Mécanique des fluides en 20 fiches
Dans un solide les particules sont rigidement liées les unes aux autres
FORMULAIRE DE MECANIQUE DES FLUIDES
FORMULAIRE DE MECANIQUE DES FLUIDES Dans un fluide incompressible au repos toute variation de pression en un point A du fluide.
MÉCANIQUE DES FLUIDES
P pression en Pa. F force en N. S surface en m2 r masse volumique du fluide g accél t de la pesanteur (981 m.s-2) h hauteur de la colonne du fluide.
Mécanique des fluides et transferts
Il présente les bases de la mécanique des fluides et des transferts. Grâce à l'équation 7.19 du formulaire en page 84 le bilan local d'énergie ...
MECANIQUE DES FLUIDES I (Cours et Applications) Dr YOUCEFI
(4.10). Page 38. Dr YOUCEFI Sarra : Mécanique des fluides I (Cours et Applications). 38. Cette dernière formule traduit la loi de Hagen Poiseuille : le débit
Formulaire – Mécanique des fluides
Formulaire – Mécanique des fluides p = F / S pression en Pa s'exerçant sur une surface S (m²) due à une force F (N). pB = pA +/- ?p avec ?p = ?.g.
Annexe A : Formulaire
Chassaing Mécanique des Fluides
Mécanique des fluides (PC*)
J.-C. qui a été le véritable initiateur de la "mécanique des fluides " en énonçant en utilisant un formulaire d'analyse vectorielle :.
Mécanique des Fluides
Mécanique des Fluides. Travaux dirigés. Contenu. 1 Formulaire Pour un fluide Newtonien et incompressible on a : div ( u) = ? · u = 0.
MECANIQUE DES FLUIDES. Cours et exercices corrigés
Le chapitre 1 constitue une introduction à la mécanique des fluides dans 3) On applique la formule de Blasius : 0250 .316
Ma^triseetMagistere
dePhysiqueFondamentaleAnnee2002{2003MecaniquedesFluides
Travauxdiriges
Contenu
1Formulaire2
2AproposdutheoremedutransportdeReynolds6
3Ressauthydrauliquedansuncanal8
6Resorptiond'unecavite15
7Oscillationsdansun
uidevisqueux168Unproblemed'adherence17
12Instabilitedel'imprimeur26
13Pourunecuillerdemiel...29
14Enoncesdivers32
1FORMULAIRE2
1Formulaire
Operateursdierentiels
Relationsusuelles:
div(!gradU)=U div(!rot~A)=0 !rot(!gradU)=0 !rot(!rot~A)=!graddiv~A~~A !grad(UW)=U!gradW+W!gradU div(U~A)=Udiv~A+~A!gradU !rot(U~A)=!gradU^~A+U!rot~A div(~A^~B)=~B!rot~A~A!rot~BRelationsintegrales:
I C ~A!dl=ZZS(C)!rot~A!dS
I CU!dl=ZZ
S(C)!gradU^!dS
ZZ S ~A!dS=ZZZV(S)div~AdV
ZZ SU!dS=ZZZ
V(S)!gradUdV
ZZ S ~A^!dS=ZZZV(S)!rot~AdV
ZZ S (U!gradWW!gradU)!dS=ZZZV(S)(UWWU)dV
TheoremedeLeibnitz:
d dtZ h(t) 0 f(x;t)dx=Z h(t)0@f@tdx+f[h(t);t]dh(t)dt
TheoremedutransportdeReynolds:
d dtZZZV(t)f(~r;t)dV=ZZZ
V(t) @f@t+div fd~rdt dV1FORMULAIRE3
Coordonneescartesiennes:
!grad(U)=~r(U)=@U @x~ex+@U@y~ey+@U@z~ez div(~A)=~r~A=@Ax @x+@Ay@y+@Az@z !rot(~A)=~r^~A=@Az @y@Ay@z ~ex+@Ax@z@Az@x ~ey+@Ay@x@Ax@y ~ezU=~r2(U)=@2U
@x2+@2U@y2+@2U@z2 (~A)=~r2(~A)=(Ax)~ex+(Ay)~ey+(Az)~ezCoordonneescylindriques:
xOm=r mM=z ~er m~eyM ~ez Oz !gradU=~rU=@U @r~er+1r@U@~e+@U@z~ez div(~A)=~r~A=1 r@(rAr)@r+1r@A@+@Az@z !rot(~A)=~r^~A=1 r@Az@@A@z ~er+@Ar@z@Az@r ~e+1r@(rA)@r1r@Ar@ ~ezU=~r2U=1
r@@r(r@U@r)+1r2@2U@2+@2U@z2
(~A)=~r2~A=(ArAr r22r2@A@)~er+(AAr2+2r2@Ar@)~e+(Az)~ez1FORMULAIRE4
Coordonneesspheriques:
xO mz M ~er ~e' ~e y !grad(U)=~rU=@U @r~er+1r@U@~e+1rsin@U@'~e' div(~A)=~r~A=1 r2@(r2Ar)@r+1rsin@(sinA)@+1rsin@A'@' !rot(~A)=~r^~A=1U=~r2U=1
r@2@r2(rU)+1r2sin@@(sin@U@)+1r2sin2@
2U@'2 (~A)=~r2~A=(Ar2 r2Ar2r2sin@@(sinA)2r2sin@A'@')~er +(AAPourun
uideNewtonienetincompressibleona: div(~u)=~r~u=0 @~u @t+(~u~r)~u=1~rp+~fm+~r2uEncoordonneescartesiennesavec~u=(u;v;w):
@u @x+@v@y+@w@z=0 @u @t+u@u@x+v@u@y+w@u@z =@p@x+fx+@2u@x2+@2u@y2+@2u@z21FORMULAIRE5
@v @t+u@v@x+v@v@y+w@v@z =@p@y+fy+@2v@x2+@2v@y2+@2v@z2 @w @t+u@w@x+v@w@y+w@w@z =@p@z+fz+@2w@x2+@2w@y2+@2w@z2 1 r@(rur)@r+1r@u@+@uz@z=0 surl'axer [@ur @t+ur@ur@r+ur@ur@+uz@ur@zu2 r]=@p@r+fr+[@2ur@r2+1r@ur@rurr2+1r2@2ur@2+@2ur@z22r2@u@]
surl'axe [@u2u@2+@2u@z2+2r2@ur@]
surl'axez @uz @t+ur@uz@r+ur@uz@+uz@uz@z =@p@z+fz+@2uz@r2+1r@uz@r+1r2@2uz@2+@2uz@z2
Encoordonneesspheriquesavec~u=(ur;u;u'):
@ur @r+2urr+1r@u@+ucotr+1rsin@u'@'=0 surl'axer @ur @t+ur@ur@r+ur@ur@+u'rsin@ur@'u2 ru2 'r# =@p@r+fr +@2ur @r2+2r@ur@r2urr2+1r2@2ur@2+cotr2@ur@+1r2sin2@
2ur@'22r2@u@2ucotr22r2sin@u'@'
surl'axe [@u @t+ur@u@r+urur+ur@u@+u'rsin@u@'u2 'cotr]=1r@p@+f +[@2u2u@'2+2r2@ur@2cosr2sin2@u'@']
surl'axe' [@u' +[@2u' @r2+2r@u'@ru'r2sin2+1r2@2u'@2+cotr2@u'@+1r2sin2@
2u'@'2+2r2sin@ur@'+2cosr2sin2@u@']
2APROPOSDUTHEOREMEDUTRANSPORTDEREYNOLDS6
2AproposdutheoremedutransportdeReynolds
auxvariationstemporellesdelagrandeurM(t)=Z
D(t)f(~r;t)d3~r;
d dt" ZD(t)f(~r;t)d3~r#
=ZD(t)@f@td3~r+
ZZS(t)f(~r;t)!V(~r;t)d!S(1)
Z D(t) @f @t+divh f(~r;t)!V(~r;t)i d3~r(2)
champ!F,ilvient: d dt" ZD(t)!F(~r;t)d3~r#
=ZD(t)@!F@td3~r+
ZZS(t)!F(~r;t)!Vd!S
:(3)Pourunvolumedecontr^olexe,onretrouve:
d dtZD!F(~r;t)d3~r=Z
D@!F@td3~r:(4)
Conservationdelamasse
uide(eventuellement dansledomaineD(t)estainsidonnepar dM dt=ZD(t)@@td3~r+
ZZS(t)(~r;t)!Vd!S=Z
D(t) @@t+div !V d 3~r: uides dM dt=0()Z D(t) @@t+div(~v) d3~r=0;
etl'onretrouvelarelationdecontinuite.2APROPOSDUTHEOREMEDUTRANSPORTDEREYNOLDS7
Transportdelaquantitedemouvement
uides !F(t)=d dt" ZD(t)(~r;t)~v(~r;t)d3~r#
!F(t)=Z D(t)@ @t(~v)d3~r+ ZZS(t)~v
~vd!S :(5) d dtZ h(t)0f(x;t)dx=Z
h(t)0@f@tdx+f[h(t);t]dh(t)dt:
parladivergenceduchampdevitesse~v: 1 vd(v)dt=div~v: (~r;t),ona d dtZD(t)d~r=Z
D(t)DDtd~r;
theoremedeReynolds.3RESSAUTHYDRAULIQUEDANSUNCANAL8
3Ressauthydrauliquedansuncanal
uideetsupposelesvitesses fondducanal~ V2V1surfaceduliquide
H 2P 0z H 1 xFigure1:Ressauthydraulique
uideesthydrostatique.Exprimer du2)Equationdeconservationdelamasse.
etantlalargeurducanal. 12gH21+V21H1=12gH22+V22H2;
ougestl'accelerationdelapesanteur. b)Onpose F 1=V1 pgH1;F2=V2pgH2et=H2H1: F enfonctiondeH1,H2etgetennenfonctiondeF1. critique). de0,2m,calculerF1puisH2.3RESSAUTHYDRAULIQUEDANSUNCANAL9
4)Bilanenergetique
a)Onrappellequepouruneparticulede uidedevitesse~vdansunchampdepe- Q= ZZ sc ~v22+gz+P!
~v~dS; turbulenteets.cestlasurfacedecontr^ole.5)Vitessedepropagationd'unmascaret.
deslongueursd'ondegrandes:h0. h0h(x;t) xzy h0h(x;t)~g
I.Approximationlineaire
1)Justicationdumodele
dedispersion!(k)2=kgth(kh0). z=`). h(x;t). uide),montrerque liquide.Endeduirelarelation @u @t+u@u@x+g@h@x=0: @h @t+@(uh)@x=0: contr^ole. ments.Verierquehestdelaforme h(x;t)=f+(xC0t)+f(x+C0t); u(x;t)=C0 h0[f+(xC0t)f(x+C0t)]: @u @tC0@u@x=0: scendante). deduirelesrelations: dh(u) du 2 =h(u)getqh(u)=12upg+constante. @u @t+U(u)@u@x=0avecU(u)=uqgh(u)=3u=2C0; initial(@xu)t=0.Endeduirelarelation
@u @x t=0 1 =@u@x t 1 32th(x;t=0)=h0+Hcosx L pourjxjL2avecjHjh0 h(x;t=0)=0pourjxj>L 2 etu(x;t=0)=0 locale:@u @t+U(u)@u@x=0avecU(u)=C0+32u: elisation.
2)EquationdeKortewegdeVries(KdV)
sionimplique @u @t+C0@u@x+C0h2 06@3u@x3=0:
l'equationlocaleprecedentedevient @u @t+ C0+32u@u@x+C0h2
06@3u@x3=0:
V(x;t),onobtientl'equationditedeKdV:
@V @t+V@V@x+@3V@x3=0; ouestuneconstante. u(x;t)=3C ch2" pC2(xCt)#
`etVobtenueauIV-3)est-ellesatisfaite?5Ecoulementbarotroped'ungazcompressible
1)Rappelerl'equationd'Eulerpourun
mentscompressiblesbarotropes. estl'enthalpiemassique,puis h=1P+Cste:
Dansl'expressionprecedente,
de l'enthalpiemassiquetotale h tot=1P+v22+gz
6RESORPTIOND'UNECAVITE15
6Resorptiond'unecavite
Un formeintegraledel'equationdecontinuite. F0(t)R+U22=P0:(1)
souslaforme:~u=~ravec~r(@t+u2=2+P=)=0.Deduirede(1)queUsatisfaitl'equation:
3U2 2R2dU2dR=P0:(2)
=s 3 2P0Z a 0dRq (a=R)31= 3a22P0!1=2(5=6)(1=3):(3)
Rappel:B(;)=R1
0t1(1t)1dt=()()=(+)ou()=R+1
0t1etdt
avec(+1)=()et(1=2)=p le considerable. uide,unepressionquitendvers l'innilorsquettendvers.7OSCILLATIONSDANSUNFLUIDEVISQUEUX16
7Oscillationsdansun
uidevisqueuxOnconsidereun
induitdansleMilieusemi-inni
Le estuneamplitudecomplexe. constanteadditivepres,lafonctionP(z).) 2=!. le plaqueau uide.Vs'ecrit,danslecaspresent:
P=Z V @u @z 2 dv: uideparlesforces deviscosite.Conclusion?Epaisseurnie
Onsupposemaintenantquele
laplaqueexercesurle uide.8UNPROBLEMED'ADHERENCE17
8Unproblemed'adherence
I-Ecoulementrampantdansunlmmince
Ons'interesseal'ecoulementd'un
fx;y;z=0gy xzOfx;y;z=h(x;y)g
uidevisqueuxincompressiblecou- champdepressionp(x;y;z;t). r2~u'@2~u
@z2: realiseedanslasuite. neglige.7)Letenseurdescontraintesest
T ij=pij+ @ui @xj+@uj@xi! depression.8UNPROBLEMED'ADHERENCE18
II-Calculd'adherence
onaobtenulesequationslocales: !gradp=@2 div~u=0 T ij=pij cesdeuxsurfacesoccupeparun p0a pressionatmospheriqueF(t)^z h(t)^r div~u=1 r@@r(rur)+1r@@u+@@zuz: auxlimitessuruzenz=h(t). surfacedu uideencontactavecl'air. uidesurledisque.8UNPROBLEMED'ADHERENCE19
4)AN.Ondonne
h=0;1mm dh dt=1mms1 a=1cm =1;004106m2s1 =1;002103Nsm2) pourl'eaua20CSoitun
l'actiondelapesanteurestnegligeable. souslaforme: @P @x=G(t)et@2u@y2@u@t=G(t):(1)quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] formulaire nis pdf
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