[PDF] Cours de mathématiques Chapitre 12 : Calcul Intégral

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Cours de mathématiques

Terminale S1

Chapitre 12 : Calcul Intégral

Année scolaire 2008-2009

mise à jour 5 mai 2009 Fig.1 - Henri-Léon Lebesgue et Bernhard Riemann

On les confond parfois

1

Table des matières

I Chapitre 12 : Calcul Intégral3

I.A Intégrale d"une fonction continue positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.A.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.B Intégrale d"une fonction continue négative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.B.1 Intégrale d"une fonction continue de signe quelconque. . . . . . . . . . . . . . . 4 I.B.2 Cas d"une fonction en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.C Propriétés de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.D Propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.D.1 Linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.D.2 Relation de Chasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.D.3 Intégrales et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.D.4 Valeur moyenne d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.E Primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.E.1 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.E.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I.F Primitive d"une fonction continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.G Calculs de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.H Calculs d"intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.I Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.J Calculs de volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Informations sur la mise en page

Le document s"inspire des nombreux livres de Terminale S desdifférentes éditions. Les figures

de ce document ont été réalisées avec métapost et les macros deJ-M Sarlatet en s"inspirant

très fortement de ce qui est fait ici par David Nivaud a:

L"environnement

bclogo, utilisé pour la réalisation de ce document, est téléchargeable ici :

ale fichier de macros s"appelle toujours courbes.mp mais est différent du fichier courbes.mp des chapitres

précédents 2

I Chapitre 12 : Calcul IntégralI.A Intégrale d"une fonction continue positiveI.A.1 Définition

Définition 1:

Un repère orthogonal(O,-→ı ,-→?)ayant été fixé, une unité d"aire est définie de la manière sui-

vante : IKJ u.a.1u.a.=aire du rectangleOIKJxy O

Définition 2:

Soitfune fonction continue et positive sur un intervalle[a;b]etCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal(O,-→ı ,-→?).

Le réel, noté?

b a f(x)dx, est l"aire, en unités d"aire, du domaineDdélimité parCf, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=aetx=b.?b a f(x)dx se lit somme deaàbdef(x)dx ou intégrale deaàbdef y=f(x) a bDomaineD? b a f(x)dx=aire du domaineD xy O 3 I.B Intégrale d"une fonction continue négative

Définition 3:

Sifest une fonction continue et négative sur[a;b], on a la définition suivante : y=f(x)a b

DomaineD

b a f(x)dx=-(aire du domaineD) xy O I.B.1 Intégrale d"une fonction continue de signe quelconque

Définition 4:

Sifest continue sur l"intervalle[a;b], alors on définit? b a f(x)dx de la manière suivante : y=f(x) a bD 1 D 2? b a f(x)dx=aire du domaineD1-(aire du domaineD2) xy O 4

Remarque

On admet pour l"instant l"égalité suivante : sifest une fonction continue sur[a;b], alors, pour toutc?[a;b], c c f(x)dx= 0

I.B.2 Cas d"une fonction en escalier

Définition 5:

Il est un cas où, si la fonctionfn"est pas continuesur[a;b], on peut néanmoins définir? b a f(x)dx , c"est le cas des fonctions en escalier.

Sifest définie ainsi :

1. six?[x0;x1[,f(x) =c1

2. six?[x1;x2[,f(x) =c2

3. six?[x2;x3[,f(x) =c3

4. six?[x3;x4],f(x) =c4

alors? b a f(x)dx=somme des aires des rectangles situés au-dessus de l"axedes abscisses-(somme des aires des rectangles en dessous de l"axe des abscisses) c 1c 2 c 3c 4 x

0=ax1x2x3x4=b

xy O

I.C Propriétés de l"intégrale

I.D Propriété

5

Théorème 1

On admet pour l"instant, la définition de l"intégrale ayant été donnée précédemment, que

b a f(x)dx=-? a b f(x)dx La notion de primitive nous permettra de valider cette propriété dans quelques instants.

I.D.1 Linéarité

Théorème 2

Sifetgsont deux fonctions continues sur[a;b]etαun réel, alors on a : b a f(x)dx+? b a g(x)dx=? b a (f(x) +g(x))dx et ?b a

αf(x)dx=α?

b a f(x)dx

I.D.2 Relation de Chasles

Théorème 3

Soitfune fonction continue sur[a;c], alors :

y=f(x) a bc? b a f(x)dx+? c b f(x)dx=? c a f(x)dx xy O

I.D.3 Intégrales et inégalités

6

Théorème 4

y=f(x) y=g(x) a b? b b af(x)dx xy O

Théorème 5: Inégalités de la moyenne

S"il existemetMtels que, pour toutx?[a;b]

alors on a : y=f(x) a bA BF ED C M b a xy O Il suffit de comparer les aires du domaine sous la courbe avec celles des trianglesABCDet ABEF

I.D.4 Valeur moyenne d"une fonction

7

Théorème 6

Sifest une fonction continue sur un intervalleI;aetbsont deux réels distincts de l"intervalle I.

Alors il existe un réelcentreaetbtel que?

b a f(x)dx= (b-a)f(c).

Le nombre

1 b-a? b a f(x)dx est appelévaleur moyenne defentreaetb. Interprétation cinématique : la vitesse moyenne d"un mobile La vitesse moyenne d"un mobile est la valeur moyenne de la vitesse, d"où : vitesse moyenne=distance parcourue durée du trajet=1t2-t1? t2 t

1v(t)dt

Démonstration

On suppose la fonctionfcroissante. (On admet le résultat dans le cas général.)

Premier cas :

a < b. Puisquefest croissante, pour tout réelxdans[a;b],

On a alors

b a et, puisqueb-a >0, b-a? b a

Le réel

1 b-a? b a f(x)dx est dans l"intervalle[f(a);f(b)], donc il existecdans[a;b]tel que : 1 b-a? b a f(x)dx=f(c)

Deuxième cas :

a > b. On procéde de la même manière que précédemment, à vous de le faire.

I.E Primitives

I.E.1 Exemple

On s"intéresse à la fonction

f:x?R+?-→0.9×e-0.9x

Le but est double :

- Introduire la notion de primitive. - Découvrir la fonctionfen vue du chapitre sur la loi exponentielle. SoitAla fonction qui, à tout réelxpositif, associeA(x) =? x 0

0.9e-0.9tdt.

Alors, pour tout réelapositif, le réelA(a+h)- A(a)représente l"aire du domaine hachuré en vert

ci-après. (on se place dans le cas oùhest strictement positif) : 8 En utilisant les inégalités de la moyenne décrites plus haut, on peut écrire : d"où De la même manière, en considéranthstrictement négatif, on obtient : Si on fait tendrehvers 0 et en tenant compte du fait que la fonctionfest continue surR, donc sur R +en particulier, on obtient, après passage à la limite : lim h→0A(a+h)- A(a) h=f(a) aa+hf(a+h)f(a)C f:y= 0.9×e-0.9xxy O

Ce qui nous permet de dire que la fonction

A:x?-→?

x 0 f(t)dt est dérivable surR+et vérifie A ?(x) =f(x) La fonctionAest appeléeprimitivede la fonctionfsurR+. Cela nous permet aussi de calculer la valeur exacte de? 1 0 f(t)dt que l"on avait seulement approchée par les méthodes des rectangles et de Monte-Carlo en utilisantScilab. En effet, si l"on considère la fonctionF, définie surR, par

F(x) =A(x) +e-0.9x

on voit que, la fonctionFétant manifestement dérivable surR+,F?(x) = 0, pour toutx≥0, donc

F(x) =K(constante) =F(0) = 1

9 .Autrement dit,

A(x) = 1-e-0.9xpour toutx≥0

or ?1 0 f(t)dt=A(1) donc ?1 0 f(t)dt= 1-e-0.9

I.E.2 Définition

Définition 6:

fest une fonction définie sur un intervalleI. La fonctionFest uneprimitivedefsurIsi, pour toutxdansI,F?(x) =f(x).(implicitement, cela suppose queFsoit dérivable surI)

Théorème 7

Sifest une fonction définie sur un intervalleI. SiFest une primitive defsurI, alorsfadmet une infinité de primitives. Les autres primitives defsurIsont définies parG(x) =F(x) +KoùKest une constante réelle.

Démonstration :

Fest dérivable surIetF?=f. La fonctionGest aussi dérivable surIavecG?= F ?=f. DoncGest une primitive defsurI. Inversement, siGest une primitive defsurIalorsG?=f=F?d"oùG?-F?= 0.

La dérivée deG-Fest nulle sur l"intervalleIdoncG-Fest constante surI, il existe donc un réel

Ktel que pour toutxdeI,G(x)-F(x) =K, d"où le résultat.

Théorème 8

Soitfune fonction admettant des primitives surI.

Soientx0est un réel donné appartenant àIety0un réel quelconque. Alors il existeune unique primitiveFdefsurItelle queF(x0) =y0.

I.F Primitive d"une fonction continue

Théorème 9

Soitfune fonction continue sur un intervalleI;aest un réel deI.

Alors la fonctionFdéfinie surIparF(x) =?

x a f(t)dtest l"unique primitive defsurItelle queF(a) = 0. La démonstration de ce théorème sera vue en TD. 10

I.G Calculs de primitivesLes opérations sur les fonctions dérivables et la définitiond"une primitive conduisent aux résultats

suivants : - siFetGsont des primitives des fonctionsfetgsur un intervalleI, alorsF+Gest une primitive def+gsurI.

- SiFest une primitive de la fonctionfsur un intervalleIetλun réel, alorsλFest une primitive

deλfsurI.

De même, les résultats connus sur les dérivées des fonctionsusuelles donnent par lecture inverse le

tableau des primitives suivant :

FonctionfPrimitiveFIntervalle I

a(constante)axR xn(n?Z\ {-1})xn+1 n+ 1Rsin≥0et]0;+∞[ou]- ∞;0[sin <0

1⎷x2⎷x]0;+∞[

1 xlnx]0;+∞[ exexR sinx-cosxR cosxsinxR

1 + tan2x=1cos2xtanx

2+kπ;π2+kπ?

(k?Z) Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI, on a alors :

FonctionfPrimitiveFRemarques

u?un(n?Z\ {-1})un+1 n+ 1sin <0, pour toutxtel queu(x)?= 0 u?⎷u2⎷uu >0surI u? uln(|u|)u?= 0surI u?eueu x?-→u(ax+b)(a?= 0)x?-→1aU(ax+b)Uprimitive deusurI

Remarque :On peut ajouter à chaque primitive déterminée une constanteKpour obtenir toutes les

primitives. 11

I.H Calculs d"intégrales

Théorème 10

Sifest une fonction continue sur un intervalleI,Fest une primitive defsurI,aetbsont deux réels deI. Alors : b a f(x)dx=F(b)-F(a)

Démonstration

On sait que la fonctionG:x?-→?

x a f(t)dtest la primitive defsurItelle queG(a) = 0. SiF est une primitive defsurI, alors il existek?Rtel que pour toutxdeI,G(x) =F(x) +k.

OrG(a) = 0, d"oùk=-F(a)et on obtient :?

x a f(t)dt=F(x)-F(a).

En posantx=b, on obtient bien?

b a f(t)dt=F(b)-F(a).

Notation

?b a f(x)dx= [F(x)]ba=F(b)-F(a)

Remarque

Cela permet de valider la formule :

b a f(x)dx= [F(x)]ba=F(b)-F(a) =-? a b f(x)dx=-(F(a)-F(b))

I.I Intégration par parties

Théorème 11

Siuetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalleI, telles que leurs dérivéesu?etv? soient continues surI.

Alors pour tous réelsaetbdeI:

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