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on se ramène à une équation différentielle du premier ordre en z′. Ceci donne une autre méthode de résolution des équations différentielles de cet exercice.
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Quels sont les différents types d'équations différentielles?
Une équation différentielle s’écrit sous la forme d’une égalité dans laquelle figure une fonction y= ???? (x) , sa dérivée y ‘ =???? ‘ (x) ou ses dérivées successives. on appelle une équation différentielle d’ordre 1 si la dérivée première est seule à figurer dans l’équation
Comment calculer une équation différentielle linéaire ?
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : y 0 = a ( x ) y + b ( x ) ( E ) où a et b sont des fonctions dé?nies sur un intervalle ouvert I de R.
Faculté de Mathématiques et D"informatique
Département de mathématiques
Abdelkader Tami
Polycopié
Equations Différentielles Ordinaires
Cours et exercices d"applications
Année universitaire : 2016/2017
2Table des matières
Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iPréface1
Introduction3
1 Les équations différentielles d"ordre 1 7
1.1 Type I : Equations différentielles à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.2 Type II : Equations différentielles homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.3 Type III : Equations différentielles linéaires d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101.3.1 Propriétés des équations linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.4 Type IV : Equation de Jacob Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.5 Type V : Equation différentielle aux différentielles totales (EDT) . . . . . . . . . . .
141.6 Type VI : Equation différentielle à facteur intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161.7 Type VII : Equations différentielles non résolues par rapport à la dérivée . . . . . . .
171.7.1 Equations du premier ordre de degréneny. . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.7.2 Equations de la formef(y,y?) = 0etf(x,y?) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . .19
1.8 Type VIII : Equation différentielle du 1
erordre de Lagrange . . . . . . . . . . . . . .201.9 Type IX : Equation différentielle du 1
erordre de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . .211.10 Type X : Equation différentielle de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221.11 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252 Les équations différentielles d"ordre 2 et d"ordre supérieur 35
2.1 Les équations différentielles d"ordrenqui admettent un abaissement d"ordre . . . . .37
2.1.1 Les équations de la formey(n)=f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
2.1.2 Les équations de la formey(n)=f(x,y(k),y(k+1),...,y(n-1)). . . . . . . . . . .37
2.1.3 Les équations de la formey(n)=f(y,y?,...,y(n-1)). . . . . . . . . . . . . . . .38
2.2 Les équations différentielles linéaires d"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.2.1 Equations différentielles linéaires homogènes d"ordren. . . . . . . . . . . . .38
2.2.1.1 Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
392.2.1.2 Equations linéaires homogène à coefficients constants . . . . . . . . .
402.2.2 Equation linéaire non homogène à coefficients constants . . . . . . . . . . . . .
422.2.2.1 Méthode des coefficients indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . .
422.3 Equation d"Eleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
462.3.1 Equation d"Eleur homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
462.3.1.1 Méthode de Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
462.3.2 Equation d"Eleur non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
482.4 Les équations différentielles linéaires d"ordrenà coefficients variables . . . . . . . . .49
2.4.1 La méthode de variation des constantes (méthode de Lagrange) . . . . . . . .
50i
2.4.2 Intégration des équations différentielles linéaire d"ordrenà l"aide des séries
entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
533 Equations différentielles. Résultats fondamentaux 69
3.1 Définitions. Solutions maximales et globales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
693.1.1 Solutions maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
693.1.2 Solutions globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
693.2 Régularité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
713.2.1 Calcul des dérivées successives d"une solutiony. . . . . . . . . . . . . . . . .71
3.3 Problème de Cauchy, théorème de Cauchy-Lispschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
723.3.1 Théorèmes sur les solutions globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
763.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
784 Systèmes d"équations différentielles 85
4.1 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
864.2 Méthode d"élimination successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
874.3 Systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
904.3.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
904.3.2 Existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
904.3.3 Méthode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
914.4 Les système linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
944.4.1 Etude du le système homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
944.4.1.1 Les méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
944.4.2 La méthode d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1004.4.3 La méthode de l"exponentielle d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 44.4.3.1 Matrice fondamentale de solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1114.4.4 Étude du système non homogène de la formeX?(t) =AX(t) +B(t). . . . . .111
4.5 Les systèmes linéaires à coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1164.5.1 Etude deX?(t) =A(t)X(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
4.5.1.1 Exhiber une famille libre denéléments deS0. . . . . . . . . . . . .116
4.5.1.2 Utiliser la méthode générale de résolution deX?(t) =A(t)X(t). . . .118
4.5.2 Etude deX?(t) =A(t)X(t) +B(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
4.5.2.1 Utiliser la méthode de variation des constantes . . . . . . . . . . . .
1194.6 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1215 Introduction aux notions de Stabilité 137
5.1 Stabilité au sens de Liapounov. Notions fondamentales et définitions . . . . . . . . . .
1375.2 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143Bibliographie147
iiPréface
Ce polycopié est proposé aux étudiants des classes de mahématiques spéciales de la troisième
année licence LMD (programme L3) des rappeles et des compléments de cours complets, ainsi quedes exercices résolus la fin de chaque chapitre. Il pourra également intéresser les étudiants de deuxième
année chimie, génie électrique et génie mécanique.Je tiens à remercier toutes les presonnes qui m"ont aidé, Benabdallah Mehdi, Benaissa Fadila et
Tlemcani Mounir pour la relecture de certains chapitres.Je serais reconnaissant à tous les lecteurs qui me feront parvenir leurs remarques et suggestions afin
que je puisse améliorer ce travail. 1 2Introduction
Plusieurs phénomènes surtout en chimie, physique, mécanique, electricité,... sont modelisés par
des équations différentiellesPar exemple :
1) L"équation du déplacementdxdt
=1t x, c"est une équation différentielle d"ordre 1.2) En éléctricité, si on consider un circuit RLC, en fermant l"interrupteur au momentt= 0. Par les
lois d"Ohm et Kirchhoff on trouve l"équation différentielle donnant la quantité du courantqà travers
le condensateurC L d2qdt2+Rdqdt
+1C q=E. Définition 0.0.1.Une équation différentielle est une relation de la forme : f(x,y,y?,y??,...,y(n)) = 0,(0.1) entre une variablex, une fonctionyet ses dérivées successives jusqu"à l"ordren.Exemple 0.0.2.
1.y?+y= 0
2.(y??)2-(y?)5+ 3y= 0
3.(y???)2+ (y?)5+ 3y=x2
Définition 0.0.3.On appelle ordre de l"équation différentielle (0.1) le degré de la dérivé le plus
élevé, dans l"exemple précédent, on a
1.é quationdiffér entielled"or dre1
2.é quationdiffér entielled"or dre2
3.é quationdiffér entielled"or dre3
Remarque 0.0.4.Si la fonction inconnue est de deux (ou pluiseurs) variablesz=z(x,y)(respective- menty=y(x,x1,x2,...,xn)). D"où la relation entrexetyest les dérivées partiellesz? x,z? y,z?? xx,z?? yy,z?? xy,z?? yxest appelée equation aux dérivées partielles (EDP).Définition 0.0.5.On appelle solution (ou intégrale) d"une équation différentielle (0.1) toute fonction
y=y(x)définie sur un intervalleIdeR, possédant des dérivées successivesy?,y??,...,ynet vérifiant
la relation (0.1). 3Exemple 0.0.6.
1.Pour l"é quationdiffér entielley??+y= 0(équation différentielle d"ordre 2); la fonctiony1= sinx
est une solution, puisquesinxest définie surI=Ret il existey?1= cosxety??
1=-sinxet
y1+y1= 0.
De mêmey2= cosxest aussi solution de l"équation donnée. De mêmey3= sinx+ cosx. En généraley=asinx+bcosxest aussi solution oùaetbsont deux constantes réelles. Cette der-nière est appelée solution générale et les autresy1,y2,y3,...,ynsont des solutions particulières.
2.L"é quationy?+y= 0admet l"intégrale généraley=Ce-x, les intégrales particulièresy=e-x,
y= 2e-x,... 3.L"é quation(y?)2-4y= 0admet l"intégrale généraley= (x+C)2, les intégrales particulières
sonty=x2,y= (x+ 1)2et une solution singulièrey= 0.Remarque 0.0.7.
1.R ésoudre(inté grer)une é quationdiffér entiellec"est de tr ouvertoutes les solutions (inté grales)
possibles. 2.L ac ourber eprésentativede la solution génér ale(r espectivementp articulière)est app eléec ourbe
intégrale. Exemple 0.0.8(Equation différentielle d"une famille de courbes à un paramètre). Une famille de courbes à un paramètre est définie par une équation : f(x,y,λ) = 0.(0.2)Cette équation fait correspondre à chaque valeur deλune courbeCλde la famille. En dérivant (0.2),
on obtient f x+y?f? y= 0,(0.3)qui dépend en générale deλet par suite de(Cλ). En éliminantλentre (0.2) et (0.3) on obtient une
relation :F(x,y,y?) = 0,(0.4)
c"est-à-dire une équation différentielle du premier ordre dite équation différentielle de la famille des
courbes(Cλ). (0.2) est la solution générale de (0.4). Les courbes(Cλ)sont appelées courbes intégrales
de (0.4).Les courbes intégrales d"une équation différentielle du premier ordre (0.4) constituent une famille de
courbes à un paramètre. Leur enveloppe (Γ) si elle existe, est la courbe intégrale singulière de (0.4).
Considérons par exemple les droitesΔλd"équation : y=λx+λ22 ,(0.5) en dérivant (0.5), on obtient : y ?=λ.(0.6) 4L"élimination deλentre (0.5) et (0.6) donne
y=xy?+(y?)22 ,(0.7)(0.7) est l"équation différentielle de cette famille de droites. (0.5) est la solution générale de (0.7)
qui admet l"intégrale singulière : y=-x22 (Γ).(0.8) 5 6Chapitre 1
Les équations différentielles d"ordre 1
Le but de ce premier chapitre est de faire quelques rappels du cours de première année sur leséquations différentielles du premier ordre. On donner les techniques nécessaires pour la résolution de
certaines équations relativement simples. Tout d"abord, on précise ce qu"on entend par "équations
différentielles" et par solutions d"une équation donnée vérifiant certaines conditions initiales. En
particulier, on étudiera les équations homogènes, de Bernoulli et de Ricatti. Définition 1.0.1.Une équation différentielle d"ordre 1 est toute relation de la formeF(x,y,y?) = 0(1.1)
Remarque 1.0.2.
1. Si on p eutexprimer dans l"é quation(1.1) y?en fonction dexety, alors on obtient une équation différentielle appelée résoluble eny?de forme y ?=f(x,y).(1.2) Sinon dans le cas contraire l"équation (1.1) est dite non résoluble eny?(ou implicite). 2. Il y en a plusieurs ty pesd"é quationsdiffér entiellesd"or dre1.Les équations de la forme (1.2)
(a) Equations différ entiellesà variables sép arables (b)Equations différ entielleshomo gène
(c)Equations différ entiellesliné aires
Les équations de la forme (1.1) : Equation de Bernoulli, Riccati, Lagrange, Clairaut,...1.1 Type I : Equations différentielles à variables séparables
Définition 1.1.1.On appelle équation à variables séparables toute équation différentielle qui peut
se mettre sous la formeφ(y)y?=?(x),(1.3)
où?etφsont des applications continues sur des intervalles à préciser. 7 Méthode de résolution :En remplaçanty?=dydx dans (1.3), on trouveφ(y)dydx
=?(x)ouφ(y)dy=?(x)dx,(1.4)on intégre (1.4) terme à terme pour obtenir ainsi la solution générale de l"équation (1.3) sous la forme
φ(y)dy=?
?(x)dx+C,(1.5) oùCétant une constante arbitraire. Exemple 1.1.2.Intégrer l"équation suivante : x3y?=e3y.(1.6)
On peut séparer les variables cary?=dxdy
; on obtient e -3ydy=1x 3dxEn intégrant, on obtient
e -3y3 =12x2+C. Donc y=-13 ln????32x2+˜C????, où˜C?R.
Exemple 1.1.3.Intégrer l"équation suivante : y ?=1 +y21 +x2On peut séparer les variables cary?=dxdy
; on obtient dy1 +y2=dx1 +x2, d"où (G)???? arctany= arctanx+C .(1.7)La solution de l"équation est donnée (implicitement) par la relation(G). Sinon, en prenant la tangente
des deux membres de (1.7), on obtient une relation algébrique entrexety: y=x+ tanC1-xtanC.(1.8)quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] equation differentielle cours pdf
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