[PDF] Dérivation des fonctions - XyMaths

View - Download Dérivation des fonctions - XyMaths

Previous PDF

Next PDF

D´erivation des fonctions1`ereSTI2D

1 Rappel sur les fonctions

1.1 Courbe repr´esentative d"une fonction

La courbe repr´esentative d"une fonctionfest l"ensemble des pointsM(x;f(x)), o`uxappartient `a l"ensemble

de d´efinition def. xy=f(x)M(x;y)

M(x;y)? Cfsi et seulement siy=f(x)

Exemple :

Soit la fonctionfd´efinie par l"expressionf(x) = 2x-1. Un pointM(x;y) est surCfsi et seulement siy=f(x), c"est-`a-dire siy=f(x) = 2x-1. C fest donc la droite d"´equationy= 2x-1. Exercice1 Soit la fonctionfd´efinie par l"expressionf(x) = 2x2-3x+ 2.

Indiquer les points qui appartiennent `aCf:

A(0;2) ;B(1;1) ;C(-2;4) ;D(-3;29) ;E(10;172) ;F(125;30877) . Placer ces points dans un rep`ere et tracer l"allure deCf.

1.2 Fonctions affines et droites

Une fonction affine est d´efinie sur IR par une expression qui peut s"´ecrire sous la formef(x) =mx+p.

Sa courbe repr´esentative est la droite d"´equationy=mx+p. Exercice2 Tracer les droitesD1:y= 2x+ 1,D2:y=-x+ 1 etD3:y= 2x+ 3.

Tracer la courbe repr´esentative des fonctions d´efinies par les expressionsf(x) =x2,g(x) =-2x2+4x+1,

h(x) = 2x-1.

Propri´et´eSoit la fonction affinef(x) =mx+pet sa droite repr´esentative d"´equationy=mx+p:

-pest l"ordonn´ee `a l"origine (lorsquex= 0) -mest le coefficient directeur, ou la pente :

Si la droite passe parA(xA;yA)etB(xN;yB)alors

m=Δy Δx yB-yA xB-xA

ΔxΔy

p p m Deux droites sont parall`eles si et seulement si elles ont lemˆeme coefficient directeur Exercice3 D´eterminer l"´equation de la droiteDpassant parA(1;2) etB(5;10). Y. Morel -xymaths.free.fr/Lycee/1STI/D´erivation des fonctions - 1STI2D - 1/7

Exercice4

D´eterminer l"´equation des droites.-5

-5-4 -4-3 -3-2 -2-1 -1001122334455 Exercice5 Soitf(x) =x2-2x. SoitAle point deCfd"abscisse 1, etBle point deCfd"abscisse 3. D´eterminer l"´equation de la droiteDpassant parAetB. TracerCfetD.

2 Nombre d´eriv´e enad"une fonction

Exercice6 Soitfla fonction carr´e etCfsa

courbe repr´esentative.

On noteA,M1,M2etM3les points deCfd"abs-

cisses respectives 1, 2, 3 et 4.

1. Tracer sur une figureCfet placer les points

A,M1,M2,M3.

2. Calculer les coefficients directeurs des droites

(AM3), (AM2) et (AM1).

3. Soit un nombre r´eelh >0, etMle point de

C fd"abscisse 1 +h.

Donner une expression du coefficient direc-

teurmhde la droite (AM).

4. Compl´eter le tableau :

h10,50,10,010,0010,0001 mh

5. Que se passe-t-il lorsquehse rapproche de 0?

01234
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Cf×A×

M3

×M2

×M1

Y. Morel -xymaths.free.fr/Lycee/1STI/D´erivation des fonctions - 1STI2D - 2/7 D´efinition•On appelle taux d"accroissement, ou taux de variation, enade la fonctionfle nombre a(h) =Δf

Δx=f(a+h)-f(a)h

•On appelle nombre d´eriv´e enala limite, lorsqu"elle existe, deτa(h)quandhse rapproche, ou tend vers,0. On note ce nombre, lorqu"il existe,f?(a): f ?(a) = limh→0τa(h) = lim h→0f(a+h)-f(a) h

•Le nombre d´eriv´ef?(a)est le coefficient directeur de la tangente `a la courbe defau point

d"abscissea. 1 f?(a) af(a)C f Exercice7 Soitfla fonction d´efinie sur IR parf(x) =1

2x2-3.

1. Tracer dans un rep`ere orthogonalCfet sa tangente au point d"abscissea= 1.

D´eterminer alors graphiquementf?(1).

2. a) Pourh >0, on posemh=f(a+h)-f(a)

h.

Compl´eter le tableau :

h10,50,10,010,0010,0001 mh Vers quelle valeur tend le nombreahlorsque le nombrehtend vers 0? b) D´emontrer ce r´esultat alg´ebriquement `a partir de l"expression demhet de celle def. Y. Morel -xymaths.free.fr/Lycee/1STI/D´erivation des fonctions - 1STI2D - 3/7

Exercice8Cfest la courbe

repr´esentative d"une fonctionf. T

1,T2etT3sont les tangentes `aCf

aux points d"abscisses respectives-3,

1 et 3.

D´eterminerf?(-3),f?(1) etf?(3).

Cf T2 T1T3

3 Fonction d´eriv´ee

D´efinitionSoitfune fonction d´efinie sur un intervalleI.

•On dit quefest d´erivable surIsifadmet un nombre d´eriv´e en tout point deI, c"est-`a-dire

si pour touta?I,f?(a)existe. •On appellefonction d´eriv´eedefla fonction not´eef?qui, `a toutxdeIassocie le nombref?(x).

D´eriv´ees des fonctions usuelles

Fonctionf(x) =D´eriv´eef?(x) =fest d´efinie surfest d´erivable sur k(constante)0IR x1IR x22xIR xn(n?IN)nxn-1IR 1 x-1x2IR?=]- ∞;0[?]0;+∞[ cos(x)-sin(x)IR sin(x)cos(x)IR Y. Morel -xymaths.free.fr/Lycee/1STI/D´erivation des fonctions - 1STI2D - 4/7

Op´erations sur les d´eriv´ees

FonctionD´eriv´ee

ku,k?IRku? u+vu?+v? uvu?v+uv? u v u?v-uv? v2 u22u?u un(n?IN)nu?un-1 1 u-u?u2

Compos´ees de fonctions

FonctionD´eriv´ee

u22u"u unu?un-1 1 u-u? u2 cos(u)-u?sin(u) sin(u)u?cos(u) Exercice9 D´eterminer la fonction d´eriv´eef?de la fonctionfdans chacun des cas : a)f(x) = 3 b)f(x) = 3xc)f(x) =5

2xd)f(x) =x2

e)f(x) =x7f)f(x) = 2x3g)f(x) = 3x+ 2 h)f(x) =x+1 x i)f(x) =-x2+x-7

2j)f(x) =2xx+ 1k)f(x) =-x2-x+ 1x+ 1l)f(x) =4x

m)f(x) = 2x5-x3

3n)f(x) = (3x+ 2)x2o)f(x) = (-2x+ 1)(x+ 1) p)f(x) =-2x+ 1(x+ 1)2

p)f(x) = 3cos(x) n)f(x) = cos2(x) o)f(x) = sin(2x+ 1) p)f(x) =xsin(22+ 1)

4 Applications de la d´erivation

4.1

´Equation d"une tangente

Propri´et´eSoitfune fonction d´erivable enx0etCfsa courbe repr´esentative, alors la tangente `aCfau

point d"abscissex0est y=f?(x0)(x-x0) +f(x0) Exercice10 Soit la fonctionfd´efinie parf(x) =x2-2x.

1. Donner le tableau de variation def

2. Donner l"´equation de la tangente `aCfenx0= 2.

3. Donner de mˆeme les ´equations des tangentes enx0=-2,x0= 0 etx0= 1.

4. Tracer dans un rep`ere ces quatre droites etCf.

Exercice11 Donner dans chacun des cas l"´equation de la tangente `aCfau point d"absissea:

1)f(x) =x3+ 8x-32 ena= 2 2)f(x) =1

3x2-x+ 2ena= 1 3)f(x) = cos?

2x+π4?

Y. Morel -xymaths.free.fr/Lycee/1STI/D´erivation des fonctions - 1STI2D - 5/7

4.2 Sens de variation d"une fonctionOn a vu que le nombre d´eriv´ef?(a) est le

coefficient directeur de la tangente `aCfau point d"abscissea; ainsi

•sif?(a)>0, la tangente est une droite

strictement croissante, et il en est de mˆeme def"au voisinage" dea

•sif?(a)<0, la tangente est une droite

strictement d´ecroissante, et il en est de mˆeme def"au voisinage" dea Cf af ?(a)<0 a f ?(a) = 0 af ?(a)>0 Th´eor`emeSoitfune fonction d´erivable sur un intervalleI. •Si pour toutx?I,f?(x)>0, alorsfest strictement croissante surI. •Si pour toutx?I,f?(x)<0, alorsfest strictement d´ecroissante surI. •Si pour toutx?I,f?(x) = 0, alorsfest constante surI.

Exercice12 Dresser le tableau de variation des fonctions de l"exercice pr´ec´edent de a) `a l) et des

fonctions suivantes : q)f(x) = 2x2+ 4x-3 r)f(x) = 2x3+ 3x2-36x+ 4 s)f(x) =-2x+ 1 x+ 1t)f(x) =-2x+ 1(x+ 1)2 t)f(x) =-x3+ 6x2-1

4.3 Extrema d"une fonction

D´efinitionSoitfune fonction d´efinie sur un intervalleI.

•Unextremumest un minimum ou un maximum.

•fpr´esente unmaximum localm=f(x0)si il existe un intervalleJ?Itel que pour toutx?J,f(x)?f(x0). •fpr´esente unminimum localm=f(x0)si il existe un intervalleJ?Itel que pour toutx?J,f(x)?f(x0).

•L"extremum est ditgloballorsqueJ=I.

Th´eor`emeSif(x0)est un extremum local sur l"intervalle]a;b[, alorsf?(x0) = 0. La courbeCfrepr´esentative de la fonctionfadmet une tangente horizontale au point (x0;f(x0)).

Remarque :

Ce th´eor`eme dit que :f(x0) extremum local =?f?(x0) = 0. La r´eciproque :f?(x0) = 0 =?f(x0) extremum local est FAUSSE. Par exemple, soitf(x) =x3. Alorsf?(x) = 3x2etf?(x) = 0??x= 0. Ainsi,f?(0) = 0. N´eanmoins f(0) n"est ni un minimum ni un maximum local defcar pourx <0,f(x) =x3<0 =f(0) et pourx >0, f(x) =x3>0 =f(0). Exercice13 Soitfla fonction d´efinie sur [-10;10] parf(x) =-x3+ 6x2-10. Rechercher les ´eventuels extrema locaux et globaux def. Exercice14 Soit la fonctionfd´efinie sur IR parf(x) =ax2+bx+c,a?= 0. Y. Morel -xymaths.free.fr/Lycee/1STI/D´erivation des fonctions - 1STI2D - 6/7 D´eterminer les coordonn´es de l"extremum def. Est-ce un minimum ou un maximum? Exercice15 Soitfune fonction d´efinie et d´erivable sur l"intervalle [-6;4]. On donne le tableau de variation de la fonctionf?: Pr´eciser les ´eventuels extrema locaux def. x-6-2 1 4 4 f?0? -1 3 Exercice16 Soitfune fonction d´efinie et d´erivable sur l"intervalle [-6;4]. On donne le tableau de variation de la fonctionf?: Pr´eciser les ´eventuels extrema locaux def.x-4-1 1 2 4 0 3 f?0 -7-1 Exercice17 La consommationCd"un v´ehicule peut s"exprimer en fonction de la vitessev, pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, par l"expression

C(v) = 0,06v+150

v. A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale?

4.4 R´esolution d"´equations

Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Soitkun nombre r´eel,fune fonction d´efinie sur un intervalle[a;b]telle que

•fest d´erivable sur[a;b]

•fest strictement monotone sur[a;b]

•f(a)< k < f(b)ouf(a)> k > f(b)

alors, il existe un uniqueα?]a;b[tel quef(α) =k.

Exercice18 Soitfune fonction d´efinie et d´erivable sur [-2;5] et dont le tableau de variation est le

suivant : x-2 1 4 5 4 10 f? ? ? 1 -3 D´eterminer le nombre de solutions, et l"intervalle elles se situent, de l"´equation a)f(x) = 0 b)f(x) = 2 c)f(x) =-5 Exercice19 On consid`ere la fonction d´efinie sur IR parf(x) =x3+x+ 1. Montrer que l"´equationf(x) = 0 admet une unique solution sur [-3;2]. D´eterminer un encadrement plus pr´ecis de cette solution. Exercice20 On consid`ere la fonction d´efinie sur IR parf(x) =x3-3x-1.

Montrer que l"´equationf(x) = 0 admet exactement trois solutions, respectivement dans les intervalles

]-2;-1[, ]-1;1[ et ]1;2[.

Donner un encadrement d"amplitude 10

-2de la plus grande de ces solutions. Y. Morel -xymaths.free.fr/Lycee/1STI/D´erivation des fonctions - 1STI2D - 7/7quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

[PDF] Petit supplément sur les fonctions ? valeurs complexes - Tourbillon

[PDF] fonction d 'une variable complexe - CMAP, Polytechnique

[PDF] Tableau des dérivées élémentaires et règles de - Lycée d 'Adultes

[PDF] DÉRIVÉES USUELLES ET DIFFÉRENTIELLES

[PDF] Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles - Institut de

[PDF] derivation des fonctions composees - Maths54

[PDF] Fonctions dérivées - Académie en ligne

[PDF] La fonction exponentielle complexe

[PDF] ROC : dérivée d 'une fonction composée

[PDF] Exercices corrigés sur l 'étude des fonctions composées

[PDF] Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

[PDF] Intégrales dépendant d 'un paramètre - Math France

[PDF] Dérivées et différentielles des fonctions de plusieurs variables

[PDF] Dérivées partielles - Exo7 - Emathfr

[PDF] FICHE-56-Comment-deriver-les-fonctions-de-base-97-2003