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on se ramène à une équation différentielle du premier ordre en z′. Ceci donne une autre méthode de résolution des équations différentielles de cet exercice.
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Comment corriger les équations différentielles ?
Ces exercices sont corrigés dans Exercices sur les séries de Fourier. Sont ici données les solutions. Exercice 1 : Résoudre les équations différentielles y’’ ? y = sin x et y’’ – y = sin x . Exercice 2 : Résoudre les équations différentielles y’’ + y = sin x et y’’ + y = sin x .
Quels sont les différents types d'équations différentielles?
Une équation différentielle s’écrit sous la forme d’une égalité dans laquelle figure une fonction y= ???? (x) , sa dérivée y ‘ =???? ‘ (x) ou ses dérivées successives. on appelle une équation différentielle d’ordre 1 si la dérivée première est seule à figurer dans l’équation
Comment calculer une équation différentielle linéaire ?
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : y 0 = a ( x ) y + b ( x ) ( E ) où a et b sont des fonctions dé?nies sur un intervalle ouvert I de R.
UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE
U.F.R. SEGMI Année universitaire 2018 - 2019
Licence d"économie Cours de M. Desgraupes
MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
Corrigé du TD "Équations différentielles"Équations différentielles linéaires Corrigé ex. 30: Équations d"ordre 1 à coefficients constantsÉquationy02y= 7
Solution particulière :
v(t) =72Solution de l"équation homogène :
w(t) =C e2tSolution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C e2t72 Solution de l"équation générale avecy(0) = 5: y(t) =172 e2t72Équation2y0+ 3y= 3t
Solution particulière :
v(t) =t23Solution de l"équation homogène :
w(t) =C e32 tSolution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C e32 t+t23 Solution de l"équation générale avecy(0) =13 y(t) =e32 t+t23 1Équationy03y= 2e3t+ 1
Solution particulière :
v(t) =13 (e3t+ 1)Solution de l"équation homogène :
w(t) =C e3tSolution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C e3t13 (e3t+ 1) Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =23 e3t13 (e3t+ 1)Équationmy0y=e2tOn commence par supposer quem6=12
Solution particulière :
v(t) =e2t2m1Solution de l"équation homogène :
w(t) =C et=mSolution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C et=m+e2t2m1 Solution de l"équation générale avecy(0) = 0: y(t) =e2tet=m2m1Dans le cas oùm=12 , on trouve la solution particulièrev(t) = 2te2t. On a alors : y(t) =v(t) +w(t) = (2t+C)e2t Avec la condition initialey(0) = 0, la solution est finalementy(t) = 2te2t. 2 Corrigé ex. 31: Équations d"ordre 1 à coefficients variables Résoudre les équations différentielles à coefficients variables suivantes :Équationy02ty= 4t
Solution particulière :
v(t) =2Solution de l"équation homogène :
w(t) =C et2Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =C et22Équationty0my=t
Solution particulière :
v(t) =tm lorsquem6=. Dans le cas particulier oùm=, on obtienty= tlogt.Solution de l"équation homogène :
w(t) =C tm Solution de l"équation générale (lorsquem6=) : y(t) =v(t) +w(t) =tm+C tmDans le cas oùm=, on ay(t) =t(logt+C).
Équation(t21)y0t1y=m
Solution particulière :
v(t) =mt L"équation homogène se décompose sous la forme w 0w =1t(t21)=1t +121t1+12
1t+ 1On en déduit que
(logjwj)0= logjtj+12 logjt1j+12 logjt+ 1j 0 logpjt21jjtj! 0 Finalement la solution de l"équation homogène est (en supposant quet6= 0) : w(t) =Cpjt21jt 3Solution de l"équation générale :
y(t) =v(t) +w(t) =Cpjt21jt mt Corrigé ex. 32: Équations d"ordre 2 à coefficients constants Dans toutes les équations qui suivent, on utilise les mêmes conditions initiales y(0) =y0(0) =1.Équationy00+ 3y0+ 2y=tet
Solution particulière :
v(t) =12 (t22t)etSolution de l"équation homogène :
w(t) =et+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =12 (t22t4)et+e2tÉquationy004y= 10Solution particulière :
v(t) =52Solution de l"équation homogène :
w(t) =e2t+e2t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =e2t+12 e2t52Équationy006y0+ 9y=2e3t
Solution particulière :
v(t) =t2e3tSolution de l"équation homogène :
w(t) = (t+)e3t Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) = (t2+ 2t1)e3tÉquationy00+ 2y0+ 5y=et+ sin(2t) 4Solution particulière :
v(t) =sin(2t)4 cos(2t)17 +et4Solution de l"équation homogène :
w(t) =etsin(2t) +cos(2t) Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =et64 sin(2t)69 cos(2t)68 +sin(2t)4 cos(2t)17 +et4Équation8y004y0+ 3y=3et
Solution particulière :
v(t) =15 etSolution de l"équation homogène :
w(t) =et4 sinp5t4 +cosp5t4 Solution de l"équation complète avec les conditions initiales : y(t) =45 et4 cosp5t4 +p5 sin p5t4 15 etCorrigé ex. 33: Équation dépendant d"un paramètre (E)y00+ 4y0+my=e2t33-1) L"équation homogène associée(H)est :
(H)w00+ 4w0+mw= 0Le discriminant est :
0= 4m1-a) La forme dew(t)dépend du signe du discriminant.
Sim <4alors0>0et on a deux racines réelles distinctesr1etr2. La solution de(H)s"écrit : w(t) =k1er1t+k2er2t Sim= 4alors0= 0et on a une racine réelle doubler. La solution de(H) s"écrit : w(t) = (k1t+k2)ert Sim >4alors0<0et on a deux racines complexes conjuguées qu"on écrit sous forme algébriquez=+i. La solution de(H)s"écrit : w(t) =etk1cos(t) +k2sin(t) 51-b) La condition nécessaire et suffisante pour que toutes les fonctionsw(t)
tendent vers 0 lorsquet!+1est donnée par les conditions de stabilité. Résultat de cours :si l"équation est notéew00+aw0+bw= 0, les conditions de stabilité s"expriment par les relations suivantes a >0 b >0Dans le cas présent, cela se ramène àm >0. 33-2)2-a) La valeur d"équilibre est une solution particulière de(E). On cherche a
prioriv(t) =C e2t. On en déduit quev0(t) =2C e2tetv00(t) = 4C e2t. D"où, en remplaçant dans l"équation(E):4C e2t+ 4(2C e2t) +mC e2t=e2t
On en tireC=1m4lorsquem6= 4.
Dans le cas oùm= 4, il faut chercherv(t)sous la formev(t) =C t2e2t. Tout calcul fait, on trouveC= 1=2et doncv(t) =12 t2e2t.2-b) La nature de l"équilibre a été discutée à la question précédente : l"équilibre
est stable si et seulement sim >0..Corrigé ex. 34: Solution d"équilibre (E)my00+ 3(m1)y0+ 3y= 634-1) On cherche une solution particulière de(E)de la formev(t) =K. On a
alorsv0(t) =v00(t) = 0et, en reportant dans l"équation(E), on obtientK= 2quelle que soit la valeur dem.34-2) La valeur d"équilibre de(E)est la solution particulière trouvée à la question
précédente.34-3) Condition nécessaire et suffisante pour que cet équilibre soit stable.
Pour utiliser les conditions de stabilité, on doit mettre le membre de gauche de l"équation sous la formey00+ay0+by: y00+ 3m1m
y0+3m y et alors les conditions s"expriment par les relations a >0 b >0Ici on obtient les conditions
8>>< >:m1m >0 3m >0 6 ce qui impose finalementm >1. 34-4)4-a) Pour que toutes les solutions de(E)présentent des oscillations, il faut et il
suffit que le discriminant de l"équation caractéristique associée soit négatif. On a :P(r) =mr2+ 3(m1)r+ 3 = 0
On calcule
= 9(m1)212m= 3(3m210m+ 3) = 3(m3)(3m1)Le discriminant est négatif lorsque1=3< m <3.
4-b) Pour que les oscillations soient amorties, il faut que l"équilibre soit stable.
On a vu, en discutant les conditions de stabilité, que la condition estm >1. Compte- tenu du résultat précédent, on obtient1< m <3.Corrigé ex. 35: Solution particulière
y004y0+ 4y=temt
On cherche une solution particulière sous la formev(t) = (at+b)emt.On calcule :
v0(t) =m(at+b)emt+aemt
v00(t) =m2(at+b)emt+ 2amemt
En reportant dans l"équation, on obtient :
a(m2)2t+b(m2)2+ 2a(m2)emt=temtPar identification, on trouve :
a(m2)2= 1 b(m2)2+ 2a(m2) = 0D"où finalement, lorsquem6= 2
8>>>< >>:a=1(m2)2 b=2(m2)3 Dans le cas oùm= 2, on doit chercher la solution particulière sous la forme v(t) =Ct3e2t. Tout calcul fait, on trouvev(t) = 1=6t3e2t. Solution générale de l"équation homogène : w(t) = (k1t+k2)e2tFinalement on reconstituey(t) =w(t) +v(t).
Nature de l"équilibre obtenu : l"équilibre est instable à cause du termee2tqui fait diverger la fonctionw(t)représentant les écarts à l"équilibre. 7 Corrigé ex. 36: Équation vérifiée par une fonction36-1) Pour chacune des fonctionsyci-dessous, on cherche une équation différen-
tiellehomogène du second ordredontysoit solution générale :Fonctiony=et+e5t
Un polynôme caractéristique dont les racines sont 1 et 5 estP(r) = (r1)(r5) =r26r+ 5
La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y006y0+ 5y= 0Fonctiony=e5t+te5t
Un polynôme caractéristique ayant 5 comme racine double estP(r) = (r5)2=r210r+ 25
La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y0010y0+ 25y= 0Fonctiony=e2t(cos3t+sin3t)
Un polynôme caractéristique dont les racines sont23iestP(r) =r(2 + 3i)r(23i)=r24r+ 13
La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y004y0+ 13y= 0Fonctiony=+e5t
Un polynôme caractéristique dont les racines sont 0 et 5 estP(r) =r(r5) =r25r
La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée y005y0= 036-2) Construiredeséquationsdifférentiellesdusecondordreavecsecondmembre
ayant pour solution générale les fonctionsydonnées. le second membre correspondant à la solution particulière donnée.Fonctiony=e5t+te5t+ 3
Un polynôme caractéristique ayant 5 comme racine double estP(r) = (r5)2=r210r+ 25
8 La fonctionwvérifie donc l"équation différentielle homogène associée w0010w0+ 25w= 0On calcule les dérivées deyen fonction dew:
y=w+ 3 =)y0=w0; y00=w00 et on remplace dans l"équation : y0010y0+ 25y=w0010w0+ 25(w+ 3) =w0010w0+ 25w+ 75 = 75
L"équation recherchée est donc :
y0010y0+ 25y= 75Fonctiony=e5t+te5t+ 2tet
La partie correspondant à l"équation homogène est la même que dans l"exemple précé-
dent. On utilise donc le même polynôme caractéristique. On calcule les dérivées dey en fonction dew: y=w+ 2tet=)y0=w0+ 2(et+tet) =)y00=w00+ 2(2et+tet)En substituant dans l"équation, on obtient :
y0010y0+ 25y=w00+ 2(2et+tet)10(w0+ 2(et+tet)) + 25(w+ 2tet)
=w0010w0+ 25w16et+ 32tet = 16et(2t1)L"équation recherchée est donc :
y0010y0+ 25y= 16et(2t1)Fonctiony=+e5t+t
Un polynôme caractéristique dont les racines sont 0 et 5 estP(r) =r(r5) =r25r
La fonctionwvérifie donc l"équation différentielle homogène associée w005w0= 0On calcule les dérivées deyen fonction dew:
y=w+t=)y0=w0+ 1; y00=w00 et on remplace dans l"équation : y005y0=w005(w0+ 1) =w005w05 =5
L"équation recherchée est donc :
y005y0=59
Fonctiony=e2t(cos3t+sin3t) + 4
Un polynôme caractéristique dont les racines sont23iestP(r) =r(2 + 3i)r(23i)=r24r+ 13
La fonctionyvérifie donc l"équation différentielle homogène associée w004w0+ 13w= 0On calcule les dérivées deyen fonction dew:
y=w+ 4 =)y0=w0; y00=w00 et on remplace dans l"équation : y004y0+ 13y=w004w0+ 13(w+ 4) = 52
L"équation recherchée est donc :
y004y0+ 13y= 52Corrigé ex. 37: Recherche d"un solution maximale I
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