonctionnelle . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 199

5.3.2 Résolution de l'équation différentielle homogène normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.3.3 Résolution de l'équation différentielle normaliséeavec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.3.4 Détermination de solutions particulières . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 203

Trois cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 203

Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 205

5.3.5 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 206

5.3.6 Méthode d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 209

5.4 Équations différentielles linéaires du second ordre . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 209

5.4.2 Résolution de l'équation différentielle homogène dusecond ordre dansC. . . . . . . . . . . . . . 210

5.4.3 Résolution de l'équation différentielle homogène dusecond ordre dansR. . . . . . . . . . . . . . 212

5.4.4 Équation différentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.5.2 Équations différentielles linéaires du second ordreà coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 221

5.5.3 Résolution par changement de fonction inconnue . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.5.4 Résolution d'équations différentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.5.5 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord

des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 225

5.5.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 227

6 Étude des courbes planes230

6.1 Fonctions à valeurs dansR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 230

6.1.2 Dérivation du produit scalaire et du déterminant . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.2 Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 233

6.2.2 Étude locale d'un arc paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Étude d'un point stationnaire avec des outils de terminale,première période . . . . . . . . . . . . 234

Étude d'un point stationnaire avec les développements limités, seconde période . . . . . . . . . . 234

Branches infinies des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.2.3 Étude complète et tracé d'une courbe paramétrée . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.3 Etude d'une courbe polairef(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 244

6.3.2 Etude d'une courbef(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.3.3 La cardioïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 246

6.3.4 La strophoïde droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.4.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.4.2 Courbes en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.4.3 Courbes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 263

7 Coniques271

7.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.1.1 Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.1.2 Équation cartésienne d'une conique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.1.3 Équation polaire d'une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.2 Étude de la parabole :e1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

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