Chapitre 5 : Transformations et changements de repères
repères (en général par translations rotations
Changement de repère
Le nouveau repère a une nouvelle origine mais les mêmes vecteurs de base que R. On dit que l'on a établi les formules de changement de repère.
Chapitre 9 :Changement de référentiels
comme repère (avec un triplet de vecteurs formant une base orthonormée directe) B) Formule de transformation de la vitesse. ))))))) (. ))))))) '.
Chapitre III : Cinématique - Changement de repère
Chapitre III : Cinématique - Changement de repère. Composition du mouvement. III.1 Introduction. III.2 Mouvement relatif de deux repères R et R'.
COURS DE MECANIQUE 2ème année
Cette égalité apparaît comme la formule de changement de base de dérivation. En particulier la vitesse et l'accélération d'un point M par rapport au repère.
IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques
Jan 22 2014 Changement de repère. 8. Références. Transformations géométriques ... deux vecteurs de taille n
Transformations géométriques : rotation et translation
Tous cela fonctionne tant que les repères A et B ont la même orientation. Sinon il faut tenir compte des rotations. Page 7. Définir l'opération
CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun
de sa projection dans un repère constitué d'un point origine et d'une base de trois vecteurs (dite formule de Varignon ou de changement de point) :.
M8 – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIELS
M8 – CHANGEMENT. DE RÉFÉRENTIELS II.1 Formule de Varignon ... Le repère (O??e
Changement de variables dans une intégrale multiple
On commence par tester la formule de changement de variables sur des cas simples autour du centre du repère. Proposition 10.9. L'application.
[PDF] Formules de changement de repèrepdf
On dit que l'on a établi les formules de changement de repère On a exprimé les « anciennes » coordonnées (c'est-à-dire les coordonnées dans l'ancien repère
[PDF] CHANGEMENT de BASE
Cette formule est à la base du développement d'un déterminant suivant une rangée (ligne ou colonne) Exemple: Développement suivant la ligne 2 du déterminant:
[PDF] Chapitre III : Cinématique - Changement de repère
Chapitre III : Cinématique - Changement de repère Composition du mouvement III 1 Introduction III 2 Mouvement relatif de deux repères R et R'
[PDF] Transformations géométriques : rotation et translation
Transformation pour repères translatés • L'origine de B est situé à la coordonnée (105) dans le repère A : • La position de P exprimée dans le repère A
[PDF] Transformation coordonnées
La direction d'un vecteur unitaires (de la base) peut être fixée comme étant la direction du vecteur qui mesure le changement de ! r lorsque la coordonnée
[PDF] Chapitre 2 - Transformations géométriques - Université de Sherbrooke
22 jan 2014 · Transformations affines 3D 5 Gestion des matrices dans OpenGL 6 Transformation fenêtre clôture 7 Changement de repère 8 Références
[PDF] Matrice de passage et changement de base
Il suffit de retenir le schéma et la formule qui en découle Pour ne pas se tromper entre P et P?1 on peut se redire la phrase : la matrice de passage
[PDF] Chapitre 9 :Changement de référentiels - Melusine
comme repère (avec un triplet de vecteurs formant une base orthonormée directe) B) Formule de transformation de la vitesse ))))))) ( ))))))) '
Comment passer d'un repère à un autre ?
Pour lire les coordonnées d'un point M dans un repère, on commence par tracer la parallèle à chacun des axes passant par M. On lit la valeur de l'abscisse du point M à l'intersection entre l'axe des abscisses et la parallèle à l'axe des ordonnées.Comment calculer les coordonnées d'un repère ?
Construire un repère
Pour construire un repère, il faut exactement 3 points non-alignés. Il y a 3 sortes de repères différents qu'on peut construire: le repère normé, le repère orthogonal et le repère orthonormé. Un repère orthogonal est un repère qui a les droites (OI) et (OJ)perpendiculaires en O.Quel sont les types de repère ?
Méthode
1calculer l'abscisse du point N avec la formule : xN=2xA+xC;2calculer l'ordonnée du point N avec la formule : yN=2yA+yC;3conclure en donnant les coordonnées de N:(xN;yN)
IMN428
Chapitre 2 - Transformations géométriques
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
22 janvier 2014
Transformations géométriques1 / 104
Plan de la présentation
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques2 / 104
Vecteurs et matrices
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques3 / 104
Propriétés des vecteurs
Les vecteurs sont utiles pour représenter despositions(points, objets, caméra), desorientations(directions, normales), des mouvements(translation), desinformations sur les surfaces (couleur, propriétés lumineuses) etc. Dans le cours d"infographie, on rencontrera des vecteurs à2, 3 et 4 dimensions:(x;y),(a;b;c),(;; ;).Transformations géométriques4 / 104Propriétés des vecteurs
Soient deux scalaires,aetbet 3 vecteurs,P,QetR. On a les propriétés suivantes : (a)P+Q=Q+P (b)(P+Q) +R=P+ (Q+R) (c)(ab)P=a(bP) (d)a(P+Q) =aP+aQ (e)(a+b)P=aP+bPTransformations géométriques5 / 104Propriétés des vecteurs
Les vecteurs s"additionnent et se soustraientcomposante à composante, c"est-à-dire que siP= (P1;P2;:::;Pn)etQ= (Q1;Q2;:::;Qn);
alors P+Q= (P1+Q1;P2+Q2;:::;Pn+Qn):Transformations géométriques6 / 104Propriétés des vecteurs
On évalue l"amplitude(ou lanorme) d"un vecteurVde dimensionn avec la formule jVj=v uutn X i=1V 2i: Par exemple, dans le cas d"un vecteur de dimension 3(Vx;Vy;Vz), on aura jVj=qV2x+V2y+V2z:
Un vecteur ayant une norme de 1 sera ditvecteur unitaire.Transformations géométriques7 / 104Propriétés des vecteurs
Soit un scalaireaet deux vecteursPetQ. On a les propriétés suivantes : (a)jPj 0 (b)jPj=0 si et seulement siP= (0;0;:::;0) (c)jaPj=jajjPj (d)jP+Qj jPj+jQjCette dernière propriété porte le nom d"inégalité du triangle.Transformations géométriques8 / 104
Propriétés des vecteurs
Un vecteurVnon nul (au moins une des composantes doit être différente de 0) peut être ramené à un vecteur unitaire en le multipliant par1jVj. Cette opération s"appelle lanormalisation.
Attention à ne pas confondre la normalisation avec le concept de vecteur normal. Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à une surface en un point donné.Transformations géométriques9 / 104
Produit scalaire
Leproduit scalairesert à mesurer ladifférence entre deux directionsdonnées par des vecteurs. On évalue le produit scalaire de deux vecteurs de taillen,PetQ, à l"aide de la formule PQ=nX i=1P iQi Cette formule peut aussi être exprimée sous la forme d"unproduit matriciel:PQ=PTQ=P1;P2;:::;Pn2
6 664Q1 Q 2... Q n3 7
775:Transformations géométriques10 / 104
Produit scalaire
SoientPetQ, deux vecteurs de
taillen. Le produit scalairePQ peut aussi être évalué avec la formulePQ=jPjjQjcos;
oùest l"angle planaire entre les vecteursPetQ.niPQoPrthgalzP n P Q P n Q n n niPQorthghgniPQnortnhgroaltnzengQ vtQontrntPQnvc1 Qn2Qt3QQcnt3rn4Qltrgen25ntPQnQ6avtzrcn lre.n=alal 7n aozzegt8Qtn.n2QntPQnvc1 Qn2Qt3QQcntPQn4Qltrgenanvconl9nvenePr3cnzcn:z1agQn;7;7n <5ntPQn v3nr=nlrezcQen>eQQn?hhQcoz@n<9nAQltzrcn<7BC9n3QnDcr3n n ;lre.i=lialal al7n>;7EFCn iPzenQ@hvcoentrn nhg EEE ;lre nnn iii i iiiPQPQ .
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