[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Enoncés : Stephan de Bièvre

Corrections : Johannes HuebschmannExo7

Plans tangents à un graphe, différentiabilité

Exercice 1

Trouver l"équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point(x0;y0;z0)donné:

1.z=p19x2y2;(x0;y0;z0) = (1;3;3);

2.z=sin(pxy)exp(2x2y1);(x0;y0;z0) = (1;1=2;1).

On demande à un étudiant de trouver l"équation du plan tangent à la surface d"équationz=x4y2au point

(x0;y0;z0) = (2;3;7). Sa réponse est z=4x3(x2)2y(y3): 1. Expliquer ,sans calcul, pourquoi cela ne peut en aucun cas être la bonne réponse. 2.

Quelle est l"erreur commise par l"étudiant?

3.

Donner la réponse correcte.

Trouver les points sur le paraboloïdez=4x2+y2où le plan tangent est parallèle au planx+2y+z=6. Même

question avec le plan 3x+5y2z=3. SoitCle cône d"équationz2=x2+y2etC+le demi-cône oùz>0. Pour un point quelconqueM0deCn f(0;0;0)g, de coordonnées(x0;y0;qx

20+y20), on notePM0le plan tangent au côneCenM0.

1. Déterminer un v ecteurnormal et l"équation du plan PM0. 2.

Montrer que l"intersection du cône Cavec le plan vertical d"équationy=axoùa2Rest constituée de

deux droitesD1etD2et que l"intersection du demi-côneC+avec ce plan vertical est constituée de deux

demi-droitesD+1etD+2. 3.

Montrer que le plan tangent au cône Cest le même en tout point deD1nf(0;0;0)g(respectivement en

tout point deD2nf(0;0;0)g). Soitfla fonction définie surR2parf(x;y) =x22y3. 1. Déterminer l"équation du plan tangent PM0au grapheGfdefen un point quelconqueM0deGf. 1

2.Pour le point M0de coordonnées(2;1;2), déterminer tous les pointsMtels que le plan tangent enMsoit

parallèle àPM0.

Soit la fonctionf:R2!Rdéfinie par

f(x;y) =xy2x

2+y2;(x;y)6= (0;0)

etf(0;0) =0. 1.

Montrer que fest continue et que, quel que soitv2R2, la dérivée directionnelleDvf(x;y)existe en

chaque(x;y)2R2mais quefn"est pas différentiable en(0;0). 2.

La déri véedirectionnelle Dvf(0;0)est-elle linéaire env? Les droites appartenant à la famille des droites

passant par l"origine et de vecteurs directeurs(v;Dvf(0;0))2R3, forment-elles un plan? Expliquer comment on peut observer la réponse sur la figure. 3. Le v ecteurvétant fixé, qu"est-ce qu"on peut dire de la continuité deDvf(x;y)en(x;y)?-4 -2 y0 2 4 -4 -2 0 x2 4 -2 -1 0 1

Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée des nombres suivants:

Indication pourl"exer cice1 NLe plan tangent à la surface d"équationf(x;y;z) =0 au point(x0;y0;z0)est donné par l"équation

Dans le cas (1.), les calculs deviennt plus simples avec l"équation z

2=19x2y2:Indication pourl"exer cice2 NNe pas confondre les variables pour l"équation de la surface, les variables pour l"équation de la tangente en un

point, et les coordonnées du point de contact.Indication pourl"exer cice3 NLe plan tangent à la surface d"équationz=f(x;y)au point(x0;y0;z0)est donné par l"équation

:(3)Indication pourl"exer cice5 NUtiliser la version (2) de l"équation d"un plan tangent à une surface en un point.

Indication pour

l"exer cice

6 NPour les majorations, utiliser les coordonnées polaires(r;j)dans le plan. Distinguer tout de suite les parties

triviales des parties non triviales de l"exercice.Indication pourl"exer cice7 NPrendre f(x;y) =exp[sin(p+x)cosy] =exp[sinxcosy]; h(x;y) =arctan[p4+x2exp(y)]:3

Correction del"exer cice1 N1.Le plan tangent à la surf aced"équation z2=19x2y2au point(x0;y0;z0)est donné par l"équation

2z0(zz0) =2x0(xx0)2y0(yy0)

d"où, au point(1;3;3), cette équation s"écrit

6(z3) =2(x1)6(y3)

ou x+3y+3z=19 2. Soit fla fonction définie parf(x;y) =sin(pxy)exp(2x2y1). Les dérivées partielles defsont d"où Le plan tangent à la surface d"équationz=sin(pxy)exp(2x2y1)au point(x0;y0;z0)est donné par l"équation d"où, au point(1;1=2;1), cette équation s"écrit z1=2(x1)+2(y1=2) ou

2x+2yz=2:Correction del"exer cice2 N1.L "équationd"un plan tangent doit être une équation linéaire !

2. La confusion est e xactementcelle à éviter sui vantles indications données. 3.

D"après (

1 ), le plan tangent à la surface d"équationz=f(x;y) =x4y2au point(x0;y0;z0) = (2;3;7) est donné par l"équation c.a.d.

z7=32(x2)6(y3):Correction del"exer cice3 NSuivant l"indication, le plan tangent à la surface d"équationz=4x2+y2au point(x0;y0;z0)est donné par

l"équation z=z0+8x0(xx0)+2y0(yy0) =8x0x+2y0y+z08x202y20=8x0x+2y0yz0 4 d"où par z8x0x2y0y=z0:(4)

Pour que ce plan soit parallèle au plan d"équationx+2y+z=6 il faut et il suffit que(1;2) = (8x0;2y0)

d"où quex0=1=8 ety0=1. Par conséquent, le point cherché sur le paraboloïdez=4x2+y2est le point

(1=8;1;17=16). De même, pour que le plan (4) soit parallèle au plan d"équation 3x+5y2z=3 il faut

et il suffit que(3=2;5=2) = (8x0;2y0)d"où quex0=3=16 ety0=5=4, et le point cherché sur le paraboloïde

z=4x2+y2est alors le point(3=16;5=4;9=64+25=16)=(3=16;5=4;109=64).Correction del"exer cice4 N1.Le v ecteurnormal du cône Cau point(x0;y0;z0)deCest le vecteur(x0;y0;z0)et le plan tangent au

côneCen ce point est donné par l"équation x

0x+y0yz0z=0

car l"origine appartient à ce plan. 2.

L "intersectiondu cône Cavec le plan vertical d"équationy=axoùa2Rest constituée des points

x(1;a;p1+a2)oùx2R, c.a.d. des deux droites D L"intersection du demi-côneC+avec ce plan vertical est donc constituée des deux demi-droites D +1=fx(1;a;p1+a2);x2R;x>0g D +2=fx(1;a;p1+a2);x2R;x>0g: 3. Le vecteurnormalen unpointquelconquex(1;a;p1+a2)deD1respectivementx(1;a;p1+a2)deD2 est le vecteurx(1;a;p1+a2)respectivementx(1;a;p1+a2)d"où la direction et donc le plan tangent

au côneCsont le même en tout point deD1nf(0;0;0)grespectivementD2nf(0;0;0)g.Correction del"exer cice5 N1.La forme ( 2) de l"équation du plan tangent au graphez=x22y3de la fonctionfau point(x0;y0;z0)

nous donne l"équation zz0=2x0(xx0)6y20(yy0) =2x0x6y20y2x20+6y30 2. Au point (2;1;2), ce plan tangent est ainsi donné par l"équation

4x6yz=0:

Pour que ce plan soit parallèle au plan tangent au point(x1;y1;z1)distinct de(x0;y0;z0)il faut et il suffit

que(4;6;1) = (2x1;6y21;1)ety16=1, c.a.d. que(x1;y1;z1) = (2;1;6).Correction del"exer cice6 N1.lim (x;y)!(0;0) (x;y)6=(0;0)xy 2x

2+y2=limr!0rcosjsin2jexisteetvautzéropuisquecosjsin2jestborné. Parconséquent

fest continue à l"origine et donc partout. Il est évident que la fonctionfest différentiable en chaque

point distinct de l"origine. Soitv= (a;b)2R2non nul. Alors D vf(0;0) =ddt tab2a 2+b2 t=0=ab2a 2+b2 existe d"où fne peut pas être différentiable en(0;0). 5

2.L "associationR2!R;v7!Dvf(0;0)n"est évidemment pas linéaire et les droites appartenant à la famille

des droites passant par l"origine et de vecteurs directeurs(v;Dvf(0;0))2R3ne forment pas un plan. 3.

Dans R2nf(0;0)g,

d"où, en coordonnées polaires, D vf(x;y) =Dvf(rcosj;rsinj) =a(sin4jsin2jcos2j)+2bsinjcos3j et,jétant fixé, lim r!0Dvf(rcosj;rsinj) =a(sin4jsin2jcos2j)+2bsinjcos3j:

Par conséquent,Dvf(x;y)n"est pas continu en(x;y)sauf peut-être sia=0. Par exemple, avec sinj=1,

on trouve lim r!0Dvf(0;r) =a eta6=ab2a lim r!0Dvf(rcosj;rsinj) =2bsinjcos3j etc. d"où, avec Avecx=0;0184 on trouve, pour exp[sin(3:16)cos(0:02))], la valeur approchée 10;0184=0;9816.

N.B. On peut faire mieux si nécessaire : Avec

on trouve x2+::: etc. 6

De même,

etc. d"où, avec x2y+:::: Avecx=0;03 ety=0;01 on trouve, pour arctan[p4:032exp(0:01)], la valeur approchée 0;00750;02=

0;00125.7

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