[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Enoncés : Stephan de Bièvre

Corrections : Johannes HuebschmannExo7

Différentielles et dérivées partielles secondes

Exercice 1

Calculerlesdifférentiellessuivantes, sanscalculerdesdérivéespartielles, enutilisantlespropriétésdesdifférentielles

de sommes, produits et composées: (a)d(ln(xy)) (b)d(xyz(1+sinh(yz))) (c)dsin(x2y)exy 1.

Y a-t-il une fonction g:R2!Rtelle que

dg=x2y2dx+x3ydy? 2. T rouverles fonctions b:R2!Rtelles qu"il existeg:R2!Rsatisfaisant à la condition dg=x2y2dx+b(x;y)dy: Étant donnée alors la fonctionb, déterminer toutes les fonctionsgcorrespondantes. Soitg:R>0R>0!Rune fonction de classeC1telle queg(1;1) =3 et dont la différentielle vaille dg= (2xy+y2)dx+(x2+2xy)dy:(1) Soit h:R>0R>0!R>0R>0 l"application de classeC1définie par h(x;y) = (u(x;y);v(x;y)) = (x2y;xy2)2R>0R>0: 1.

Calculer d u+dv.

2. Déterminer gà partir du calcul précédent et (1), et sans autre calcul. 3. Montrer que hest une bijection. (On pourra calculer explicitementh1.) 4.

Déterminer e xplicitementd (gh1).

5. Calculer les matrix esjacobiennes Jh(x;y)etJh1(u;v)et vérifier par un calcul direct que J h(x;y)Jh1(h(x;y)) =I2; oùI2est la matrice identité d"ordre 2. 1

Calculer les matrices hessiennes des fonctionsfdéfinies par les expressions suivantes sur leur domaine de

définition naturel: sin(xyz);sin2(y=x): Soitf:R2nf(0;0)g !Rune fonction de classeC2et soientretqles coordonnées polaires standard dans le plan de telle sorte que l"association ]0;+¥[]0;2p[!R2nf(0;0)g;(r;q)7!(x;y) = (rcosq;rsinq); soit un changement de variables. SoitFla fonction définie par

F(r;q) =f(rcosq;rsinq):

C"est "l"expression defen coordonnées polaires". Montrer que

2(r;q):(2)

Cette formule calcule "le Laplacien en coordonnées polaires." L"exercice ne dépend pas de la connaissance du

Laplacien cependant.

Les variables étant notéesxett, trouver la solution généralef:R2!Rde "l"équation des ondes", à savoir

Trouver ensuite la solution unique de l"équation des ondes qui satisfait aux conditions initiales Indication pourl"exer cice1 NUtiliser les règles d(f+g) =d f+dg; d(fg) =fdg+gd f;

d(fh) = (f0h)dh:Indication pourl"exer cice2 NSoienth,u,vdes fonctions des deux variablesxety. Rappeler que

dxdy;

dxdy=dydx:Indication pourl"exer cice3 NOn va déterminer une primitive d"une forme différentielle de degré 1 par un changement de variables tel que,

dans les nouvelles variables, la primitive soit presque évidente.Indication pourl"exer cice4 NRappeler que la matrice hessienne est la matrice constituée des dérivées partielles secondes.

Indication pour

l"exer cice

5 N1.Montrer que

2.

Montrer que

r 3.

Montrer que

4.

Utiliser ces résultats, puis calculer encore un peu pour obtenir le résultat souhaité. Indication pourl"exer cice6 N1.Grace au changement de v ariables

R

2!R2;(u;v)7!(x;y) =uv2

;u+v2 la fonctionfs"écritF(u;v) =f(uv2 ;u+v2 ). Montrer que pour quefsoit solution de (3) il faut et il suffit que 3

2.Montrer que, si Fsatisfait à (5), il existe deux fonctionsg1;g2:R!Rtelles que

F(u;v) =g1(u)+g2(v):

3.

Écrire la solution générale de (

3 ) et expliquer la phrase: "En une dimension d"espace, toute solution de

l"équation des ondes s"écrit comme somme d"une onde qui se déplace vers la droite et une qui se déplace

vers la gauche."4

Correction del"exer cice1 Nd(ln(xy)) =d(xy)xy

=xdy+ydxxy =dyy +dxx d(xyz(1+sinh(yz))) = (1+sinh(yz))d(xyz)+xyzd(sinh(yz)) +xyzcosh(yz)d(yz) +xyz2cosh(yz)dy+xy2zcosh(yz)dz =yz(1+sinh(yz))dx +xz(1+sinh(yz)+yzcosh(yz))dy +xy(1+sinh(yz)+yzcosh(yz))dz; d =x2cos(x2y)exydy+2xycos(x2y)exydx +sin(x2y)exydxsin(x2y)exydy =x2cos(x2y)xsin(x2y)exydy

+2xycos(x2y)+sin(x2y)exydx:Correction del"exer cice2 N1.La forme dif férentiellex2y2dx+x3ydyde degré 1 n"est pas fermée car la forme différentielle de degré 2

d(x2y2dx+x3ydy) =2x2ydydx+3x2ydxdy=x2ydxdy est non nulle. Par conséquent, une fonctiong:R2!Rdu type cherché ne peut pas exister. 2. Une fonction bdu type cherché doit satisfaire à l"équation différentielle partielle d"oùb(x;y)=23 x3y+k(y)oùkest une fonction de la variabley. Une fonctiongcorrespondante doit alors satisfaire aux équations différentielles partielles x3y+k(y):

Il s"ensuit quegest de la formeg(x;y) =13

x3y2+K(y)oùKest une fonction de la varriabley.Correction del"exer cice3 N1.Un calcul immédiat donne d u+dv=dg.

2. P arconséquent, g=u+v+coù la constantecest déterminée par la condition

3=g(1;1) =u(1;1)+v(1;1)+c=1+1+c

d"oùc=1. 5

3.Un calcul direct montre que l"application réciproque

k:R>0R>0!R>0R>0 dehest donnée par la formule k(u;v) = (x(u;v);y(u;v)) = u2v 1=3 ;v2u 1=3! 4. d (gk) =d(uk)+d(vk) =du+dvcaru(k(u;v)) =uetv(k(u;v)) =v. 5.

Un calcul immédiat donne

J h=2xy x2 y 22xy
;Jk=" 23
(uv)1=3u2=33v4=3 v2=33u4=323 (uv)1=3#

d"oùJh(x;y)Jk(h(x;y)) =I2.Correction del"exer cice4 Ndsin(xyz) =yzcos(xyz)dx+zxcos(xyz)dy+xycos(xyz)dz

d"où la matrice hessienne"y2z2sin(xyz)zcos(xyz)xyz2sin(xyz)ycos(xyz)xy2zsin(xyz)

De même

d(sin2(y=x)) =2yx2sin(y=x)cos(y=x)dx+2x1sin(y=x)cos(y=x)dy =sin(2y=x) yx

2dx+1x

dy d"où la matrice hessienne x2sin(2y=x)2yx3cos(2y=x)2x2cos(2y=x) :Correction del"exer cice5 N1. 2. 3. 4. En prenant la somme des trois équations sui vantes r r on trouve le résultat cherché. 6

Correction del"exer cice6 N1.A vec

d"où pour quefsatisfasse à l"équation (3) il faut et il suffit queFsatisfasse à l"équation (5).

2.

F(u;v) =g1(u)+g2(v)oùg01=h1etg02=h2.

3.

La solution générale de (

3 ) s"écrit alors f(x;t) =g1(u)+g2(v) =g1(x+t)+g2(tx):

La fonctiong1décrit une onde qui se déplace vers la droite et la fonctiong1décrit une onde qui se déplace

vers la gauche. Enfin, pour trouver la solution unique satisfaisant aux condition initiales ( 4 ) nous constatons que les conditions initiales entraînent les identités f(x;0) =g1(x)+g2(x) =sinx d"oùg01=0 etg02(x) =cosx, c.a.d.g2(x) =sin(x). Par conséquent, la solution unique cherchéef s"écrit f(x;t) =sin(xt):7quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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